专题01 一元二次方程（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期

**基本信息** 整合天津多区期中真题，聚焦一元二次方程6大高频考点，基础辨析与实际应用结合，适配九年级期中复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约60题|概念识别、解法辨析、根的判别|立足基础，如方程一般形式系数确定、配方法变形| |填空|约26题|根的意义、配方结果、根与系数关系|注重细节，如已知根求参数、配方后k值计算| |解答|约40题|四种解法、实际应用（增长率/面积）|融合情境，如矩形围栏面积、流感传染问题，贴合期中命题趋势|

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津西青·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4．（25-26学年九上·天津部分·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A. 8 B.  C. 10 D.  5．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（       ） A.  B. 2 C.  D. 7 7．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（       ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 9．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）把方程化成一般式，则得值是（     ） A.  B. 7 C.  D. 1 10．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）若关于的一元二次方程的解是，则的值（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（     ） A. 2025 B. 0 C.  D. 2023 12．（25-26学年九上·天津西青·期中）若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 13．（25-26学年九上·天津部分·期中）下列等式是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（       ） A. 3，－2 B. 3，4 C. 3，－4 D. －4，－2 15．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·天津北辰·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D. a 18．（25-26学年九上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 19．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　　　． 20．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 　　　　． 21．（25-26学年九上·天津西青·期中）把一元二次方程化为一般形式为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）若关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·天津北辰·期中）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 2．（25-26学年九上·天津西青·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河北·期中）用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·天津部分·期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）用配方法解方程，变形后结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津河东·期中）将一元二次方程配方后，可化为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）用配方法解，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（     ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 11．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津部分·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津西青·期中）一元二次方程的两根是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程的解是　　　　　　 15．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为　　　　　　　　　　　　　　 16．（25-26学年九上·天津北辰·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）一元二次方程配方为，则k的值是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·河北·期中）解方程：； 19．（25-26学年九上·天津河东·期中）用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3．（25-26学年九上·天津河西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）关于x的一元二次方程的实数根的情况是（          ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b 的取值有关 5．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6．（25-26学年九上·天津部分·期中）关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(          ) A. k<1 B. k≤1 C. k>-1 D. k>1 9．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 10．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 11．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 12．（25-26学年九上·天津北辰·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  13．（25-26学年九上·天津和平·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 15．（25-26学年九上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 17．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 18．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 22．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 23．（25-26学年九上·天津西青·期中）解方程． 24．（25-26学年九上·天津南开·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）当方程有两个相等实数根时，求k的值及方程的根． 25．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有实数解； （2）当该方程的一个根为时，求的值． 26．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）方程的解为：　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·天津河西·期中）请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 3．（25-26学年九上·天津北辰·期中）一元二次方程的较小的根为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·天津西青·期中）菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是方程的一个根，则这个菱形的边长为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）解方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·天津部分·期中）解方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年九上·天津河东·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）3x（x+1）＝3x+3． 9．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 10．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）解方程 （1）； （2）． 11．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）解下列方程： （1）； （2） 12．（25-26学年九上·天津北辰·期中）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）解方程： （1） （2） 14．（25-26学年九上·天津和平·期中）解下列方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·天津部分·期中）解下列关于x的方程． （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17．（25-26学年九上·天津南开·期中）计算： （1） （2） 18．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）解下列一元二次方程 （1） （2） 19．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）解方程： （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知实数a，b满足，则的值为　　　　　　． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（     ） A.  B. 5 C.  D. 1 2．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）若是方程的两个根，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津河东·期中）若是方程的两个根，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是方程的两根，则的值为（     ） A. 1 B. -1 C.  D.  6．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（     ） A. 8 B.  C.  D. 2 7．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（       ） A. 8 B.  C.  D. 16 8．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2 B. 6 C.  D. 0 10．（25-26学年九上·天津南开·期中）若，是方程的两根，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河北·期中）已知方程的两个解为、，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津部分·期中）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为　　　． 15．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求这个方程的两个根． 16．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程有两个实数根，若，则的值为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 19．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是　　． 20．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知方程的两根分别为，，则的值是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 22．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 24．（25-26学年九上·天津西青·期中）若关于x的一元二次方程的两个根是与，则的值是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 26．（25-26学年九上·天津部分·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 28．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 2．（25-26学年九上·天津部分·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）某区今年1月份工业生产总值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6．（25-26学年九上·天津北辰·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津南开·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河北·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·天津红桥·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（       ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（     ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 17．（25-26学年九上·天津河西·期中）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（   ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·天津部分·期中）某数学兴趣小组的同学在元旦互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是（     ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 12 20．（25-26学年九上·天津河东·期中）某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·天津河西·期中）一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 23．（25-26学年九上·天津部分·期中）某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程　　　　． 25．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 26．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 28．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（）    （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 29．（25-26学年九上·天津西青·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 30．（25-26学年九上·天津和平·期中）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 31．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长　　　　　　　米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．C 9．B 10．A 11．A 12．A 13．C 14．C 15．A 16．D 17．B 18．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 19．【答案】3 【分析】 把x=1代入已知方程得到有关m的一元一次方程后求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 20．【答案】． 【分析】 把代入到一元二次方程中求出的值即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形． 通过去括号和移项，将方程化为一般形式． 【详解】 解：由原方程 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． 22．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：1． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 考点02 配方法 1．A 2．A 3．A 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．C 11．D 12．C 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 通过移项将方程化为，再利用直接开平方法求解． 【详解】 解： ， ， 因此，方程的解为，， 故答案为：，． 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【详解】 解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 16．【答案】或 【分析】 本题考查了解一元二次方程，通过移项将方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】 解：， 移项，得， 两边开平方，得， 故答案为：或． 17．【答案】１ 【分析】 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练运用方法是解答此题的关键．利用一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】 解： 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：． 19．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (4) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 考点03 公式法 1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．C 11．A 12．B 13．C 14．D 15．D 16．【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用公式法和配方法解一元二次方程，准确的计算是解答本题的关键． （1）根据配方法进行求解即可； （2）根据求根公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴ ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴ ， ∴， 解得． 18．【答案】 【分析】 本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】 解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 19．【答案】且 【分析】 本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围，解题的关键是掌握二次函数与x轴有交点得判别式大于等于零，且二次项系数不为零． 根据二次函数定义二次项系数不为0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴ ， 解得： ， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解． 【详解】 方程 中，， 判别式， 由于方程有两个不相等的实数根，故， 即， 解得． 故答案为：． 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，公式法是解题的关键． （1）运用配方法，先移项，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此得到，直接开方即可求解； （2）确定，得到，运用求根公式即可求解． (1) 小问详解： 解： 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． 22．【答案】（1），方程另外一个根为     （2）原方程有两个不相等的实数根      【分析】 本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． (1) 小问详解： 时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； (2) 小问详解： ， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 23．【答案】， 【分析】 本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤计算即可． 【详解】 解： ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 24．【答案】（1） 证明：在关于的一元二次方程中， ， 无论取何值，该方程总有实数根；     （2）的值为2，根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程的解法，解题的关键是掌握①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出无论取何值，该方程总有实数根； （2）根据题意得出，即可求出的值，再求解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得， ∴， 解得：， 所以的值为2，根为． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入，即可求出m． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， ∴的值为． 26．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 解得，． 考点04 因式分解法 1．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 “配方法”和“因式分解法”解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方法求解； （2）等号左边直接十字相乘进行因式分解，化为两个一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 3．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，利用因式分解法求出方程的解，即可求出较小的根． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得， ∵， 一元二次方程的较小的根为， 故答案为： ． 4．【答案】或5 【分析】 本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键． 先解方程 ，可得到菱形的另一条对角线长．再根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求边长． 【详解】 解：， ， 解得：或． ∴菱形的另一条对角线长为6或8， ∵菱形一条对角线的长为6， ∴菱形的边长或． 故答案为：或5． 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． (1) 小问详解： ∴ 解得，； (2) 小问详解： ∴或 解得，． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解： 或 ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 7．【答案】，， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 8．【答案】（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1 【分析】 （1）根据配方法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】 （1）x2﹣6x﹣4＝0 x2﹣6x+9＝13 （x-3）2＝13 x-3=± ∴x1=+3，x2=-+3 （2）3x（x+1）＝3x+3 3x（x+1）-3（x+1）=0 3（x+1）（x-1）=0 ∴x+1=0或x-1=0 ∴x1=-1，x2=1． 【点睛】 此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用． 9．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解得，； (2) 小问详解： 或 解得，． 10．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, ∴ 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴ 解得，． 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后根据直接开平方法求解； （2）先变形得到，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， 解得，． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， (2) 小问详解： 解： 或 ， 14．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法和配方法是解题的关键． （1）移项后提取公因式，利用因式分解法计算即可； （2）移项整理后，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或， ∴． (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴． 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 解得，． 16．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入，即得出关于m的等式，解出m即可； （2）当时，原方程为，再利用因式分解法解该方程即可； （3）根据该方程有两个不相等的实数根，即得出其根的判别式，从而得出关于m的不等式，解出m的解集即可． (1) 小问详解： 将代入，得： ， 解得：； (2) 小问详解： 当时，原方程为． 解：， ， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： ∵， ∴，，． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解得定义，解一元二次方程，由一元二次方程根的情况求参数．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值，解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 17．【答案】（1）,      （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和直接开方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ； (2) 小问详解： 解：， 整理得， 即， 解得：． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）先计算，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，． 19．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得解； （2）将方程化为一般式，再利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．【答案】2 【分析】 本题考查配方法的应用，非负数的性质．利用配方法把原式变形为，再利用因式分解得到或，据此解答即可． 【详解】 解： ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由于，， ∴不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：2． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 11．A 12．D 13．A 14．【答案】7 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系可得即可求解. 【详解】 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝7， 故答案为：7． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）设方程的另一个根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （）设方程的两个相等的实数根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； (2) 小问详解： 解：设方程的两个相等的实数根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即这个方程的两个根为． 16．【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17．【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于 ，结合已知条件求解． 【详解】 解：对于方程 ，其中 , , ． 根据根与系数的关系，有 ． 已知 ，代入得 ，解得 ． 故答案为：4． 18．【答案】（1）有两个不相等的实数根     （2）      【分析】 （1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， （2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点． (1) 小问详解： 解：， 有两个不相等的实数根； (2) 小问详解： 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ， ，解得：． 19．【答案】－3 【分析】 设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】 ∵方程的一个根为2， 设另一个根为a， ∴2a=－6， 解得：a=－3． 故答案为：－3 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式展开，整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】 解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1）      （2） 的值为，方程的另一根为      【分析】 （1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 22．【答案】2020 【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值．将代数式变形为的形式是关键． 根据根与系数的关系得出，由解的意义得，再将变形为，代入数据即可得出结论． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ∴ ． 故答案为：2020． 23．【答案】(1) k≤;(2) -2. 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程，方程 化为标准形式后一次项系数为零，因此两根之和为零，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】 解：设方程的两根分别是、， 方程 可化为 ， ， 方程两根为 和 ， ， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 26．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】 解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 27．【答案】（1），     （2） 解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根．     （3）      【分析】 本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，解得，． （2）理解题意，则，即可作答． （3）先理解题意，则，，再结合，故，解得的值，即可作答． (1) 小问详解： 解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的面积，是解决问题的关键． （1）根据方程有两个实数根可知，方程的根的判别式大于或等于0，列不等式求解即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于k的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为；． (2) 小问详解： ∵方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长， 且矩形的面积为8， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴． ∴k的值为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．A 9．D 10．B 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A 16．B 17．B 18．C 19．B 20．D 21．【答案】 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】 解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 22．【答案】（1）； ；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，由于4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用户数量增长至36万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 先求出矩形的长为步，再列方程，即可解答． 【详解】 解：设宽为x步，则矩形的长为步，由题意列方程得 ． 故答案为：． 25．【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；     （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到．      【分析】 （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 26．【答案】 【分析】 设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 27．【答案】（1）；     （2）当为时，矩形花园的面积为      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． （1）利用矩形的性质可得到，即可得到的表达式，再根据大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为． 28．【答案】（1）     （2）当时     （3）存在，      【分析】 （1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解； （3）根据即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为4cm2 【点睛】 本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 29．【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 30．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 31．【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】 解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，先化简方程，再根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】 A：，，故该方程为一元一次方程； B：若，则该方程不为一元二次方程； C：，，该方程为一元二次方程，符合题意； D：，该方程为二元二次方程． 故选：C． 2．（25-26学年九上·天津西青·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2）进行判断即可． 【详解】 解：选项A：是一元一次方程，不符合题意； 选项B：，可化为，是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； 选项C：，不是整式方程（分母含未知数），不是一元二次方程，不符合题意； 选项D：，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 3．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项得到标准形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式，将方程化为标准形式后确定系数． 【详解】 解：将方程移项，得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 4．（25-26学年九上·天津部分·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A. 8 B.  C. 10 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，通过移项将右边常数项变号后移到左边即可得出答案． 【详解】 解：∵将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1， ∴一般形式为，常数项为10． 故选：C． 5．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A．含2个未知数，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； B．是关于的一元二次方程，故符合题意；        C．当时，变为，不是关于的一元二次方程，故不符合题意；        D．整理得，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 6．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（       ） A.  B. 2 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】 解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为3，一次项系数为， 故选：A． 7．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程，将根代入方程求解的值． 【详解】 是方程 的根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（       ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是， 故选：C． 9．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）把方程化成一般式，则得值是（     ） A.  B. 7 C.  D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 先明确一元二次方程一般式的定义：我们把、、为常数，称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到、、的值，求和即可． 【详解】 解：． ． ． ． 故：，，． ． 故选：B． 10．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）若关于的一元二次方程的解是，则的值（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的解的意义，即使方程成立的未知数的值．根据题意，一元二次方程有一个根为，即时，成立，将代入可得答案． 【详解】 解：一元二次方程的解是， ， 则， 所以. 故选：A． 11．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（     ） A. 2025 B. 0 C.  D. 2023 【答案】A 【分析】 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26学年九上·天津西青·期中）若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 利用方程根的定义，将代入方程得到等式，然后通过代数变换求值． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， 即． 两边同乘以2得： ． ∴的值为4． 故选A． 13．（25-26学年九上·天津部分·期中）下列等式是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据等号两边是只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式的方程是一元二次方程逐个判断即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， 是二元一次方程，不符合题意， 当时，不是一元二次方程，不符合题意， 是一元二次方程，符合题意， 是分式方程，不符合题意， 故选：C． 14．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（       ） A. 3，－2 B. 3，4 C. 3，－4 D. －4，－2 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 解：，化为一般式为 则二次项系数和一次项系数分别是 故选C 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 15．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义判断即可； 【详解】 A选项：由原方程知：，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B选项：该方程是分式方程，故本选项错误； C选项：当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； D选项：该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的定义理解，准确判断是解题的关键． 16．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】 解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 17．（25-26学年九上·天津北辰·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D. a 【答案】B 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：① 整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 18．（25-26学年九上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　　　． 【答案】3 【分析】 把x=1代入已知方程得到有关m的一元一次方程后求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 20．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 　　　　． 【答案】． 【分析】 把代入到一元二次方程中求出的值即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键． 21．（25-26学年九上·天津西青·期中）把一元二次方程化为一般形式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形． 通过去括号和移项，将方程化为一般形式． 【详解】 解：由原方程 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）若关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：1． 23．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·天津北辰·期中）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 【答案】A 【分析】 利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】 解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 2．（25-26学年九上·天津西青·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先在方程的两边都加上8，再配方即可. 【详解】 解：∵， ∴ ∴ 故选A 【点睛】 本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键. 3．（25-26学年九上·河北·期中）用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可． 【详解】 解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为； 故选A． 4．（25-26学年九上·天津部分·期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】 解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 5．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；② 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③ 配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】 解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 6．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可 【详解】 解：， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）用配方法解方程，变形后结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】 解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．（25-26学年九上·天津河东·期中）将一元二次方程配方后，可化为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】 解： ， 故选：A． 9．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）用配方法解，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于明确将一元二次方程配成的形式． 移项得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】 解： ∴ ∴ 故选：B． 10．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若是方程的一个实数根，且，则估计的值在（     ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【分析】 本题考查的是平方根的应用及无理数的估算，通过解方程得到，然后比较相邻整数的平方以确定 的范围即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 即m在4和5之间， 故选：C． 11．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用配方法解方程，则方程可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据完全平方公式方程的左边变形，得到答案． 【详解】 解：， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 12．（25-26学年九上·天津部分·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：移项得，， 配方得，， 即， ∴变形正确的是， 故选：． 13．（25-26学年九上·天津西青·期中）一元二次方程的两根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程的解是　　　　　　 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 通过移项将方程化为，再利用直接开平方法求解． 【详解】 解： ， ， 因此，方程的解为，， 故答案为：，． 15．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【详解】 解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·天津北辰·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了解一元二次方程，通过移项将方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】 解：， 移项，得， 两边开平方，得， 故答案为：或． 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）一元二次方程配方为，则k的值是　　　　　　． 【答案】１ 【分析】 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 18．（25-26学年九上·河北·期中）解方程：； 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练运用方法是解答此题的关键．利用一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】 解： 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：． 19．（25-26学年九上·天津河东·期中）用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； (4) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的能力，解题的关键是能准确理解运用一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 逐一计算各选项中一元二次方程根的判别式进行判断、辨别，若，则方程没有实数根． 【详解】 解： A、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、中，，故方程没有实数根，符合题意； D、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 将原方程整理，即得出，从而可求出其根的判别式，进而得出该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 ， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根． 3．（25-26学年九上·天津河西·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】 解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）关于x的一元二次方程的实数根的情况是（          ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b 的取值有关 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 直接根据根的判别式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴方程无实数根． 故选：A． 6．（25-26学年九上·天津部分·期中）关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实数根，平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 方程没有实数根，需满足右边小于零，因为左边平方项非负． 【详解】 解：∵方程没有实数根，且， ∴， ∴， ∴． 选项C中，符合条件． 故选C． 8．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(          ) A. k<1 B. k≤1 C. k>-1 D. k>1 【答案】A 【详解】 ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：. 故选A. 9．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【分析】 先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程为， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选B． 【点睛】 本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式的值，，有两个不相等的实数根；，有两个不相等的实数根；，没有实数根． 10．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 11．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】 解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 12．（25-26学年九上·天津北辰·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有两个不相等的实数根需满足判别式大于零。结合两者求解k的取值范围。 【详解】 解：∵方程 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴且， 即， ∴，即 ， ∴ 且 。 故选：B． 13．（25-26学年九上·天津和平·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 逐项计算一元二次方程的判别式，判断实数根的情况即可，若，则有两个不相等的实数根； 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式和根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 【详解】 解：选项A：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根； 选项B：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根； 选项C：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 选项D：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等实数根． 故选：C． 14．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 【答案】D 【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0 ∴k＜且k≠0， 故选D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 15．（25-26学年九上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 16．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 17．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用公式法和配方法解一元二次方程，准确的计算是解答本题的关键． （1）根据配方法进行求解即可； （2）根据求根公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：在中，， ∴ ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴ ， ∴， 解得． 18．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】 解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 19．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围，解题的关键是掌握二次函数与x轴有交点得判别式大于等于零，且二次项系数不为零． 根据二次函数定义二次项系数不为0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴ ， 解得： ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解． 【详解】 方程 中，， 判别式， 由于方程有两个不相等的实数根，故， 即， 解得． 故答案为：． 21．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，公式法是解题的关键． （1）运用配方法，先移项，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此得到，直接开方即可求解； （2）确定，得到，运用求根公式即可求解． (1) 小问详解： 解： 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． 22．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 【答案】（1），方程另外一个根为     （2）原方程有两个不相等的实数根      【分析】 本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． (1) 小问详解： 时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； (2) 小问详解： ， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 23．（25-26学年九上·天津西青·期中）解方程． 【答案】， 【分析】 本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤计算即可． 【详解】 解： ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 24．（25-26学年九上·天津南开·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）当方程有两个相等实数根时，求k的值及方程的根． 【答案】（1） 证明：在关于的一元二次方程中， ， 无论取何值，该方程总有实数根；     （2）的值为2，根为      【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程的解法，解题的关键是掌握①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出无论取何值，该方程总有实数根； （2）根据题意得出，即可求出的值，再求解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得， ∴， 解得：， 所以的值为2，根为． 25．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有实数解； （2）当该方程的一个根为时，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入，即可求出m． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， ∴的值为． 26．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 解得，． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）方程的解为：　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 2．（25-26学年九上·天津河西·期中）请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 “配方法”和“因式分解法”解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方法求解； （2）等号左边直接十字相乘进行因式分解，化为两个一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴，． 3．（25-26学年九上·天津北辰·期中）一元二次方程的较小的根为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，利用因式分解法求出方程的解，即可求出较小的根． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得， ∵， 一元二次方程的较小的根为， 故答案为： ． 4．（25-26学年九上·天津西青·期中）菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是方程的一个根，则这个菱形的边长为　　　　　　． 【答案】或5 【分析】 本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键． 先解方程 ，可得到菱形的另一条对角线长．再根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求边长． 【详解】 解：， ， 解得：或． ∴菱形的另一条对角线长为6或8， ∵菱形一条对角线的长为6， ∴菱形的边长或． 故答案为：或5． 5．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． (1) 小问详解： ∴ 解得，； (2) 小问详解： ∴或 解得，． 6．（25-26学年九上·天津部分·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解： 或 ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 7．（25-26学年九上·天津河东·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 8．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）3x（x+1）＝3x+3． 【答案】（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1 【分析】 （1）根据配方法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解． 【详解】 （1）x2﹣6x﹣4＝0 x2﹣6x+9＝13 （x-3）2＝13 x-3=± ∴x1=+3，x2=-+3 （2）3x（x+1）＝3x+3 3x（x+1）-3（x+1）=0 3（x+1）（x-1）=0 ∴x+1=0或x-1=0 ∴x1=-1，x2=1． 【点睛】 此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用． 9．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用合适的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解得，； (2) 小问详解： 或 解得，． 10．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得． 11．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵, ∴ 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴ 解得，． 12．（25-26学年九上·天津北辰·期中）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后根据直接开平方法求解； （2）先变形得到，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， 解得，． 13．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， (2) 小问详解： 解： 或 ， 14．（25-26学年九上·天津和平·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法和配方法是解题的关键． （1）移项后提取公因式，利用因式分解法计算即可； （2）移项整理后，利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或， ∴． (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴． 15．（25-26学年九上·天津部分·期中）解下列关于x的方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 解得，． 16．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入，即得出关于m的等式，解出m即可； （2）当时，原方程为，再利用因式分解法解该方程即可； （3）根据该方程有两个不相等的实数根，即得出其根的判别式，从而得出关于m的不等式，解出m的解集即可． (1) 小问详解： 将代入，得： ， 解得：； (2) 小问详解： 当时，原方程为． 解：， ， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： ∵， ∴，，． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解得定义，解一元二次方程，由一元二次方程根的情况求参数．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值，解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 17．（25-26学年九上·天津南开·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）,      （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和直接开方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ； (2) 小问详解： 解：， 整理得， 即， 解得：． 18．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）先计算，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，． 19．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得解； （2）将方程化为一般式，再利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知实数a，b满足，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查配方法的应用，非负数的性质．利用配方法把原式变形为，再利用因式分解得到或，据此解答即可． 【详解】 解： ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由于，， ∴不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：2． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（     ） A.  B. 5 C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】 解：∵方程 的两个实数根分别为，， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）若是方程的两个根，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数关系，先将化为一般式，再由一元二次方程根与系数关系得到，，即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】 解：是方程的两个根， ，， 故选：A． 3．（25-26学年九上·天津河东·期中）若是方程的两个根，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】 解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 4．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 5．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知是方程的两根，则的值为（     ） A. 1 B. -1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程中根与系数的关系，直接利用解题即可． 【详解】 解：∵是方程的两根， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（     ） A. 8 B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，， ∴，， ∴． 故选：A． 7．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（       ） A. 8 B.  C.  D. 16 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值，即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程的两个根为， ，， ， 故选：B． 8．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 由关于的一元二次方程的两根分别为，，利用根与系数的关系，即可求得与的值． 【详解】 解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，． 故选：C． 【点睛】 此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，，是方程的两根时，则，． 9．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2 B. 6 C.  D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用m是方程根的性质，将表达式简化，并利用根与系数的关系求值． 【详解】 解：∵m是方程 的根， ∴， 即， ∴ ， ∵m，n是方程的两个根， ∴（根与系数的关系）， ∴ ， 故选：B． 10．（25-26学年九上·天津南开·期中）若，是方程的两根，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于是解决此题的关键． 先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】 解：将变形为 根据根与系数的关系：， 故选：D． 11．（25-26学年九上·河北·期中）已知方程的两个解为、，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．直接应用两根之和与两根之积公式计算表达式的值． 【详解】 解：∵方程中， ∴，， ∴． 故选：A． 12．（25-26学年九上·天津部分·期中）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】 解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 13．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解． 【详解】解：是一元一次方程的两根， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 14．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为　　　． 【答案】7 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系可得即可求解. 【详解】 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝7， 故答案为：7． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系. 15．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求这个方程的两个根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）设方程的另一个根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （）设方程的两个相等的实数根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； (2) 小问详解： 解：设方程的两个相等的实数根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即这个方程的两个根为． 16．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）方程有两个实数根，若，则的值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于 ，结合已知条件求解． 【详解】 解：对于方程 ，其中 , , ． 根据根与系数的关系，有 ． 已知 ，代入得 ，解得 ． 故答案为：4． 18．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 【答案】（1）有两个不相等的实数根     （2）      【分析】 （1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， （2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点． (1) 小问详解： 解：， 有两个不相等的实数根； (2) 小问详解： 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ， ，解得：． 19．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是　　． 【答案】－3 【分析】 设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根． 【详解】 ∵方程的一个根为2， 设另一个根为a， ∴2a=－6， 解得：a=－3． 故答案为：－3 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 20．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知方程的两根分别为，，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式展开，整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】 解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）      （2） 的值为，方程的另一根为      【分析】 （1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 22．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为　　　　　　　　　． 【答案】2020 【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值．将代数式变形为的形式是关键． 根据根与系数的关系得出，由解的意义得，再将变形为，代入数据即可得出结论． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ∴ ． 故答案为：2020． 23．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2) -2. 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】 （1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 24．（25-26学年九上·天津西青·期中）若关于x的一元二次方程的两个根是与，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程，方程 化为标准形式后一次项系数为零，因此两根之和为零，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】 解：设方程的两根分别是、， 方程 可化为 ， ， 方程两根为 和 ， ， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 26．（25-26学年九上·天津部分·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】 解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 【答案】（1），     （2） 解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根．     （3）      【分析】 本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，解得，． （2）理解题意，则，即可作答． （3）先理解题意，则，，再结合，故，解得的值，即可作答． (1) 小问详解： 解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 28．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的面积，是解决问题的关键． （1）根据方程有两个实数根可知，方程的根的判别式大于或等于0，列不等式求解即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于k的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为；． (2) 小问详解： ∵方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长， 且矩形的面积为8， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴． ∴k的值为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 【答案】D 【分析】 设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 2．（25-26学年九上·天津部分·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：， 故选：D． 3．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）某区今年1月份工业生产总值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2月、3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程，先分别表示出2月，3月的产值，再根据总产值相等列出方程． 【详解】 根据题意可知2月的总产值为亿元，3月的总产值为，得 ． 故选：C． 4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案． 【详解】 解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得． 故选：C． 5．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． 设计划组织x支球队参加，根据计划安排28场比赛列方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：计划组织支球队参加，每两个球队之间都要比赛一场， 则需比较场， 根据题意可知：， 整理得：， 解得：，（舍去） 则计划组织8支球队参加， 故选：C 6．（25-26学年九上·天津北辰·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】 解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 7．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据平移的性质可得草坪的总面积相当于一个长为，宽为的矩形面积，据此根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年九上·天津南开·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】 解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 9．（25-26学年九上·河北·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得 故选：D． 10．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】 解：依题意得，， 故选：B． 11．（25-26学年九上·天津红桥·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，关键是用方程的思想解决问题； 由于门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理列出方程． 【详解】 解：∵门的高为尺，高比宽多尺， ∴宽为尺， ∵门的对角线长为尺， ∴由勾股定理得：． 故答案选：B． 12．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】 解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 故选：C 13．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查列一元二次方程解决平均增长率问题，根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】 解：某校去年对实验器材的投资为2万元，该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x， 则今年对实验器材的投资为，明年对实验器材的投资为， 故， 故选：A． 14．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（       ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【答案】D 【分析】 本题考查了列代数式及一元二次方程的应用；根据题意逐项计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】 解：A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确； D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误； 故选：D． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】 解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 16．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（     ）人． A. 5 B. 6 C. 29 D. 30 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用. 设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】 解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故选：B． 17．（25-26学年九上·天津河西·期中）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 18．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得: x2+x+1=91． 故选C． 19．（25-26学年九上·天津部分·期中）某数学兴趣小组的同学在元旦互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是（     ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 12 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 设数学兴趣小组人数为n，每两人互赠一张贺卡，总贺卡数为，然后再解一元二次方程即可． 【详解】 解：设数学兴趣小组人数为n， 根据题意可得：，即， 解得：或（舍去负数解）． 所以数学兴趣小组的人数有10人． 故选B． 20．（25-26学年九上·天津河东·期中）某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：四月份月销售额+五月份月销售额+六月份月销售额=1200，把相关数值代入即可求解． 【详解】 解：设5、6月的销售额月平均增长率为x，则5月份的销售额为万元，6月份的销售额为万元， 根据题意，第二季度总销售额为1200万元， 即． 故选：D． 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】 解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 22．（25-26学年九上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】（1）； ；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 23．（25-26学年九上·天津部分·期中）某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，由于4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用户数量增长至36万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，设宽为x步，可得方程　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 先求出矩形的长为步，再列方程，即可解答． 【详解】 解：设宽为x步，则矩形的长为步，由题意列方程得 ． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；     （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到．      【分析】 （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 26．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 27．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 【答案】（1）；     （2）当为时，矩形花园的面积为      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． （1）利用矩形的性质可得到，即可得到的表达式，再根据大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为． 28．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（）    （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）当时     （3）存在，      【分析】 （1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解； （3）根据即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为4cm2 【点睛】 本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 29．（25-26学年九上·天津西青·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 30．（25-26学年九上·天津和平·期中）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 31．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长　　　　　　　米． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】 解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $