精品解析：辽宁朝阳市建平县实验中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

建平县实验中学高三年级阶段性训练 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是与的等差中项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. 210或90 B. 210 C. 或 D. 8. 已知函数，下列说法不正确的有（ ） A. 对任意，，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为 D. 若，且方程有两个实数解，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式共有6项，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数之和为32 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式的各项系数之和为1 10. 已知点P为圆上的一个点，点，，则（ ） A. 过点A一定存在两条直线与圆C相切 B. 存在实数a，使得 C. 存在实数a，使得 D. 存在实数a，使得 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 13. 若，则______． 14. 若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，轴截面为四边形 ， 在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高三年级阶段性训练 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由复数，得. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，进而求交集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 3. 设是与的等差中项，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 4. 已知，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 6. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 7. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. 210或90 B. 210 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 8. 已知函数，下列说法不正确的有（ ） A. 对任意，，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为 D. 若，且方程有两个实数解，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求函数在各种条件下的单调性和极值情况，由此判断A，B，C，再结合零点存在性定理判断D. 【详解】对于A选项，函数定义域为，关于原点对称， 且， 对任意，，函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，当时，，， 当时，，，故， 在上单调递减，无极值点，故B错误； 对于C选项，当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 因此是上唯一的极小值点，为，故C正确； 对于D选项，当时，结合C选项，函数在时取得最小值， 且，，，， 方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式共有6项，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数之和为32 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式的各项系数之和为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，根据展开式的项数与二项式幂的关系可得；B，根据二项式系数之和为计算；C，根据通项公式求出常数项可得；D，可通过赋值法即得. 【详解】A，展开式的项数为，可知，故A正确； B，展开式的二项式系数之和为，当时， ，故B正确； C，展开式的通项公式， 令，解得，不符合题意，C错误; D，令，可得各项系数之和为，故D正确. 10. 已知点P为圆上的一个点，点，，则（ ） A. 过点A一定存在两条直线与圆C相切 B. 存在实数a，使得 C. 存在实数a，使得 D. 存在实数a，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】分别确定各选项中P点的轨迹（都是圆），利用圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上， 选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误； 选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上， 当时，，， 因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确； 选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 取，即，， 显然，即圆M与圆C相交， 所以圆C上有点P，满足，C正确； 选项D，，设，则， 化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 由于， 从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误. 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得有唯一零点1，然后由“零点相邻函数”定义可得存在，使，且为零点.据此令，则值域即为a范围，由此可判断选项正误. 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义可得. 【详解】根据导数的定义，极限 ​表示函数在处的导数值 ， 因为求导，， 所以. 13. 若，则______． 【答案】##0.04 【解析】 【分析】先由得，再由二倍角公式可得. 【详解】因为，所以， 所以． 故答案为： 14. 若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，轴截面为四边形 ， 在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在圆台中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，所以， 因为为的中点，所以， 易知平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 、平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，推导出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由整理得出，结合余弦定理可得出关于的二次方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 即， 因为、，则，所以，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 又，即，整理得. 又由余弦定理，得， 所以，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【小问1详解】 当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. 【小问2详解】 （i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 【答案】（1） （2）（ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴； （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义、结合直线的点斜式方程、导数的运算法则进行求解即可； （2）（ⅰ）根据极值点的定义，结合函数零点存在原理、对勾函数的单调性进行求解即可； （ⅱ）利用导数判断函数的单调性，结合任意性的定义、函数的最大值进行求解即可. 【小问1详解】 ，，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 【答案】（1） （2） 证明：设，， 因为当为奇数时，； 所以，，，三点共线， 故设所在直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 所以，由椭圆的第二定义，， 所以， 因为， ， 所以 ， 综上， （3） 证明：由（2）知，即， 由椭圆的对称性可知，， 所以，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以 ， 又，， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，整理得， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）由椭圆的光学性质得，，三点共线，设所在直线方程为，进而结合椭圆的第二定义，根据韦达定理化简整理即可证明. （3）由椭圆的对称性得，则，再结合椭圆的定义得，进而建立递推关系，结合等比数列定义证明数列为等比数列，即可求得通项公式得 ，最后结合等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 由题知椭圆焦点在轴上，设方程为， 因为焦点为和，点在椭圆上 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $