第2章反比例函数能力提优卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 反比例函数能力提优卷通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，覆盖从概念到实际应用的完整知识路径，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数表达式、性质（增减性、象限）|选择1-4/填空11-13考查性质判断与简单计算，夯实概念理解| |综合应用|与一次函数交点、几何图形（菱形、三角形）结合|选择5-8/解答18-19结合图形与函数关系，提升推理能力| |探究拓展|实际问题（桔槔工具、充电时间）、分段函数|选择10/解答22以真实情境与函数探究，培养模型意识与创新思维|

第2章反比例函数能力提优卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则反比例函数的图象经过的点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象位于（    ） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 5．如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知菱形，点C在x轴上，直线经过点A，菱形的面积是，若反比例函数的图像经过点B，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 10．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长减小时，拉力在增大 C．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 D．的长每增大，所施加的拉力就减小 二、填空题 11．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 12．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 13．若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 三、解答题 17．已知 (1)化简Q． (2)若点在反比例函数的图象上，求Q的值． 18．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 19．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 20．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 21．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 22．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章反比例函数能力提优卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D A B D A B D 1．B 【分析】先根据反比例函数的增减性判断的符号，再根据反比例函数图象上点的坐标满足，计算各选项点横纵坐标的乘积，选出符合条件的选项． 【详解】解：∵反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大， ∴， ∵反比例函数图象上任意一点都满足， ∴需找到横纵坐标乘积小于0的点即可， A选项：，∴该点不可能在函数图象上，不符合题意； B选项：，∴该点可能在函数图象上，符合题意； C选项：，∴该点不可能在函数图象上，不符合题意； D选项：，∴该点不可能在函数图象上，不符合题意． 2．A 【分析】先根据正比例函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数的性质，反比例函数图象上任意点横纵坐标的乘积等于，根据乘积的符号即可判断哪个点不可能在反比例函数图象上． 【详解】解：∵点，都在直线上，且时， ∴随的增大而增大， ∴， ∵点的横纵坐标异号，， 所以点不可能在的图象上． 3．D 【分析】先判断比例系数的符号，再根据各点横坐标的范围判断函数值的正负，结合反比例函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵由题可知， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小， ∵ 点的横坐标， ∴ A在第三象限，可得， ∵，点B，C都在第一象限， ∴， 综上可得． 4．D 【详解】解：∵反比例函数的比例系数， ∴根据反比例函数的图象性质，当时，函数图象位于第二、第四象限． 5．A 【分析】根据点在直线上，先求出，再代入反比例解析式求即可. 【详解】解：∵反比例函数与直线交于点， ∴，即： ∴． 6．B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再结合反比例函数的几何意义求出，进而得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 7．D 【分析】先根据点P在两个函数上得到a,b的关系，再将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可. 【详解】 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得， 整理得 ，， 整理得 ， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得， 因此答案选. 8．A 【分析】设点坐标为，利用菱形四边相等得，结合菱形面积建立方程求出，再由菱形对边平行且相等求出点坐标，最后代入反比例函数解析式求． 【详解】解：设点坐标为，其中， 点在直线上， ， ， 四边形是菱形，点在轴上， ， ， 菱形的面积为， ， 即， ， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标与点相同，为， 点的横坐标为， ， 设反比例函数解析式为， 反比例函数图像经过点， ， 反比例函数表达式为． 9．B 【分析】分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则，证明，可得，从而得到点的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴． 10．D 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长减小时，拉力在增大，故B正确，不符合题意； 由图象可得，当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故C正确，不符合题意． 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故D错误，符合题意． 11． 【分析】根据反比例函数的增减性判断出的符号，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解： 反比例函数的图象在所在象限内，的值随值的增大而减小，，解得． 12． 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 13． 【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性，可知两交点、关于原点对称，即，结合反比例函数性质得将坐标关系代入式子化简计算． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴两交点关于原点对称，即． 又∵点A、B在反比例函数的图象上， ∴． ∴ ． 14． 【分析】过点作轴，作轴，利用证明三角形全等，进而证明四边形是正方形，设，根据相等边建立方程，求出点的坐标，进而代入反比例函数求出值． 【详解】解：如图，过点作轴，作轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，则，， ， ， 解得， ，， 点的坐标为， 将代入，可得． 15． 或 【分析】根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围为： 或 ． 16． 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 17．(1) (2)当时，，当时，． 【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可； （2）根据反比例函数的性质先求解a的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键． 18．(1) (2)或 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 19．(1) (2)， 【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm， 即，将代入，求得； ∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm， 即，将代入，求得； 故求第4行、第7行的视力值分别是，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． 20．(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 21．(1) (2)；面积4 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． （3）解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 22．(1) (2)①，；②；③2；④ 【分析】（1）根据表格描出余下的点，再连线即可作出函数图象； （2）①观察函数图象的增减性，即可解答；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象可知，当时，函数图象关于直线对称，再结合题意即可求解；④观察函数图象即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①观察图象可知，点，在上， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 观察图象可知，点 ，在上，且当时，有， ∵，， ∴，， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； ②观察图象可得，当函数值时，自变量的取值范围是； ③观察图象可得，当时，函数图象关于直线对称， ∵在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴； ④∵直线与函数图象有三个不同的交点， ∴观察图象可得，的取值范围是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $