第1章 三角形综合提优练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初二数学第1章三角形综合提优练习，覆盖三角形边与角、全等判定、等腰与直角三角形性质等核心知识点，梯度设计合理，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|三角形三边关系、全等判定（AAS/SAS）、角平分线性质|结合图形考查推理能力，如第2题通过条件辨析全等判定方法| |填空题|8题|等腰三角形多解、直角三角形30°性质、折叠变换|体现几何直观，如第10题分类讨论等腰三角形内角| |解答题|3题|垂直平分线应用、全等证明与计算、尺规作图|注重综合应用，如19题结合直角三角形性质与中点条件推理角度| |附加题|1题|旋转全等、角平分线判定、线段和差|发展创新意识，通过动态图形探究结论（如α=60°时PE=AP+PD）|

初二数学综合提优练习（第1章 三角形） 初二（____）班 学号 姓名 一．选择题： 1．若三角形的两条边的长度分别是4cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm 2．如图，若∠ABC＝∠DBC，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△DBC的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝BD C．AC＝DC D．CB平分∠ACD 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 5．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是（　　） A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线 C． D．S△ABF＝3S△BCF 7．如图，从△ABC内一点O出发把△ABC剪成三个三角形（图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，PA＝CQ，连接PQ交AC于D，若CD＝3，BQ＝10，则PA的长为（　　） A．2 B．2.2 C．2.5 D．2.4 二．填空题： 9．在△ABC中，AB＝AC，BC＝7，∠B＝60°，则△ABC的周长是　 　 ． 10．等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B＝　 　 ． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BD＝1，则线段AD的长度为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠BAD＜∠CAD，则AB　 　 AC．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝ 　 　 ． 14．如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于50°，则∠A度数等于　 　 ． 三．解答题 17．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，求CE的值． 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E是AC上一点． （1）求证：BE＝DE； （2）若E是AC的中点，延长DE交AB于点F，且BF＝EF，求∠BAC的度数． 附加题： 如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．下列结论：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．其中一定正确的结论的序号是 　 　 ． 答案与解析 1．若三角形的两条边的长度分别是4cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm 【答案】A 【解答】解：设三角形第三条边的长度为xcm， ∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12， ∵12cm不在4＜x＜12的范围内， ∴第三条边的长度不可能是12cm． 故选：A． 2．如图，已知∠ABC＝∠DBC，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△DBC的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝BD C．AC＝DC D．CB平分∠ACD 【答案】C 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断如下：A．添加∠A＝∠D，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用AAS证明△ABC≌△DBC，故C不符合题意； B．添加AB＝BD，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用SAS证明△ABC≌△DBC，故B不符合题意； C．添加AC＝DC，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，不可以证明△ABC≌△DBC，故C符合题意； D．添加CB平分∠ACD，得∠ACB＝∠DCB，结合条件∠ABC＝∠DBC，BC＝BC，可以利用ASA证明△ABC≌△DBC，故D不符合题意． 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 【答案】D 【解答】解：作DF⊥AB于点F， ∵∠C＝90°，∴CD⊥AC于点C， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，CD⊥AC于点C， ∴DF＝CD＝3， ∴点D到AB的距离为3， 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　） A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 故选：C． 5．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝80°， ∴∠B＝∠ADB＝80°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°， ∵AD＝CD， ∴∠C40°． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是（　　） A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线 C． D．S△ABF＝3S△BCF 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， 由作图可知DE垂直平分线段AB， ∴AF＝BF，故选项A正确，不符合题意， ∴∠FBA＝∠A＝30°， ∴∠CBF＝∠ABF＝30°， ∴BF是∠ABC的平分线，CFBF，故选项B，C正确，不符合题意； ∴AF＝BF＝2CF， ∴S△ABF＝2S△CBF，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 7．如图，从△ABC内一点O出发把△ABC剪成三个三角形（图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F． ∵MN∥AB， ∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'． 由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'， ∴OD'＝OE'＝OF'， ∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点， 故选：A． 8．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，点Q为BC延长线上一点，PA＝CQ，连接PQ交AC于D，若CD＝3，BQ＝10，则PA的长为（　　） A．2 B．2.2 C．2.5 D．2.4 【答案】A 【解答】解：过点P作PF∥BC交AC于点F，如图1； ∵PF∥BC， ∴△APF∽△ABC， ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形， ∴∠APF＝∠BCA＝60°，AP＝PF＝AF＝CQ， ∵CD＝3，BQ＝10， ∴2PA+6＝10， ∴PA＝2， 故选：A． 9．在△ABC中，AB＝AC，BC＝7，∠B＝60°，则△ABC的周长是　 21 　 ． 【答案】21． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝7+7+7＝21， 故答案为：21． 10．等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B＝　80°或50°或20°　 ． 【答案】80°或50°或20° 【解答】解： ①∠A是顶角， 那么∠B（180°﹣80°）＝50°； ②∠A是底角，且∠A＝∠B， 那么∠B＝80°； ③∠A是底角，且∠A＝∠C， 那么∠B＝180°﹣2×80°＝20°． 故填80°或50°或20°． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BD＝1，则线段AD的长度为　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD＝2， ∴AB＝2BC＝2×2＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠BAD＜∠CAD，则AB　＜　 AC．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【解答】解：如图，过点A作∠DAE＝∠DAB， ∵∠BAD＜∠CAD， ∴∠EAD＜∠CAD， ∴AE＜AC， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ADB和△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（ASA）， ∴AB＝AE， ∴AB＜AC， 故答案为：＜． 13．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝ 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵AB∥CF， ∴∠A＝∠FCE， ∠B＝∠F， ∵点E为BF中点， ∴BE＝FE， 在△ABE与△CFE中， ， ∴△ABE≌△CFE（AAS）， ∴AB＝CF＝6， ∵AD＝4， ∴BD＝2， 故答案为：2． 14．如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　74°　 ． 【答案】74°． 【解答】解：连接DC， ∵DE和DF分别垂直平分AB、AC， ∴点D是△ABC的外心，DB＝CD， ∴∠A∠BDC，∠DBC＝∠DCB， ∵∠DBC＝16°， ∴∠BDC＝148°， ∴∠A148°＝74°． 故答案为：74°． 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6， ∴∠B＝∠C＝45°，S△ABC6×6＝18， ∵D为边BC的中点， ∴AD＝CD＝BDBC，∠DAE＝∠DAC∠BAC＝45°， ∴∠DAE＝∠C，S△ACD＝S△ABDS△ABC＝9， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACD＝9， ∴四边形AEDF的面积为9， 故答案为：9． 16．如图示，在△ABC∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于50°，则∠A度数等于　40°或25°　 ． 【答案】40°或25° 【解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB， ∴D是AB的中点， ∴CDAB＝AD＝BD， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B， 当∠CPD＝50°时，∠B＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝40°； 当∠PCD＝50°时，∠DCB＝∠B＝50°， ∴∠A＝40°； 当∠PDC＝50°时， ∵∠PCD＝DCB＝50°，∠BDC＝∠A+∠ACD， ∴∠A∠BDC＝25°； 故答案为：40°或25°． 17．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，P点、P′点即为所求． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，求CE的值． 【答案】3． 【解答】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C（等边对等角）， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝33． 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E是AC上一点． （1）求证：BE＝DE； （2）若E是AC的中点，延长DE交AB于点F，且BF＝EF，求∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析过程； （2）36°． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）； ∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD， 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）设∠BAC的度数为x°， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC的中点， ∴BEAC＝AE， ∴∠ABE＝∠BAE＝x°， ∵BF＝EF， ∴∠ABE＝∠BEF＝x°， ∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE， ∴∠BEC＝2x°， ∵△BCE≌△DCE， ∴∠DEC＝∠BEC＝2x°． ∴∠AEF＝2x°， 在△ABE中，∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°， ∴5x＝180， 解得x＝36． ∴∠BAC＝36°． 附加题： 如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．下列结论：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．其中一定正确的结论的序号是 　①③④ 　 ． 【答案】①③④ 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴BD＝CE，故①符合题意； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP， ∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②不符合题意； 如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE， ∴S△BAD＝S△CAE， ∴BD×AHCE×AF，且BD＝CE， ∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE， ∴AP平分∠BPE，故③符合题意； 如图，在线段PE上截取OE＝PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD， ∴△AOE≌△APD（SAS） ∴AP＝AO， ∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE， ∴∠APO＝60°，且AP＝AO， ∴△APO是等边三角形， ∴AP＝PO， ∵PE＝PO+OE， ∴PE＝AP+PD，故④符合题意． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $