第28章 旋转（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 新教材人教版旋转单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择、填空、解答，选题有深度且关联中考/期末真题，可精准量化学生掌握程度，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形判断（1）、旋转定义（2）、旋转坐标变换（4）|结合“世界地球日”“风力发电”情境，考查空间观念| |填空题|6/18|旋转角计算（12）、中心对称坐标（13）、网格旋转中心（16）|设置动态旋转问题，培养几何直观| |解答题|9/72|旋转性质应用（17）、中心对称作图（18）、综合探究（25）|分层设计，从基础作图到中考级探究，发展推理能力与模型意识|

第28章 旋转·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运动属于旋转的是（ ） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟摆的摆动 C．一个图形沿某直线对折过程 D．气球升空的运动 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕顶点C旋转得到，且点B刚好落在上．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（     ） A． B． C． D． 8．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（    ） A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处 9．如图，的顶点在网格的格点上，将绕格点顺时针旋转，使旋转后的三角形的顶点也在格点上，且与成轴对称，则符合条件的角的个数为（     ） A．1个 B．3个 C．6个 D．8个 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上的一点，连结，将绕点逆时针旋转到的位置，连结．下列说法：①；②；③；④． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将绕点顺时针旋转得（点、分别对应点、），若，则旋转角为______度． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知点与点关于原点对称，则______． 14．（2026·陕西榆林·二模）将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 15．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是___________． 16．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 18．（6分）（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 19．（6分）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F． (1)填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形． (2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积． 21．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 22．（9分）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 23．（9分）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 24．（10分）在中，，，，点在直线上，在边上，且，． (1)如图1，求证：；    (2)如图2，将沿方向平移，使点落在上，得到，求平移的距离；    (3)如图3，将绕点逆时针旋转，使点落在上，得到，求旋转角的度数．    25．（10分）（25-26九年级上·广东惠州·期中）【知识技能】（1）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来，如题1图，已知，作，连接，求证：． 【数学理解】（2）如题2图，在正方形中，点是对角线上任意一点（不与点重合），以为边作正方形，点恰好落在射线上． ①当时，求的长； ②直接写出之间的数量关系． 【拓展探索】（3）如题3图，在菱形中，，点在对角线的延长线上，以为边在上方作等边三角形，连接．若，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列运动属于旋转的是（ ） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟摆的摆动 C．一个图形沿某直线对折过程 D．气球升空的运动 【答案】B 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转. 【详解】解：A项，滚动过程中的篮球的滚动不是绕着某一个固定的点进行的转动，不属于旋转，故错误； B项，钟表钟摆的摆动，钟摆绕着固定的一点顺时针或逆时针转动一定的角度，属于旋转，故正确； C项，一个图形沿某直线对折的过程，不是绕一点进行的转动，不属于旋转，故错误； D项，气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故错误； 故本题选择B. 【点睛】本题考查了旋转的定义，紧紧抓住定义是解题的关键. 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将绕顶点C旋转得到，且点B刚好落在上．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，，再结合等腰三角形和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵绕顶点C旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，是的外角， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，若旋转后的图形与原图形关于某点中心对称，则对应线段平行且相等。结合等边三角形的性质，验证时，旋转后的三角形与原三角形是否构成平行四边形即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， 当时，点绕点顺时针旋转， ∵且， ∴点的对应点与点重合点的对应点为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与(即)关于对角线的中点成中心对称， 故符合题意． 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 8．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（    ） A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义求解可得． 【详解】如图所示的图形是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 9．如图，的顶点在网格的格点上，将绕格点顺时针旋转，使旋转后的三角形的顶点也在格点上，且与成轴对称，则符合条件的角的个数为（     ） A．1个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】根据旋转变换，轴对称的定义，画出图形，利用图象法即可解决问题，连接，，确定运动轨迹在同一个圆上后，找出圆和格点的交点，补全三角形，再判断旋转前后的图形是否成轴对称． 【详解】解：由题图可知，是等腰三角形，当绕格点顺时针旋转时，旋转后的三角形都与成轴对称，由网格可知，， ∴当绕格点顺时针旋转时，点的运动轨迹在同一个圆上， 如图，连接，，当旋转或或时，旋转后的三角形的顶点在格点上， ∴满足条件的角的度数为或或，故个数为3个， 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上的一点，连结，将绕点逆时针旋转到的位置，连结．下列说法：①；②；③；④． 其中正确的个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到，故结论①正确；根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得到，故结论②正确；根据旋转角等于对应角的夹角，得到，故结论③正确；首先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，，由于与不一定相等，得到结论④错误． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴，故结论①正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴，即，故结论②正确； ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵在等腰直角三角形中，，即， 由于是上的任意一点，与不一定相等， ∴与不一定相等，故结论④错误． 综上所述，①②③正确，正确的个数是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________． 【答案】12 【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可 【详解】 将△BDM绕点D旋转120°得到△； ∵△由△BDM旋转所得， ∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM； ∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， 故∠+∠CDN=60°，即∠=60°； 在△MDN和△中∶ DM=，∠=∠MDN，DN=DN ∴△MDN≌△； ∴MN=； △AMN的周长=AM+AN+MN =AM+AN+ =AM+AN+CN+ =(AM+)+(AN+CN) =AB+AC； ∵△ABC是边长为6， ∴△AMN的周长=6+6=12． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，根据旋转的性质构建全等三角形，将未知长度的边转化为已知长度的边是解题的关键． 12．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将绕点顺时针旋转得（点、分别对应点、），若，则旋转角为______度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了旋转的性质，几何图形中角的计算，先根据，求出，根据旋转得出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， 即旋转角为． 故答案为：60． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 14．（2026·陕西榆林·二模）将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是_____．（写出一个符合题意的角度即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将如图所示的图形绕其中心点旋转一定角度后会与原图形重合，则这个角度可以是． 15．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质以及三角形三边关系，利用关于原点成中心对称图形的性质得出，进而利用三角形三边关系得出答案．熟练掌握中心对称图形的性质以及三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，， ∴， ∴在中，由三角形三边关系可知的范围是： 故答案为：． 16．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示， ∵B点的坐标为（4，2），D点的坐标为（4，）， ∴E点的坐标为（2，0）； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示， ∵B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2）， ∴M点的坐标为（5，3）． 综上所述：这个旋转中心的坐标为（2，0）或（5，3）． 故答案为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) ． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）略 18．（6分）（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 19．（6分）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F． (1)填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形． (2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积． 【答案】(1)中点，E，等腰 (2)12 【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可； （2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段CD的中点，DE＝EC， ∵ADBC， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE，AD＝CF， ∴点A与点F关于点E成中心对称， ∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC， ∴AB＝BF， 则△ABF是等腰三角形． 故答案为：中点，E，等腰； （2）∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE与△FCE面积相等， ∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积， ∵四边形ABCD的面积为12， ∴△ABF的面积为12． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． 21．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 22．（9分）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1) 所求图形，如图所示． (2) 所求图形，如图所示． 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 23．（9分）如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 【答案】(1) (2)，，，． 【分析】本题考查了坐标与图形，求对称中心． （1）求出点D和的中点即可； （2）根据，，求出正方形的边长，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴对称中心的坐标为，即； （2）解：∵，， ∴正方形与正方形边长为2， ∵，， ∴，，，． 24．（10分）在中，，，，点在直线上，在边上，且，． (1)如图1，求证：；    (2)如图2，将沿方向平移，使点落在上，得到，求平移的距离；    (3)如图3，将绕点逆时针旋转，使点落在上，得到，求旋转角的度数．    【答案】(1)见解析 (2)平移距离为 (3) 【分析】（1）在直角三角形中，根据“斜边直角边”可证，根据全等三角形的性质即可求解； （2）在在中，，，根据含角的直角三角形的性质可得的值，从而求出的值，根据平移的性质可得的长，在中，，可得，根据勾股定理即可求解； （3）由（1）和旋转的性质可知，且可证是等边三角形，可得的度数，根据，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，且， ∴， 由平移知，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即平移距离为． （3）解：旋转角的度数是△ECD绕点旋转的度数，即的度数， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的平移，图形的旋转的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 25．（10分）（25-26九年级上·广东惠州·期中）【知识技能】（1）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来，如题1图，已知，作，连接，求证：． 【数学理解】（2）如题2图，在正方形中，点是对角线上任意一点（不与点重合），以为边作正方形，点恰好落在射线上． ①当时，求的长； ②直接写出之间的数量关系． 【拓展探索】（3）如题3图，在菱形中，，点在对角线的延长线上，以为边在上方作等边三角形，连接．若，求的面积． 【答案】 （1）证明： ， 在与中， ， ； （2）①； ②； （3）的面积为． 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）①根据题意得出，将绕点顺时针旋转得到，根据全等三角形的性质及正方形的性质求解即可；②由①得，，再由等腰直角三角形的性质求解即可； （3）连接交于点O，连接．根据等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①四边形是正方形，，     ， 将绕点顺时针旋转得到，如图所示： 则， 四边形和四边形都是正方形 、、三点共线 是等腰直角三角形 ； ②由①得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图2，连接交于点O，连接． 四边形是菱形， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 在与中 （） 的面积为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $