辽宁锦州市某校2026-2027学年高三上学期自主考试数学试卷

高三自主考试 数学试题答案 一、单选题 1.【答案】D 【详解14=d-2x-3≤0吲=-15x≤3，B=-2≤x<2头，所以40B=付-2≤x≤3到 2.【答案】D Hxe(0,+∞)，x2+1>2x 【详解】 x∈(0，+0)，x+1≤2x”的否定为 3.【答案】C 1.1 【详解】对于A,a>方，则a<b<0或0<a<b或a>0>b, 11 所以，a6是a<b的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B,a3<b3,则a<b, 所以，a3<b是a<b的充要条件，故B不符合题意： 对于C,a<6,则0≤a<b, 所以， √a<v 是0<6 的一个充分不必要条件，故C符合题意： 对于D,当a=b=-2时，符合q<6 所以回<A是a<b的既不充分也不必要条件，故D不符合思意. 4.【答案】C 【详解】命题“x∈R,都有mx2+4x-1≠0”为假命题， 故命题：，∈R 都有心+4-1=0·为真命题， 试卷第1页（共3页） .1 当m=0时，4x-1=0:解得x=4,满足要求： 当m≠0时，需满足△=16+4m≥0，解得m≥-4且m≠0， 综上，实数m的取值范围为[4+∞) 5.【答案】B 【详解】令f)=-mx+4x∈，2D f)<0 则不等式x2-mx+4<0在x∈[，2]时恒成立，需满足f(2)<0, [1-m+4<0 即4-2m+4<0,所以m>5,即实数m的范围是m>5. 6.【答案】C 4-5 S4=13a=13x5=1 【详解】因为a13,所以S,5a,513. 7.【答案】D C详解]若不等式+加+e>0的解矣为23 1 ·2与3是方程ar2+bx+c=0的两个根，且a<0 2+3=-6 5 x3=c,b=- 3 a’ a,c=- a 2 2 +90呵化为：3x和解得雨 1 aa :+名x+<0成立的充要条件是D选顶 a a 8.【答案】B 【详都10+=o+0-2b2a+-2a生. 又0<a<b:+6>. 2· 试卷第2页（共3页） a2+b2-2ab=(a-b)2>0(a≠b)∴a2+b2>2ab(a≠b) .1 0<a<b且a+b=1a<2, 1 又a+b>2,所以a2+6>a .a2+b2 最大 二、多选题 9.【答案】ABC -8≤x-1≤3 y=I(r-1) 【详解】对于A,依题意， x+5>0,解得-5<x≤4，则函数Vx+5的定义域为(-5,4]，故A正确 对于B,若命题“3x<0,x之a”是假命题，则其否定“x<0,x<a”为真命题， 所以a≥0，即a的取值范围是 0,+0) ,故B正确； 对于C,因为a+b=1(a>0,b>0). 则后方白+a+创=6+名物25+2x和-) 1414、 a b Va b, b 4a 1 2 当且仅当。=6且a+b=1,即a=3b= 3时取等号， 14 所以。+方的最小值为9，故C正确： 对于D,因为函数f四为0，+o)上的增函数，且2)>fm-》, 2m>0 m-1>0 所以 2m>m-1:解得，故D错误， m>1 10.【答案】AD 【详解】选项A:事件1B和1B互斥，且满足1=BUAB,因此 P(A)=P(AB)+P(AB) 代入数据得 试卷第3页（共3页） P4B=0.65-0,32=033,A正确： 选项B:随机变量5~N(60）,正态曲线关于对称轴x=6对称，故P(5>6)=0.5,因此 P(5>7)=P(5>6)-P(6<5≤7)=0.5-0.42=0.08≠0.1 ,B错误； -1+122-01=3 对于C:当x>1时，x-1>0,所x-1=x-1+、/ 当且仅当x-1=1 了，即x=2时取等号，所以+x一的最小值是3，故C错误： 选项D:7个数据的平均数为，可得++++1=71. 为+x2+…+x6=6t ,即 X1 X2 X3 X4 X5 ,因此，， 的平均数也为， 由方差公式： s=-+G-}+属-+(c-2+(s-3+x-0+-0]=1-+6-0+-02+属-0+（飞-+。-0] 号=名-+属-+医-0+（化-+(6-+化-门]，因数据互不相等，散>0时>0，因此 宁-<，D正确 11.【答案】ACD 【样￥1y-是会，令=ar-6:0 1 b 由函数y=al血x+十2有两个极值，则f()=r2-x-b有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，，且0<<， 则a≠0：且有4=1+4b>0:+=。>0,5=-2>0, 1 a a 1 即可得a>0:b<0且b>4 41 55 12.【答案】36 试卷第4页（共3页） 【详解】由题念可得：x=6+1+1+2+5+7=12, 6 2(6-=(6-12+1-12+1-12+05-12+07-12=72 2c-0-）年-0-列山 由条件可得 2-时2-时 V72×200 12」 5k-北-0广防似6-0型 24- 7236 18【容案)0分 【详解】因为数列a,满是4+号+学+一号-1 2①， 所以a+号*号+告=1(a≥2列@.且4=1-分 孩可#员-1)，n-学e习】 1 n 显然n=1时满足4=2，综上a,=2,n∈N 14.【答案（←∞，列 [x2,x20 x2,x≥0 【详解】8(x)= -(-x)2,x<0-x2,x<0, 当x≥0时，x2≤2-x,即x2+x-2≤0，解得-2≤x≤1，所以0≤x≤1， 当x<0时，-x2≤2-x,即x2-x+2≥0，解集为R,所以x<0, 综上，8(s2-x (-0,0U[0,1]=(-0,1] 的解集为 试卷第5页（共3页） 15.【详解】(1)数学成绩≥120分共6人，其中物理成绩≥90分有2人，物理成绩<90分有4人；数学成绩 <120分共4人，物理成绩均<90分，据此完成上述2×2列联表 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 -2分 10×(2×4-0×42_10 代入卡方公式计算： n(ad-bc2 X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 6×4×2×8 6 -3分 -4分， 已知c=0.1 对应的临界值0=2706x2<2.706 依据小概率值=0.10的独立性检验，不能认为数学优秀与非优秀的学生之间物理成绩存在差异.--5分 (②)10名学生物理成绩的均值：“=x- (84+90+82+84+83+81+83+81+90+82)=84,-6分 10 方差： 。2=-[84-4+0-84+82-84+4-84+(3-84+81-84+83-84+81-84+0-8+(62-84]=10 -8分 因此0=V10≈34+2g=90 由正杰分布对称性：P(X290)=1-Pl1-20,<X≤p+201-0545≈0.0275. 2 -10 分 P(X<90)≈0.97725 记“4人中至少有1人的物理成绩的等级优秀”为事件A, 可得P(4)=1-[P(X<90]=1-0.91206≈0.08794 试卷第6页（共3页） 所以4人中至少有1人的物理成绩的等级优秀的概率为0.08794. -13分 16.【详解】 (1)由 元=S2+1 ,知： S2-S%=1 ---1分 由4=1有=1 有 -2分 (S 即数列 是首项、公差均为1的等差数列 3分 :=1+m-)=n 4分 又由a}是各项都为正数的数列。 即S,=v历(a≥l,new -5分 n=Sn-S- 而 an=n-√n-i --6分 (nz2,nEN') -7分 又4=-可=1，满足上式， -8分 故2，=历-nin≥lme】 9分 24-r-eya+ a -10分 无=么+h,+6++h.=-0+0+(2+)-(5+2)++(-(i+n-可11分 六当”为偶数时，7=历 --12分 当”为奇数时， T=-Vn --13分 试卷第7页（共3页） 所以了=（小反（他可以写成了，= √n,n为偶数 √n,n为奇数) -15分 17.【详解】(1)设运动员第2天进行有氧训练为事件M, 15,17122 则PM=2Xg+2g183” -1分 所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数 --2分 可知X=0,1,2,3. 1 3 =1 则PX=0)-3=27 -3分 w-D-c -4分 nx-3-c -5分 P(X=3) 8 -6分 所以X的分布列为 X 0 3 3 1 P 2 4 8 27 9 9 27 -7分 所以EX)=3x子-2. 8分 (②)依题意可得2=P×+1-P)x 9 9 --9分 即R=号R+号(neN,且n≤89 7 -10分 -12分 试卷第8页（共3页） 8品品是40， -13分 所以数是首頭为2，公比为9的等华数 -14分 -15分 18. 【详解】(1)由题意，小王答对题目个数X=0,12,3. P(x=0)=S=是 C335, -1分 px==号5， CC=12 --2分 Px=2)-cS=18 C35 -3分 P(x=3)-25 C-4 4分 故X的分布列为 R 0 1 2 3 2 18 35 35 35 3 ■■■■■■■■■ --5分 (2)(i由思意知(p）=Cp1-p}=3p2-6p2+3p0<p< -6分 题意nfp）=9p-12p+3=33p-(p-1)】 7分 令f(p)=0得P=3或p=1(舍)， 试卷第9页（共3页） 令fp20得0<p<5,令f0得5p<1 1 1 令fp)在 0 3)内单调递增， 在(31 内单调递减： -8分 .当P=3时，fp)取得最大值，fp)最大值为f兮)= 9 9分 (i)由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y, 则Y可能得取值为Y=60,120,180,360, Py=60）=0-pPY=120)=Cgp0-p.PY=180)=cp-p）,PVY=360)=p, E(Y=60(1-p)3+120C3p(1-p)2+180Cp2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+1) -----11分 :18E(0≥240即1080(2p+3p+H22240 -2分 方法，餐理得20+加号0 29 设Mp)=2p+3p-270<p<D -13分 h(p)=6p2+3>0恒成立 ∴h(p)在(0，D单调递增 ---14分 经观察可如P号是方程2+3p =0的根 -15分 所以庙2p+3p ≥0，可附P 1 27 -16分 又因为0<p<1,所以P的取值范围为3儿 -17分 29z0 方法二：整理得2p+3p- 经观察可知p=3是方程2p+3p 29=-0的根“ 2 -13分 试卷第10页（共3页) 2p2+3p- 9e小引p-w+*】 -14分 因为2+号n+ 9 >0恒成立 ---15分 2p+3p-29≥0，可得p3之0，解得 -16分 又因为0<p<1,所以P的取值范围为3,1 -17分 0.+0) 19.【详解】(1)定义域 -1分 若a=0,6=,则f)=-+x】 …2分 令>0，符>1，令()0 得0<x<1 所以函数代的增区间为+切），减区同为Q,), .--3分 所以函数 (x 的极小值为0=1 4分 无极大值： -5分 2i证明：若b=0,则f=ae-lx 则f(x)=ae'-1-e-l xx,(x>0) -6分 令p(x)=axe-l」 -7分 则p'(x)=a(e+x) a>0x>0..p'(x)>0 ∴.p(x)在(0，+o0)单调递增 试卷第11页（共3页） --9分 所以西数了心)=e-在0，四)上是特函数。 00=-1<0,h=e-1>0 a -11分 所以存在唯一实数∈(0，+，使 f()=ae-1=0 ae%o=I x,即 --12分 -In xo=Ina+ -13分 令(>0，则>西，令)k0,则0≤<5 所以面数()在0，x）上单调道减，在（氏，+四)上单调递增，…l4分 所 f()2f()=ae*-h-}-h1=1 +xo+In a ≥2 -·x+lna=2+lna -16分 当且当，即引时取等号。一 -17分 所以f()22+ia 试卷第12页（共3页) 高三自主考试 数学试题 命题教师：高三备课组 考生请注意： Ⅰ．考试时间120分钟．满分150分； Ⅱ．只交答题纸，在卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．关于的不等式在时恒成立，则（ ） A． B． C． D． 6．已知等差数列前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 7．若不等式的解集为，则成立的充要条件是（ ） A． B． C． D． 8．若且，则下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 10．下列说法正确的是（ ） A．已知，，则 B．若随机变量，，则 C．当时，的最小值是 D．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则 11．若函数有两个极值，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某软件科技公司近6年的年利润额与投入的年研发经费（单位：千万元）如表所示． 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则________（用分数表示）． 附：（1）参考数据：． （2）参考公式：，． 13．已知数列满足，则数列的通项公式为________． 14．已知，，则的解集为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在某次高三年级的期中测试中，学校把数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等级定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等级定为优秀．现从物理方向的800名考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩．如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 数学非优秀 总计 （1）请完成列联表，并依据的独立性检验分析，能否认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异？ （2）如果本次测试中考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等级优秀的概率． 参考数据：取，，． 若，则， ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 16．（本小题满分15分） 已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 18．（本小题满分17分） 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛．已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列； （2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的最大值； （ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）若，，求的单调区间和极值； （2）若，证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $