第十七章 因式分解 章节培优练习2026-2027学年 人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学因式分解同步练，以“概念理解-技能应用-综合探究”分层设计，覆盖因式分解全知识点，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|因式分解概念、提公因式法、公式法|单选题辨析概念（如第1题），填空题强化基本分解（如第12题提公因式）| |技能应用|公式综合运用、几何背景应用|解答题结合图形面积验证因式分解（如第21题），提升符号运算能力| |综合探究|配方法、实际问题解决|实践题渗透配方法思想（如第23题），培养数学建模与创新意识|

【培优】第十七章 因式分解 一、单选题 1．下列由左到右变形，属于因式分解的是( ) . A．（2x+3）（2x-3）=4x2-9 B．（a-b）2-9=（a-b+3）（a-b-3） C．4x2+18x-1=4x（x+2）-1 D．（x-2y）2=x2-4xy+4y2 2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．6x2y＝2x•3xy B．x2+4x+1＝x（x+4）+1 C．(a+3)(a-3)＝a2-9 D．x2－2xy＝x（x－2y） 4．将提出公因式后，另一个因式是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（　　） A．（x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15 B．2x2－4x－1＝2x（x－2）－1 C．x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y） D．x3－9x＝x（x＋3）（x－3） 8．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（m﹣n）m=m2﹣mn 9．下列各式公因式是a的是（　　） A．ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10a D．a2－2a＋ma 10．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2=　 　． 12．因式分解：ab﹣2a＝　 　． 13．因式分解：2a2+4a=　 　. 14．分解因式：　 　. 15．分解因式： 　 　． 16．分解因式：　 　． 17．因式分解： 　 　． 18．若多项式可化为的形式，则单项式可以是　 　． 三、解答题 19．如图，有一个长方形，通过不同方法计算图形的面积，验证了一个多项式的因式分解，请写出这个式子． 20．下列各式能用公式 分解因式吗?a，b分别表示什么?把下列各式分解因式。 （1） （2） （3） 21．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：） （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______ （3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 22．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： （1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的； （2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； （3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 四、实践探究题 23．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；其他方法不得分 （2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】因式分解的概念 【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解解答． 【解答】A、C、D右边不是积的形式，故错误； B、左边是多项式，右边是最简的整式的积的形式，正确； 故选B． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服． 2．【答案】D 【知识点】因式分解﹣提公因式法 【解析】【解答】解：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+2+1）， 故答案为：D． 【分析】利用多项式的每一项分别除以公因式 （x﹣2） ，第一项剩（x+2），第二项剩1，将各项剩下的商式加在一起即可得出答案。 3．【答案】D 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、原式不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； B、原式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、原式从左到右属于整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； D、是因式分解，故符合题意； 故答案为：D. 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可. 4．【答案】D 【知识点】公因式的概念 【解析】【解答】解：， 将提出公因式后，另一个因式是， 故答案为：D． 【分析】首先提取公因式，将每一项除以可得括号里的项，从而可得答案． 5．【答案】D 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式， A. ，不是几个整式的积的形式，A不符合题意； B. ，不是几个整式的积的形式，B不符合题意； C. ，右边含有分式，不是几个整式的积的形式，C不符合题意； D. ，为完全平方式，D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。 6．【答案】A 【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式 【解析】【解答】解：A．，故能用平方差公式分解； B．，故不能用平方差公式分解； C． 中间项不是收尾两项积的2倍，不能用完全平方公式分解； D．的符号相同，不能用平方差公式分解； 故答案为：A． 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特点逐项判断解题即可． 7．【答案】D 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、 （x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15属于整式的乘法，故不符合题意； B、 2x2－4x－1＝2x（x－2）－1，不符合因式分解的定义，故不符合题意； C、 x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y+1） ，故不符合题意； D、x3-9x=x（x+3）（x-3），故符合题意； 故答案为：D. 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可. 8．【答案】C 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、是整数的乘法，故A错误； B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误； C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确； D、是整数的乘法，故D错误； 故选：C． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 9．【答案】D 【知识点】公因式的概念 【解析】【分析】根据公因式的定义依次分析各项即可判断. 【解答】A．ax＋ay＋5没有公因式，B.3ma－6ma2公因式是3ma，C.4a2＋10ab公因式是2a，故错误； D．a2－2a＋ma公因式是a，本选项正确. 【点评】解答本题的关键是熟练掌握公因式的定义：一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积. 10．【答案】D 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。 11．【答案】8xy 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：A2﹣B2=（A+B）（A﹣B）=[（2x+y）+（2x﹣y）][（2x+y）﹣（2x﹣y）]=4x•2y=8xy， 故答案为：8xy． 【分析】首先利用平方差进行分解可得A2﹣B2=（A+B）（A﹣B），然后再代入A=2x+y，B=2x﹣y即可． 12．【答案】a（b﹣2） 【知识点】因式分解﹣提公因式法 【解析】【解答】解：原式= 故答案为：. 【分析】利用提公因式法分解因式即可求解. 13．【答案】2a(a+2) 【知识点】因式分解﹣提公因式法 【解析】【解答】解：原式=2a(a+2). 故答案为：2a(a+2). 【分析】利用提公因式法进行分解即可. 14．【答案】 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】 分解因式的一般策略是一提二套，即有公因式先提公因式，再考虑套用乘法公式继续分解因式． 15．【答案】a（2－b） 【知识点】因式分解﹣提公因式法 【解析】【解答】解：2a－ab＝a（2－b）， 故答案为：a（2－b）． 【分析】利用提公因式的因式分解法提取a即可。 16．【答案】 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：a2+4ab+4b2=（a+2b）2. 故答案为：（a+2b）2 【分析】观察此多项式的特点：有三项，符合完全平方公式的特点，因此利用完全平方公式分解因式. 17．【答案】 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【解答】先提取公因式 ，再利用平方差公式，可得 ． 故答案是 ． 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式因式分解即可。 18．【答案】或或或 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：∵ 多项式可化为的形式， ①当和作为平方项，作为乘积项， 则有： ∴； ②当和作为平方项，作为乘积项， 则有： ∴； ③当和作为平方项，作为乘积项， 则有：， ∴； 故k的值可取：或或或． 故答案为：或或或． 【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k值即可． 19．【答案】解：大长方形的面积为：（a+2b）（a+b）， 6个小长方形的面积之和为：ab+ab+a2+ab+b2+b2=a2+3ab+b2； ∴a2+3ab+b2=（a+2b）（a+b） 【知识点】因式分解的应用 【解析】【分析】先整体进行计算面积，然后分别计算6个长方形的面积，然后进行求和，即可得出该式子． 20．【答案】（1）解：原式= =， 其中a为，b为1. （2）解：原式= =， 其中a为，b为3. （3）解：原式= =， 其中a为，b为. 【知识点】因式分解-平方差公式 【解析】【分析】（1）根据平方差计算公式直接计算即可； （2）根据平方差计算公式直接计算即可； （3）根据平方差计算公式直接计算即可. 21．【答案】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2） （3）解：依题意得，，， ， ， ． ∵， ∴． 【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用 【解析】【解答】（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； 【分析】 （1）由平移的性质可得虚线部分长度和实则为大长方形的周长，先分别表示出大长方形的长和宽，再利用周长公式计算即可； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． （1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． ∵， ∴． 22．【答案】（1）小磊 （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： （3）解：根据题意得： ∴ ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， n=m+4=4． ∴m=0， n=4 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数 【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； 【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。 （2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值． 23．【答案】（1）解：由题意， ． （2）解：由题意， ， 当时，多项式有最大值． 【知识点】因式分解的应用 【解析】【分析】本题考查配方法的应用因式分解和求最小值。 （1）配方时，注意二次项系数，如果不是1，则先提取系数，再配方，加上一次项系数一半的平方。若系数是1，直接配方即可； （2）求多项式的最大值或最小值时，通过配方的方法，利用平方的非负性，求出最值即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $