精品解析：天津市华新共同体2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

华新共同体2025—2026上九年级数学学科期中试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 顶点坐标 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴为 4. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的解是，则的值（　　） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ） A 8 B. C. D. 2 9. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 11. 某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（ ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 方程的解为：________． 14 已知点与点关于原点对称，则______． 15. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 16. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 17. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为______度． 18. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 20. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 22. 如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 23. 已知二次函数，求： （1）函数图像的顶点坐标及最大值； （2）函数图像与x轴的交点坐标； （3）当时，x取值范围． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． （1）若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； （2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华新共同体2025—2026上九年级数学学科期中试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，先化简方程，再根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】A：，，故该方程为一元一次方程； B：若，则该方程不为一元二次方程； C：，，该方程为一元二次方程，符合题意； D：，该方程为二元二次方程． 故选：C． 2. 如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据按顺时针方向旋转后的图形进行判断即可． 【详解】解：选项A，B，D中的图形将其按顺时针方向旋转后，图形都发生变化， 把选项C中的图形将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变， 故选：C． 3. 对于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 顶点坐标 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，再结合各个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线， A、当时，随的增大而增大，此选项符合题意； B、顶点坐标，此选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，此选项不符合题意； D、对称轴是直线，此选项不符合题意； 故选：A． 4. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 先明确一元二次方程一般式的定义：我们把、、为常数，称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到、、的值，求和即可． 【详解】解：． ． ． ． 故：，，． ． 故选：B． 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 6. 解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程的解是，则的值（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，即使方程成立的未知数的值．根据题意，一元二次方程有一个根为，即时，成立，将代入可得答案． 【详解】解：一元二次方程的解是， ， 则， 所以. 故选：A． 8. 关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，， ∴，， ∴． 故选：A． 9. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 旋转角， 旋转角的度数为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 10. 已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 11. 某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（ ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用. 设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故选：B． 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 14. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解： 点与点关于原点对称， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系，中心对称，掌握以上知识是解题的关键． 15. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 16. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 17. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为______度． 【答案】20 【解析】 【分析】由旋转的性质得到∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°， ∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣60°）＝20°， ∵∠B＝∠D，∠AGF＝∠DFB+∠D＝∠BAD+∠B， ∴∠DFB＝∠BAD＝20°． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质. 18. 当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用公式法和配方法解一元二次方程，准确的计算是解答本题的关键． （1）根据配方法进行求解即可； （2）根据求根公式进行求解即可． 小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：在中，， ∴ ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴ ， ∴， 解得． 20. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 设出解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为（）． 因为函数图象经过，，三点， 将这三点代入解析式得： ，即 解得， 所以，这个二次函数的解析式为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 22. 如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转中心，旋转角是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【小问1详解】 解：旋转中心是，旋转角是； 【小问2详解】 延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【小问3详解】 ， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 23. 已知二次函数，求： （1）函数图像的顶点坐标及最大值； （2）函数图像与x轴的交点坐标； （3）当时，x的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标，最大值4 （2）和 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图像的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式可得顶点坐标，再根据函数开口向下可知顶点的纵坐标即为该函数的最大值； （2）求出函数值为0时的自变量的值； （3）开口向下，且顶点在x轴上方的二次函数在与x轴两个交点之间的函数值满足大于0，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的顶点坐标为，且函数开口向下， ∴函数的最大值为4； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和； 【小问3详解】 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴上方， ∵二次函数开口向下，且与x轴的交点坐标为和， ∴当时，． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 【答案】（1）； （2）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于20元，得出x的取值范围； （2）设商店每天销售利润为w元，由题意得每件商品的利润为元，列出w的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵每件商品利润不少于20元， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设商店每天销售利润为w元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． （1）若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； （2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】（1）①；②点M的坐标为，点G的坐标为； （2）点和点； 【解析】 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【小问1详解】 ①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． 【小问2详解】 由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $