第2章 反比例函数单元综合提优练 2026-2027学年苏科数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九上数学反比例函数单元综合提优卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合现实情境与跨知识综合，适配单元复习提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|反比例函数性质、二次函数图像、一元二次方程定义|第8题“k型闭函数”创新定义，考查推理意识| |填空题|8/24|反比例函数系数、二次函数最值、杠杆原理应用|第14题结合杠杆原理，体现数学眼光| |解答题|8/82|方程解法、函数综合、实际问题建模|24题地下车库设计综合实践，凸显模型意识与应用意识|

九上数学反比例函数单元综合提优 班级 姓名 学号 一、选择题：（每题3分，共24分） 1．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则下列结论正确的是（　　） A．k＝6 B．图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．点（﹣2，3）不在该图象上 2．如果关于x的方程（x﹣6）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4 3．已知二次函数y＝x2的图象过点（a，b），则它必过的另一点是（　　） A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a） 4．若方程（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．1 D．3 5．已知某二次函数，当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x﹣2）2 B．y＝3（x+2）2 C．y＝﹣3（x﹣2）2 D．y＝﹣3（x+2）2 6．若点A（3，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 7．某班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（　　）人． A．5 B．6 C．29 D．30 8．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论中， ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； 正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：（每题3分，共24分） 9．反比例函数中，比例系数k＝　 　 ． 10．如图，①②分别对应y＝ax2与y＝bx2的函数图像，则a、b的大小关系 　 　 ． 11．已知反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2026＝0有一个根为x＝2，则代数式8a﹣4b﹣2026的值是 　 　 ． 13．已知二次函数中，若﹣1≤x≤5，则y的取值范围是　 　 ． 14．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2至少需要　 　 m． 15．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，AB⊥BC，点B、C在x轴上，且OC＝3OB，反比例函数（k为常数，且k≠0，x＞0）的图象经过点A．若△ABC的面积为6，则k的值为　 　 ． 16．已知二次函数y＝﹣（x+h）2（h为常数），当2≤x≤5时，函数的最大值为﹣1，则h的值为　 　 ． 三、解答题：（共8题，共82分） 17．（共16分）解方程： （1）x2﹣49＝10； （2）x2﹣4x﹣6＝0； （3）2x2﹣7x﹣2＝0； （4）2x（x+3）＝x+3． 18．（共8分）二次函数y＝ax2+1（a≠0）的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象开口向 　 　 ，顶点坐标 　 　 ，对称轴为 　 　 ； （3）通过计算判断点P（﹣2，﹣1）是否在函数y＝ax2+1（a≠0）的图象上． 19．（共8分）已知关于x的方程mx2﹣2x+2﹣m＝0（m≠0）．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 20．（共10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两个不相等的实数根分别为，且满足，求m的值． 21．（共10分）过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工厂、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为2%的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． （1）分别求出当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 22．（共10分）如图，反比例函数图象与一次函数y2＝bx+c的图象在第一象限交于点A（4，3），一次函数y2＝bx+c的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）求反比例函数y1与一次函数y2的解析式（不需要写自变量取值范围）； （2）满足不等式0＜y1＜y2的x的取值范围是　 　 ； （3）P（m，0）为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△AOB的面积，直接写出m的取值范围． 23．（共10分）如图，直线l经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数y＝ax2的图象在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． （1）求二次函数y＝ax2的解析式； （2）求C点的坐标； （3）点D在抛物线上，有S△OAD＝S△OPC，求D点的坐标． 24．（共10分）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5～6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D，E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨x元时，该区域停车场的月租金收入为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出当租金收入为10125元时，上涨租金是多少？ 答案与解析 1．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则下列结论正确的是（　　） A．k＝6 B．图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．点（﹣2，3）不在该图象上 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣3）， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，即该函数解析式为， ∴该函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当x＝﹣2时，，即点（﹣2，3）在该函数图象上， 选项C正确，符合题意． 故选：C． 2．D． 3．已知函数y＝x2的图象过点（a，b），则它必通过的另一点是（　　） A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a） 【答案】B 【解答】解：将点（a，b）代入y＝x2，得b＝a2又 ∵a2＝（﹣a）2 ∴b＝（﹣a）2 ∴它必通过的另一点是（﹣a，b）． 故选：B． 4．B 5．已知某二次函数，当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x﹣2）2 B．y＝3（x+2）2 C．y＝﹣3（x﹣2）2 D．y＝﹣3（x+2）2 【答案】A 【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴满足条件的抛物线解析式可为y＝3（x﹣2）2． 故选：A． 6．A 7．某班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（　　）人． A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【解答】解：设该合唱小组人数为x人， 由题意列一元二次方程得，x（x﹣1）＝30， 解得x＝6或x＝﹣5（不符合题意，舍去）， 故选：B． 8．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①对于一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），可知y随x的增大而增大， ∴根据定义，当x＝1时，m＝1；x＝5时，n＝9， ∴n﹣m＝k（5﹣1）＝8，故k＝2， 故①正确； ②对于一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”， 故有n﹣m＝1×（8﹣3）＝5， 当a＞0时，y随x的增大而增大，n﹣m＝（8a+2）﹣（3a+2）＝5a＝5，得a＝1； 当a＜0时，y随x的增大而减小，n﹣m＝（3a+2）﹣（8a+2）＝﹣5a＝5，得a＝﹣1， 综上，a＝±1，故②错误； ③对于反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）， 可知y随x的增大而减小， 故n，m， ∴n﹣m， 又∵反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”， ∴k（b﹣a），可得ab＝1， ∵a+b， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2026﹣2＝2024， 故③正确 综上，正确结论为①③， 故选：B． 9．反比例函数中，比例系数k＝　　 ． 【答案】 【解答】解：反比例函数中，比例系数k． 故答案为：． 10．a＞b＞0 11．反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是m＜﹣3　 ． 【答案】m＜﹣3 【解答】解：∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴m+3＜0， ∴m＜﹣3． 故答案为m＜﹣3． 12．﹣2026 13．已知二次函数中，若﹣1≤x≤5，则y的取值范围是　0≤y≤8　 ． 【答案】0≤y≤8． 【解答】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵﹣1≤x≤5， ∴当x＝1时，y取得最小值0，当x＝5时，y取得最大值8， ∴当﹣1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8， 故答案为：0≤y≤8． 14．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2至少需要　4　 m． 【答案】4． 【解答】解：阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为， ∵点（0.5，1200）在该函数图象上， ∴， 解得k＝600， ∴阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数关系式为， ∴F1L1＝600， ∵F1L1＝F2L2＝600， ∴当F2＝150时，L2＝4， ∴小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2需满足L2≥4m， ∴动力臂L2至少需要4m， 故答案为：4． 15．﹣4． 16．已知二次函数y＝﹣（x+h）2（h为常数），当2≤x≤5时，函数的最大值为﹣1，则h的值为　﹣1或﹣6　 ． 【答案】﹣1或﹣6． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝﹣h， ∴当x＜﹣h时，y随x的增大而增大，当x＞﹣h时，y随x的增大而减小， ∴若h＞﹣2时，则当x＝2时，函数y取最大值，即﹣1＝﹣（2+h）2， 解得：h＝﹣1或h＝﹣3（舍去）， 若﹣5≤h≤﹣2，则当x＝﹣h时，函数y取最大值0，不符合题意； 若h＜﹣5时，则当x＝5时，函数y取最大值，即﹣1＝﹣（5+h）2， 解得：h＝﹣4（舍去）或h＝﹣6， 综上，h的值为﹣1或﹣6， 故答案为：﹣1或﹣6． 17． 18．二次函数y＝ax2+1（a≠0）的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象开口向 　上　 ，顶点坐标 　（0，1）　 ，对称轴为 y轴　 ； （3）通过计算判断点P（﹣2，﹣1）是否在函数y＝ax2+1（a≠0）的图象上． 【答案】（1）y＝x2+1； （2）上；（0，1）；y轴； （3）不在． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：a＝1， ∴y＝x2+1； （2）∵a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，1）， 故答案为：上；（0，1）；y轴； （3）当x＝﹣2时， y＝（﹣2）2+1＝5≠﹣1， ∴点P（﹣2，﹣1）不在函数的图象上； 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．求证：不论m为何值，方程总有实数根； 【答案】证明：Δ＝（﹣2）2﹣4m（2﹣m）＝4﹣8m+4m2＝（2m﹣2）2≥0， ∵m≠0， ∴当m取任何值时，方程总有实数根； 【解答】证明：Δ＝（﹣2）2﹣4m（2﹣m）＝4﹣8m+4m2＝（2m﹣2）2≥0， ∵m≠0， ∴当m取任何值时，方程总有实数根； 20． 21．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工厂、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为2%的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． （1）分别求出当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】（1）y； （2）能达到最佳消毒效果． 【解答】解：（1）当0≤x≤6时，设y＝mx， 将点（6，16）代入，得：16＝6m， 解得m， ∴yx； 当x＞6时，设y， 将点（6，16）代入，得：16， 解得n＝96， ∴y； 综上，y； （2）当0≤x≤6时，若y＝8，则x＝8， 解得x＝3； 当x＞6时，若y＝8，则8， 解得x＝12； ∴李某此次消毒有效时间为12﹣3＝9（分钟），能达到最佳消毒效果． 22． 23．如图，直线l经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数y＝ax2的图象在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． （1）求二次函数y＝ax2的解析式； （2）求C点的坐标； （3）点D在抛物线上，有S△OAD＝S△OPC，求D点的坐标． 【答案】（1）； （2）C（﹣2，6）； （3）或． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由条件可得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∵P点的横坐标为， ∴P点的纵坐标为， ∴， 把代入y＝ax2得，， 解得：， ∴二次函数y＝ax2的解析式为：； （2）联立得， 解得：， 当x＝﹣2时，， ∴C（﹣2，6）； （3）连接OP，OC， 设， 由条件可知OB＝4，OA＝4， ∴， ∵S△OAD＝S△OPC， ∴， 解得：， ∴， ∴或． 24．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5～6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为A，B，C，D，E等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为544m2时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨x元时，该区域停车场的月租金收入为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出当租金收入为10125元时，上涨租金是多少？ 【答案】（1）车道宽度符合标准； （2）每个车位月租金上涨25元． 【解答】解：（1）∵A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，且停车场内车道宽度均为x米， ∴停车位部分可合成长为（40﹣x）米，宽为（22﹣x）米的矩形． 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝544， 整理得：x2﹣62x+336＝0， 解得：x1＝6，x2＝56（不符合题意，舍去）， ∵5.5＜6＜6.5， ∴车道宽度符合标准； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，租出的车位数量为（50）个， 根据题意得：（200+y）（50）＝10125， 整理得：y2﹣50y+625＝0， 解得：y1＝y2＝25． 答：每个车位月租金上涨25元． 第6页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $