第四章 相似三角形【基础达标卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

**基本信息** 九年级数学上册第四章相似三角形基础达标卷（浙教版温州适用），覆盖成比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形识别、平行线分线段成比例|结合图形辨析，强化几何直观| |填空题|6/18|黄金分割、位似坐标、小孔成像应用|联系生活情境，体现应用意识| |解答题|8/72|相似证明、位似作图、矩形分割创新题|注重推理能力，设计分层探究（如矩形分割两问）|

2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【基础达标卷】 （浙教版·温州地区适用 考试时间：90分钟 满分：120分） 本章核心：成比例线段与黄金分割、平行线分线段成比例、相似多边形、相似三角形的判定与性质（对应线段之比、周长比、面积比）、图形的位似及其应用 学校：__________ 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 题 号 一 二 三 总分 等级 得 分 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用2B铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明或演算步骤，只写答案不给过程分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 6．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 9．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（      ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 10．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，若，，，，则长为　　　　　． 12．如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为　　　　　　． 13．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则　　　　　　． 14．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰的高度为　　　　　　　　　　　． 15．如图，，，，，则　　　　　　． 16．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是　　　　　　　　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 18．（6分）如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长． 19．（8分）如图，AB、CD相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD与△COB相似吗?为什么?   20．（8分）如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值． （1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似． （2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割． 21．（10分）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（10分）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 23．（12分）如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：． 24．（12分）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【基础达标卷】 参考答案与详细解析 （浙教版·温州地区适用 满分：120分） 一、答案速查 1．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C A C C A C C 2．填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 2 2 3.2 或 3．解答题（共72分）各题答案与分步评分标准见"二、详细解析"． 二、选择题详细解析 1． 【答案】A 2． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：由题意，，， ， ，， ，即 ， 故选：． 3． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 4． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：, ． , ， 故选：C． 5． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB＝∠APC＝65°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB＝∠APC＝65°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣65°＝45°． 故选：A． 6． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选：C． 7． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 由位似图形的性质逐一判断即可求解． 【规范解答】解： A、由位似图形可知，，，故选项A正确，不符合题目要求， B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求， C、由位似图形可知，相似比为，，又三点共线，，故选项C错误，符合题目要求， D、由位似图形可知，相似比为，，故选项D正确，不符合题目要求． 故选：C． 8． 【答案】A 【思路点拨】本题考查位似图形的性质．本题核心是理解位似图形与相似图形的关系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面积比与相似比的数量关系（面积比为相似比的平方）．通过明确相似比，进而求出面积比是解题关键．位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离比；而相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此可逐步推导． 【规范解答】解： 与是以点为位似中心的位似图形，， 与的相似比为， 与的面积之比为，对应选项A．   故选：A． 9． 【答案】C 【分析】根据AH=DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值． 【详解】解：∵AH=DH， ∴AH：AD=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ADBC， ∴AH：BC= ∴△AHK∽△CBK， ∴ 故选：C． 10． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 三、填空题详细解析 11． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 12． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 则 ∵， ∴， 则， 故答案为：2． 13． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【答案】3.2 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图：由题可知， ． ． 蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半， （相似三角形对应高之比等于相似比）． 又， ． ． 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．过点作，交于点，交于点，构造平行四边形，求得，利用，得到，根据相似三角形的性质求出的长度，最后由即可得出结论． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ， 四边形，均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 四、解答题详细解析 17． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点为比例的基本性质，熟练掌握比例基本性质的变形是解题的关键。 由比例的基本性质得到，代入数值进行求解. 【详解】（1）解：成比例，且； ； 已知； ； 解得； 故答案为：. （2）解：成比例，且； ； 已知; ； 解得； 故答案为：. 19（8分）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 18． 【答案】AE＝8，BE＝10 【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解析】解：∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵CD＝18，AD＝6， ∴AC＝AD+CD＝24， ∵DE＝8，BC＝24， ∴， ∴AE＝8，AB＝18， ∴BE＝AB﹣AE＝10． 19． 【答案】不相似 【分析】根据“两边及其夹角法”(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)进行证明. 【详解】解: △AOD与△COB不相似.理由如下: ∵AO=4，BO=2，CO=6，OD=3， ∴AO:CO≠DO:BO, ∴△AOD与△COB不相似. 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 20． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 21． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，于点， ，， ， ， ； （2）解：，，， ， ∴． 22． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 23． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题利用两角相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例即可求证． 【详解】解：如图，，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $