27.2　反比例函数的图象和性质（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质，通过知识回顾复习双曲线特征、性质及对称性，为新知探究搭建支架，重点落实判定点在图象上及比较函数值大小的方法。 资料以探究式问题串引导学生自主推理，如例2通过性质法、代入法、图象法比较函数值，培养数学思维与运算能力，例3结合矩形面积探究k的几何意义发展几何直观。强调“同一象限”易错点，助力学生突破难点，为教师提供清晰教学路径与核心素养培养策略。

27.2　反比例函数的图象和性质（第2课时） 教学目标 　　1．巩固反比例函数的图象与基本性质，能根据解析式判断点是否在反比例函数图象上． 　　2．掌握比较反比例函数值大小的常用方法，厘清易错点：增减性仅在同一象限内成立． 　　3．建立反比例函数的解析式与图象之间的联系，体会数形结合、转化的数学思想． 教学重点 　　运用反比例函数的图象和性质，判定点是否在函数图象上、比较函数值的大小． 教学难点 　　跨象限多点比较函数值大小；准确理解“每个象限内”增减性这一限制条件． 教学过程 知识回顾 1．反比例函数的图象特征和性质如下： （1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线． （2）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 2．反比例函数(k≠0)的图象的对称性： 的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝±x． 　　的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】已知反比例函数的图象经过点A(－2，4)． 　　（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ 　　（2）点B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 【师生活动】 课件出示探究思考： 已知反比例函数图象经过点A(－2，4)，结合题目思考下列问题： （1）点A在哪个象限？据此能否判断反比例函数图象分布在哪两个象限？函数增减性如何？ （2）除上述方法外，还有什么途径判断图象所在象限？ （3）如何检验点B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个反比例函数图象上？ 教师指令（口头）：请大家独立思考，动笔完成这道例题，尝试解决上面三个问题，时间 5 分钟． 学生自主探究、独立演算；教师巡视观察，收集典型书写错误． 待大部分学生完成后，依次交流研讨： 师：我们先来交流第（1）个问题． 预设学生：点A(－2，4)在第二象限，因此双曲线在第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 师：第（2）个问题，还有别的方法判断象限吗？ 预设学生：先将点A的坐标代入解析式求出k，依据k的正负进行判断． 师：很好，两种思路都可行．那第（3）个问题，怎样判断点是否在函数图象上？ 预设学生：将点的坐标代入解析式验证等式是否成立． 挑选两名学生代表上台板演完整解答，随后带领全班订正． 　　【答案】解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．因为点A(－2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限．在每一个象限内，y随x的增大而增大． （2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(－2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足，即，解得k＝－8． 因此，这个反比例函数的解析式为． 因为点B，C的坐标都满足，点D的坐标不满足，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上． 追问：刚才我们将坐标代入解析式进行验证，大家观察解析式，能不能找到更加快捷的验证办法？ 预设引导：解析式变形可得xy＝－8，只需检验点的横、纵坐标乘积是否等于k． 【归纳】判断点是否在反比例函数的图象上的两种方法： 方法 1：代入横坐标求出函数值，对比与点的纵坐标是否相等； 方法 2：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数k． 　　【设计意图】借助教材典型例题，巩固利用已知点求解反比例函数解析式，熟练运用k的符号判断图象分布与增减性；通过多个点辨析，归纳判定点在反比例函数图象上的通用方法，落实本节课基础核心技能，提升学生代数运算与总结归纳能力． 【问题】图中的曲线是反比例函数的图象的一支．根据图象，回答下列问题： 　　（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 　　（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 　　【师生活动】课件出示例题，学生先独立审题思考，随后开展小组讨论． 探究思考： （1）反比例函数双曲线的两支具有对称性，由第一象限这一支，你能推出另一支所在象限吗？ （2）结合图象所在象限，思考k＝m－5需要满足怎样的不等关系； （3）“在图象的某一支上”意味着两点在同一个象限，结合性质判断y1，y2的大小； （4）如果删掉“某一支上”这个条件，还能够直接比较两点函数值大小吗？ 小组交流完毕，邀请学生代表上台作答；教师规范书写步骤，重点强调利用增减性比较大小的前提条件． 【答案】解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限． 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m－5＞0，解得m＞5． （2）因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2． 【归纳】巧记口诀： 反比例函数图象是双曲线， k为正，图象在第一、第三象限， k为负，图象在第二、第四象限； 图象在第一、第三象限函数减， 图象在第二、第四象限正相反． 核心易错提醒：利用增减性比较函数值，两点必须在双曲线同一分支（同一象限）． 【设计意图】依托教材例 2，通过递进引导问题串推动学生自主推理，学会根据图象位置确定参数取值范围；增设辨析问题突破易错点，让学生充分认识“同一分支”这一重要前提，完善对反比例函数增减性质的理解． 二、典例精讲 　　【例1】若点(2，－4)在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）． 　　A．(2，4) B．(－1，－8) C．(－2，－4) D．(4，－2) 【师生活动】课件出示题目，学生独立思考完成；随机邀请学生分享解题思路． 探究思考： （1）如何利用已知点坐标快速求出k的值？ （2）判断点在不在双曲线上，有没有简便方法，一定要先写出解析式吗？ 【答案】D 【解析】因为点(2，－4)在反比例函数的图象上，所以k＝2×(－4)＝－8． 选项A中，2×4＝8； 选项B中，－1×(－8)＝8； 选项C中，－2×(－4)＝8； 选项D中，4×(－2)＝－8． 所以点(4，－2)在此反比例函数的图象上． 【归纳】本题优先使用：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数k． 　　【设计意图】通过例题总结快速判定点与双曲线位置关系的技巧，巩固xy＝k核心关系式． 　　【例2】若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）． 　　A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 　　C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【师生活动】学生自主尝试解题，小组交流不同解法；学生代表展示多种思路． 探究思考： （1）A，B，C三个点是否在双曲线同一分支上？ （2）使用性质法比较大小要注意什么前提？ （3）除了利用性质，还有哪些可靠的比较方法？ 【答案】D 　　【解析】方法1（性质法）：由反比例函数的性质，得反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小． 　　因为(－5，y1)，(－3，y2)两点在第三象限，且－5＜－3， 　　所以y2＜y1＜0； 　　又因为2＞0，所以点(2，y3)在第一象限， 　　所以y3＞0， 　　所以y2＜y1＜y3． 　　方法2（直接代入法）：把x＝－5，x＝－3，x＝2分别代入， 　　得y1＝，y2＝－1，y3＝， 　　所以y2＜y1＜y3． 方法3（图象法）：因为k＝3＞0， 所以反比例函数的图象在第一、第三象限， 如图，在平面直角坐标系中描出符合条件的三个点， 易知y2＜y1＜y3． 　　【归纳】比较反比例函数值大小的三种常用方法： 　　（1）直接代入法：代入横坐标，求出纵坐标，直接比较函数值大小，通用无限制． 　　（2）性质法：仅限同一分支上的点，跨象限点不能直接使用增减性质． 　　（3）图象法：描点作图，直观观察纵坐标高低． 　　【设计意图】一题多解，强化“同一分支”易错前提，打通不同解题路径，完善函数值比较题型解题思路． 　　【例3】如图，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥y轴，垂足为A， PB⊥x轴，垂足为B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值是_______． 【师生活动】课件出示图形与题目，学生观察图形独立探究，同桌互相交流发现规律． 探究思考： （1）设点P的坐标为(x，y)，矩形的边长可以怎么表示？矩形面积如何用x，y表示？ （2）面积是正数，k一定是正数吗？观察图象，结合象限思考符号问题． 【答案】－6 【解析】设点P(x，y)，则PB＝|x|，PA＝|y|， 所以矩形PBOA的面积S＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|． 因为点P(x，y)是反比例函数图象上的一点，且反比例函数图象的一支在第二象限，所以k＜0． 　　因为PA⊥y轴，PB⊥x轴，矩形PBOA的面积为6，所以k＝－6． 　　【归纳】反比例函数中，双曲线上任意一点向坐标轴作垂线： （1）围成矩形面积＝|k|； （2）围成直角三角形面积＝|k|； （3）必须结合图象所在象限，确定k的正负，不能直接默认k等于面积． 　　【设计意图】拓展探究比例系数k的几何意义，厘清面积与k的绝对值的关系，重点训练根据图象象限判定k的符号，突破典型符号易错点． 课堂小结 板书设计 反比例函数的图象和性质 1．图象：双曲线 k＞0：一、三象限 k＜0：二、四象限 2．性质：在每个象限内研究增减性 3．常用解题方法 （1）判定点在图象上 （2）函数值大小比较 4．k的几何意义：S矩形＝|k|，S三角形＝|k| 课后任务 　　完成教材第73页习题27.2第4～5题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $