第二十八章 旋转（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 九年级旋转单元卷以生活情境（风力发电机叶片旋转）与几何探究（正方形旋转面积最值）为载体，覆盖旋转概念、性质及综合应用，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转概念、中心对称图形、坐标旋转|生活情境（题1风力发电机）与几何审美（题2雪花图案）| |填空题|5/15|旋转重合角度、旋转后点共线|基础概念与空间想象（题11四角风车旋转角度）| |解答题（一）|3/24|坐标系旋转作图、正方形旋转|动手操作与基础推理（题16旋转作图）| |解答题（二）|3/27|旋转全等证明、医药箱旋转|实际应用（题20医药箱模型）与逻辑推理| |解答题（三）|2/24|正方形旋转探究、函数与旋转综合|跨知识综合（题22几何与函数）及创新探究|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十八章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是 A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、球场上滚动的足球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．①勾股树 B．②分形树 C．③谢尔宾斯基三角形 D．④雪花 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 4．如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形旋转的性质可知，据此即可求得答案． 【详解】解：根据图形旋转的性质可知， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是明确旋转角的意义，对应边旋转后的夹角等于旋转角． 5．如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称、全等三角形的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴≌， ∴点与点是对称点，，，， 故①②③正确． 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 7．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 8．如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键．如图作轴于，轴于，证出，得出，，再由的坐标为，即可得解． 【详解】解：如图作轴于，轴于． ∴， ∵将绕逆时针旋转得， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∵的坐标为， ∴，， ∴点坐标， 9．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点D作，，连接、交于点O．根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即时，底边最短，即可求出面积最小值． 【详解】解：过点D作，，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 旋转过程中，菱形的高不变，底变化， 当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：， 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的四角风车至少旋转__________°就可以与原图形重合． 【答案】90 【分析】如图所示，∠AOB即为所求，由题意得∠AOB=90°，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∠AOB即为所求， 由题意得，∠AOB=90°， ∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合， 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的意义． 12．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，根据旋转的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转°得到． ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则图中阴影部分的面积是_________. 【答案】/ 【分析】过A作AH⊥BC于H，通过解直角三角形，即可得到AH的长，进而得到平行四边形ABCD的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD． 【详解】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AH＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴S△AOF＝S△COE， ∴图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD＝， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 14．如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转90°得到，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，，然后判断出，与是直角三角形；在直角三角形中，根据勾股定理求出,在直角三角形中，根据勾股定理求出,再求出,最后根据面积公式求出即可． 【详解】解：如图， 把绕点逆时针旋转90°得到， 根据旋转的性质可得是等腰直角三角形， ，， ， ， 在直角三角形中 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键． 15．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键． 求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点； ∴，，， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为， ∵ ∴的解析式为， ∴当时，． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出的对应点，顺次连接可得； （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，按照同样的平移规律写出点的坐标即可． 【详解】(1)如图所示． （2）解：， 向右平移5个单位，再向下平移2个单位． 即每个点的横坐标加5，纵坐标减2． ， ． 17．如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； （2）解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F． (1)求证：△AEC≌△ADB； (2)若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长． 【分析】（1）由于旋转，得到△ABC≌△ADE，由全等性质去证明∠DAB＝∠EAC，便可证明△AEC≌△ADB，从而得到结论； （2）根据四边形ADFC是平行四边形，根据平行四边形的性质以及题目所给条件可以得到∠ABD＝∠BAC＝45°，又因为旋转的性质，可以得到∠ADB＝∠ABD＝45°，从而得到的度数，再根据勾股定理以及△AEC≌△ADB，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC， ∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠DAB， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）解：∵四边形ADFC是平行四边形， ∴， ∴∠ABD＝∠BAC＝45°， 又∵， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠DAB＝90°， 由勾股定理得， ∵△AEC≌△ADB， ∴EC＝DB＝． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和证明过程，以及四边形的相关知识，直角三角形的应用，熟悉这些知识点是解题的关键． 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 【分析】（1）判定是等边三角形，解答即可； （2）过点作于点，垂足为点，且与交于点．利用等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，由题意得， 是等边三角形， ， 故点与点之间的距离为． （2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点． 由题易得四边形为矩形， ， 由（1）可知，则 答：点到的距离为． 21．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为； ②由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以； ③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当 时，为直角三角形，． 【详解】解：（1）①；②4；③； ①为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 旋转角的度数为； ②绕点B顺时针旋转后得到， ， 而， 为等边三角形； ； ③为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 在中，， ， ， 为直角三角形，， ； （2）解：当满足时， ．理由如下： 绕点B顺时针旋转后得到， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形，， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，根据熟练掌握旋转性质并灵活运用是解答本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② (2)正方形； 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 23．二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________； (2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标． (4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 (4)点的横坐标为 【分析】（1）由于二次函数的图像与轴交于，两点，把，两点坐标代入，求出，的值即可得出拋物线解析式，由配方法可求出点的坐标； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得，解方程可得出答案； （3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得，求出，．由面积公式可求出的值，则可得出答案； （4）设，根据，，可确定点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合，再根据将绕点沿逆时针方向旋转后得到，可确定点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合，从而得到，再根据点在抛物线上，可得到，最后解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图1，如图2，连接，，设是的垂直平分线， ∴， ∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，且对称轴， ∵点是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设， 又∵， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴点的坐标为或． （3）如图3，设交抛物线的对称轴于点， 设点， ∵点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． （4）旋转后点、两个顶点在抛物线上，设， ∵，， ∴点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合， ∵将绕点沿逆时针方向旋转后得到， 即线段绕点沿逆时针方向旋转后可得到， ∴点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合， ∴， ∴， 解得：． ∴点的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了图形的旋转及性质，平移方式的确定，待定系数法，二次函数图像与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，一元二次方程，二元一次方程组等知识．熟练掌握二次函数的性质，图形变换的性质及方程思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十八章 旋转 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C A A B C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．90 12．/度 13. / 14. 15. -2 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（8分） (1)如图所示．................1分 ................4分 （2）解：．................8分 17．（8分） （1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为；................3分 （2）解：∵正方形的边长是1， ∴，，................5分 ∴，................6分 ∴的长为．................8分 18．（8分） (1)证明：由题意，得，，................2分 ， ， 平分；................4分 （2）解：由题意，得，， ，， ， ，................6分 ， ．................8分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分） （1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，................1分 ∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠DAB，................2分 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）；................4分 （2）解：∵四边形ADFC是平行四边形， ∴， ∴∠ABD＝∠BAC＝45°，................5分 又∵， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠DAB＝90°，................6分 由勾股定理得，................8分 ∵△AEC≌△ADB， ∴EC＝DB＝．................9分 20．（9分） （1）解：如图，连接，由题意得，................1分 是等边三角形，................3分 ， 故点与点之间的距离为．................4分 （2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点．................5分 由题易得四边形为矩形， ，................6分 由（1）可知，则 ................8分 答：点到的距离为．................9分 21．（9分） 解：（1）①；②4；................2分 ③为等边三角形， ，................3分 绕点B顺时针旋转后得到， ， 在中，， ， ， 为直角三角形，，................4分 ；................5分 （2）解：当满足时，．理由如下：................6分 绕点B顺时针旋转后得到， ， 为等腰直角三角形， ，................7分 当时，为直角三角形，， ， 当满足时，．................9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（12分） (1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ．................1分 ，即， ，................1分 ， ． ， ．................3分 ②如图3，过点作于，过点作直线于， ，................4分 ， 又， ，................6分 ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为；................8分 （2） 解：正方形 ；................10分 ................12分 23．（12分） (1)；................2分 （2）如图1，如图2，连接，，设是的垂直平分线， ∴，. ∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，且对称轴，∵点是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设， 又∵， ∴由勾股定理可得：，................4分 解得：， ∴点的坐标为或．................5分 （3）如图3，设交抛物线的对称轴于点， 设点， ∵点是的中点， ∴，= 设直线的解析式为， ∴， 解得：，................7分 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，. 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或．................8分 （4）旋转后点、两个顶点在抛物线上，设， ∵，， ∴点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合，................9分 ∵将绕点沿逆时针方向旋转后得到， 即线段绕点沿逆时针方向旋转后可得到， ∴点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合， ∴， ∴，................10分 解得：． ∴点的横坐标为．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十八章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是 A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．①勾股树 B．②分形树 C．③谢尔宾斯基三角形 D．④雪花 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24     题4图 题5图 题6图 7．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 题7图 题8图 题9图 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的四角风车至少旋转__________°就可以与原图形重合． 12．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为_______． 13．如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则图中阴影部分的面积是_________. 题11图 题12图 题13图 14．如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为______． 15．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________． 题14图 题15图 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 17．如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F． (1)求证：△AEC≌△ADB； (2)若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长． 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 21．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 23．二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________； (2)如图①，是二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标． (4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十八章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是 A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．①勾股树 B．②分形树 C．③谢尔宾斯基三角形 D．④雪花 3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24     题4图 题5图 题6图 7．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是原点，，将绕逆时针旋转得，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 题7图 题8图 题9图 10．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图所示的四角风车至少旋转__________°就可以与原图形重合． 12．如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为_______． 13．如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则图中阴影部分的面积是_________. 题11图 题12图 题13图 14．如图，在中，，，P为内一点，且，，，则的面积为______． 15．一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则__________． 题14图 题15图 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 17．如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 18．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F． (1)求证：△AEC≌△ADB； (2)若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长． 20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．    (1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离； (2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号） 21．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 23．二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________； (2)如图①，是二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标． (4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $