2026-2027学年人教版九年级数学上册学情测试卷（一元二次方程～二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过基础概念辨析、多种解法训练及教育经费增长、网店利润计算等生活实践题，实现知识巩固与模型应用能力的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图象性质|如第10题结合对称轴与增减性考查推理意识| |填空题|5/15|配方法、根的判别式、二次函数最值|如第15题以商品降价为情境体现数据意识| |解答题|9/75|方程解法、函数表达式、实际应用|如第24题矩形菜园面积问题融合几何直观与应用意识，第22题销售利润问题培养模型观念|

2026—2027 学年度第一学期第一次月考 九年级数学试卷 （人教版2024 · 第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数） 考试时间：100 分钟　　　满分：120 分 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写清楚；2．所有题目均需在试卷或答题纸指定位置作答，解答题必须写出必要的运算和推理过程；3．考试结束后，只交答题卡（卷）。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x² − 3 = 1/x B．x² − 2x = x² + 1 C．3x² − 5x + 2 = 0 D．ax² + bx + c = 0 2．把方程 (x − 1)² = 3x − 5 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，−5，6 B．1，−2，6 C．1，5，6 D．1，−5，−6 3．方程 (x − 2)² = 9 的根是（　　） A．x = 5 B．x = −1 C．x₁ = 5，x₂ = −1 D．x₁ = 3，x₂ = −3 4．若 x = 1 是关于 x 的方程 x² − 3x + m = 0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．−2 B．2 C．1 D．−1 5．一元二次方程 x² − 4x + 5 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1 B．y = x² − 3 C．y = 3/x² D．y = (x + 1)(x − 1) − x² 7．抛物线 y = −2(x − 1)² + 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1，3) B．开口向下，对称轴为直线 x = −1，顶点坐标为 (−1，3) C．开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1，3) D．开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1，−3) 8．将抛物线 y = x² 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A．y = (x − 2)² − 3 B．y = (x + 2)² − 3 C．y = (x − 2)² + 3 D．y = (x + 2)² + 3 9．抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴的交点坐标为（　　） A．(−3，0) 和 (1，0) B．(−1，0) 和 (3，0) C．(0，−3) 和 (0，1) D．(−1，3) 和 (3，0) 10．已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向上，对称轴为直线 x = 1，且经过点 (−1，0)，则下列结论正确的是（　　） A．该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (2，0) B．b = 2a C．当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小 D．该二次函数有最大值 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上） 11．用配方法解方程 x² + 6x − 1 = 0 时，把它变形为 (x + a)² = b 的形式，则 a = ________，b = ________． 12．若关于 x 的一元二次方程 x² − 2x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ________． 13．二次函数 y = x² − 4x + 3 的最小值为 ________． 14．抛物线 y = 2x² − 4x + 1 的顶点坐标是 ________． 15．某种商品原价 100 元，连续两次降价后的售价为 81 元．设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 ____________________，解得 x = ________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本小题 12 分）解下列方程： (1) x² − 5x + 6 = 0； (2) 2x² + 3x − 2 = 0； (3) x² − 4x − 1 = 0（用配方法）； (4) 3(x − 2)² = x(x − 2)． 17．（本小题 6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − 4x + m = 0 有两个不相等的实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 当 m 取满足条件的最大整数值时，求此时方程的根． 18．（本小题 8 分）已知抛物线 y = x² − 2x − 3． (1) 用配方法把它化成 y = a(x − h)² + k 的形式，并写出它的顶点坐标和对称轴； (2) 求该抛物线与坐标轴的交点坐标； (3) 结合图象，直接写出当 y < 0 时，自变量 x 的取值范围． 19．（本小题 8 分）已知抛物线经过点 A(−2，0)、B(4，0)、C(0，−4)． (1) 求这条抛物线的表达式； (2) 求这条抛物线的顶点坐标； (3) 求 △ABC 的面积． 20．（本小题 8 分）某市 2024 年投入教育经费 2500 万元，2026 年投入教育经费 3600 万元． (1) 求 2024 年至 2026 年该市投入教育经费的年平均增长率； (2) 若保持这个年平均增长率不变，预计 2027 年该市需投入教育经费多少万元？ 21．（本小题 8 分）一个直角三角形两条直角边的长之和为 14 cm，面积为 24 cm²．求这个直角三角形两条直角边的长． 22．（本小题 8 分）某网店销售一款文创产品，每个的成本价为 20 元．经市场调查发现，每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y = −2x + 100（20 ≤ x ≤ 45）． (1) 设每天的销售利润为 W 元，求 W 关于 x 的函数表达式； (2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本小题 8 分）已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的顶点坐标为 (2，−1)，且与 y 轴交于点 (0，3)． (1) 求这个二次函数的表达式； (2) 判断该抛物线与 x 轴交点的个数，并求出交点坐标； (3) 当 0 ≤ x ≤ 5 时，求 y 的最大值和最小值． 24．（本小题 9 分）某校计划利用一段长 20 m 的墙，用总长为 40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，墙作为矩形菜园的一边，篱笆围成其余三边．设垂直于墙的一边长为 x m，矩形菜园的面积为 S m²． (1) 求 S 关于 x 的函数表达式，并求出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ (3) 菜园的面积能否达到 168 m²？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由． 参考答案与解析 （人教版2024 · 第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C B C A B C 【解析】 1．C　A 项含分式 1/x，是分式方程，不是整式方程；B 项化简得 −2x = 1，即 2x + 1 = 0，未知数最高次数是 1；C 项 3x² − 5x + 2 = 0 是整式方程，只含一个未知数且最高次数为 2，是一元二次方程；D 项中 a 没有条件限制，当 a = 0 时不是一元二次方程． 2．A　去括号得 x² − 2x + 1 = 3x − 5，移项合并得 x² − 5x + 6 = 0，所以二次项系数为 1，一次项系数为 −5，常数项为 6． 3．C　两边直接开平方得 x − 2 = ±3，所以 x₁ = 5，x₂ = −1． 4．B　把 x = 1 代入方程得 1 − 3 + m = 0，解得 m = 2． 5．C　Δ = (−4)² − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4 < 0，所以方程没有实数根． 6．B　A 是一次函数；C 中自变量出现在分母，是整式之外的分式，不是二次函数；D 化简得 y = x² − 1 − x² = −1，是常数函数；B 符合 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的形式，是二次函数． 7．C　由 y = −2(x − 1)² + 3 知 a = −2 < 0，抛物线开口向下；顶点式中 h = 1、k = 3，所以对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1，3)． 8．A　抛物线平移规律是"左加右减、上加下减"（针对括号内外的 x 与常数）．y = x² 向右平移 2 个单位得 y = (x − 2)²，再向下平移 3 个单位得 y = (x − 2)² − 3． 9．B　令 y = 0，得 x² − 2x − 3 = 0，因式分解得 (x − 3)(x + 1) = 0，所以 x₁ = −1，x₂ = 3，即抛物线与 x 轴的交点为 (−1，0) 和 (3，0)． 10．C　开口向上、对称轴为直线 x = 1，则在对称轴左侧（x < 1）y 随 x 的增大而减小，C 正确；由抛物线的对称性，点 (−1，0) 关于直线 x = 1 的对称点是 (3，0)，A 错误；由对称轴 x = −b/(2a) = 1 得 b = −2a，B 错误；开口向上的抛物线有最小值而无最大值，D 错误． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．a = 3，b = 10　移项得 x² + 6x = 1，两边加上一次项系数一半的平方 3² = 9，得 x² + 6x + 9 = 10，即 (x + 3)² = 10． 12．k = 1　有两个相等的实数根，则 Δ = 0，即 (−2)² − 4 × 1 × k = 0，4 − 4k = 0，解得 k = 1． 13．−1　配方得 y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，因为 a = 1 > 0，抛物线开口向上，所以当 x = 2 时 y 取得最小值 −1． 14．(1，−1)　对称轴 x = −b/(2a) = −(−4)/(2 × 2) = 1，把 x = 1 代入得 y = 2 − 4 + 1 = −1，所以顶点坐标为 (1，−1)． 15．100(1 − x)² = 81；x = 10%　第一次降价后为 100(1 − x) 元，第二次降价后为 100(1 − x)² 元，由题意得 100(1 − x)² = 81；解得 (1 − x)² = 0.81，1 − x = ±0.9，x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = 1.9（大于 1，不合题意，舍去）． 三、解答题（共 75 分） 16．（12 分）解下列方程： (1) 因式分解法：x² − 5x + 6 = 0 　　(x − 2)(x − 3) = 0 　　x − 2 = 0 或 x − 3 = 0 　　∴ x₁ = 2，x₂ = 3． (2) 因式分解法（十字相乘）：2x² + 3x − 2 = 0 　　(2x − 1)(x + 2) = 0 　　2x − 1 = 0 或 x + 2 = 0 　　∴ x₁ = 1/2，x₂ = −2． (3) 配方法：x² − 4x − 1 = 0 　　移项得 x² − 4x = 1 　　两边加上 (−4/2)² = 4，得 x² − 4x + 4 = 1 + 4 　　即 (x − 2)² = 5 　　x − 2 = ±√5 　　∴ x₁ = 2 + √5，x₂ = 2 − √5． 　　（用公式法亦可：Δ = (−4)² − 4 × 1 × (−1) = 20，x = (4 ± √20)/2 = 2 ± √5） (4) 移项得 3(x − 2)² − x(x − 2) = 0 　　提取公因式 (x − 2)，得 (x − 2)[3(x − 2) − x] = 0 　　整理得 (x − 2)(2x − 6) = 0 　　x − 2 = 0 或 2x − 6 = 0 　　∴ x₁ = 2，x₂ = 3． 【易错警示】第 (4) 小题不能在方程两边直接除以 (x − 2)，因为 (x − 2) 可能等于 0，这样会漏掉根 x = 2．正确做法是先移项、再提取公因式． 17．（6 分） (1) ∵ 方程 x² − 4x + m = 0 有两个不相等的实数根， 　　∴ Δ = (−4)² − 4 × 1 × m > 0， 　　即 16 − 4m > 0，解得 m < 4． 　　∴ m 的取值范围是 m < 4． (2) ∵ m < 4 且 m 为整数，∴ 满足条件的最大整数 m = 3． 　　此时方程为 x² − 4x + 3 = 0， 　　因式分解得 (x − 1)(x − 3) = 0， 　　∴ x₁ = 1，x₂ = 3． 18．（8 分） (1) y = x² − 2x − 3 　　 = (x² − 2x + 1) − 1 − 3 　　 = (x − 1)² − 4． 　　∴ 顶点坐标为 (1，−4)，对称轴为直线 x = 1． (2) 与 x 轴的交点：令 y = 0，得 x² − 2x − 3 = 0， 　　因式分解得 (x − 3)(x + 1) = 0，∴ x₁ = −1，x₂ = 3， 　　即与 x 轴的交点为 (−1，0) 和 (3，0)． 　　与 y 轴的交点：令 x = 0，得 y = −3，即交点为 (0，−3)． (3) ∵ 抛物线开口向上（a = 1 > 0），且与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)， 　　∴ 在这两点之间图象位于 x 轴下方． 　　故当 −1 < x < 3 时，y < 0． 19．（8 分） (1) ∵ 抛物线经过 A(−2，0)、B(4，0)，即与 x 轴交于这两点， 　　∴ 设抛物线的表达式为 y = a(x + 2)(x − 4)（a ≠ 0）． 　　把 C(0，−4) 代入，得 −4 = a × (0 + 2) × (0 − 4) = −8a， 　　解得 a = 1/2． 　　∴ 抛物线的表达式为 y = (1/2)(x + 2)(x − 4)， 　　即 y = (1/2)x² − x − 4． (2) 对称轴为直线 x = (−2 + 4)/2 = 1． 　　把 x = 1 代入得 y = 1/2 − 1 − 4 = −9/2． 　　∴ 顶点坐标为 (1，−9/2)． (3) ∵ A(−2，0)、B(4，0) 都在 x 轴上， 　　∴ AB = 4 − (−2) = 6． 　　点 C(0，−4) 到 x 轴（即直线 AB）的距离为 |−4| = 4． 　　∴ S(△ABC) = (1/2) × AB × 4 = (1/2) × 6 × 4 = 12． 【方法点拨】已知抛物线与 x 轴的两个交点时，用交点式 y = a(x − x₁)(x − x₂) 设解析式最简便． 20．（8 分） (1) 设年平均增长率为 x． 　　从 2024 年到 2026 年经过了 2 次增长，由题意得 　　2500(1 + x)² = 3600， 　　即 (1 + x)² = 1.44， 　　1 + x = ±1.2， 　　∴ x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = −2.2（增长率不能为负，不合题意，舍去）． 　　答：2024 年至 2026 年该市投入教育经费的年平均增长率为 20%． (2) 3600 × (1 + 20%) = 3600 × 1.2 = 4320（万元）． 　　答：预计 2027 年该市需投入教育经费 4320 万元． 21．（8 分） 解：设这个直角三角形一条直角边的长为 x cm，则另一条直角边的长为 (14 − x) cm． 　　由直角三角形面积公式得 (1/2)·x·(14 − x) = 24， 　　两边乘 2 得 x(14 − x) = 48， 　　整理得 x² − 14x + 48 = 0， 　　因式分解得 (x − 6)(x − 8) = 0， 　　∴ x₁ = 6，x₂ = 8． 　　当 x = 6 时，14 − x = 8；当 x = 8 时，14 − x = 6． 　　答：这个直角三角形两条直角边的长分别为 6 cm 和 8 cm． 　　检验：由勾股定理，斜边长为 √(6² + 8²) = √100 = 10 cm，且面积为 (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²，符合题意． 22．（8 分） (1) 每件产品的利润为 (x − 20) 元，每天的销售量为 (−2x + 100) 个． 　　由"总利润 = 单件利润 × 销售量"得 　　W = (x − 20)(−2x + 100) 　　　= −2x² + 100x + 40x − 2000 　　　= −2x² + 140x − 2000（20 ≤ x ≤ 45）． (2) 配方：W = −2x² + 140x − 2000 　　　　　= −2(x² − 70x) − 2000 　　　　　= −2(x² − 70x + 35²) + 2 × 1225 − 2000 　　　　　= −2(x − 35)² + 450． 　　∵ a = −2 < 0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 35， 　　又 ∵ 20 ≤ 35 ≤ 45，即对称轴在自变量的取值范围内， 　　∴ 当 x = 35 时，W 取得最大值 450． 　　答：当销售单价定为 35 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 450 元． 　　（此时销售量为 y = −2 × 35 + 100 = 30 个） 23．（8 分） (1) ∵ 图象的顶点坐标为 (2，−1)， 　　∴ 设二次函数的表达式为 y = a(x − 2)² − 1（a ≠ 0）． 　　把点 (0，3) 代入，得 3 = a(0 − 2)² − 1 = 4a − 1， 　　解得 a = 1． 　　∴ 二次函数的表达式为 y = (x − 2)² − 1，即 y = x² − 4x + 3． (2) 方法一（判别式）：Δ = (−4)² − 4 × 1 × 3 = 16 − 12 = 4 > 0， 　　　∴ 该抛物线与 x 轴有 2 个交点． 　　方法二（解方程）：令 y = 0，得 x² − 4x + 3 = 0， 　　　因式分解得 (x − 1)(x − 3) = 0，∴ x₁ = 1，x₂ = 3． 　　∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，坐标分别为 (1，0) 和 (3，0)． (3) 由 y = (x − 2)² − 1 知 a = 1 > 0，抛物线开口向上，对称轴为直线 x = 2． 　　∵ 0 ≤ 2 ≤ 5，即对称轴落在区间 [0，5] 内， 　　∴ 当 x = 2 时，y 取得最小值 −1． 　　再比较两个端点： 　　　x = 0 时，y = 0 − 0 + 3 = 3； 　　　x = 5 时，y = 25 − 20 + 3 = 8． 　　∵ x = 5 到对称轴 x = 2 的距离为 3，大于 x = 0 到对称轴的距离 2， 　　∴ 当 x = 5 时 y 最大，最大值为 8． 　　答：当 0 ≤ x ≤ 5 时，y 的最大值为 8，最小值为 −1． 【方法点拨】求闭区间上二次函数的最值，先看对称轴是否落在区间内：在区间内则顶点处取到最值（开口向上为最小值，向下为最大值），另一端点处取到另一个最值；不在区间内则在两个端点处取最值． 24．（9 分） (1) 垂直于墙的一边长为 x m，篱笆总长 40 m 用于围成其余三边， 　　∴ 平行于墙的一边长为 (40 − 2x) m． 　　∴ S = x(40 − 2x) = −2x² + 40x． 　　由实际意义列不等式： 　　① 边长为正：40 − 2x > 0，解得 x < 20； 　　② 平行于墙的一边不能超过墙长：40 − 2x ≤ 20，解得 x ≥ 10； 　　③ x > 0（已包含在 x ≥ 10 中）． 　　∴ 自变量 x 的取值范围是 10 ≤ x < 20， 　　即 S = −2x² + 40x（10 ≤ x < 20）． (2) 配方：S = −2x² + 40x 　　　　　 = −2(x² − 20x) 　　　　　 = −2(x² − 20x + 100) + 200 　　　　　 = −2(x − 10)² + 200． 　　∵ a = −2 < 0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 10， 　　又 ∵ x = 10 在取值范围 10 ≤ x < 20 内， 　　∴ 当 x = 10 时，S 取得最大值 200． 　　此时平行于墙的一边长为 40 − 2 × 10 = 20 m，恰好等于墙长，符合题意． 　　答：当垂直于墙的边长为 10 m 时，菜园的面积最大，最大面积是 200 m²． (3) 能．令 S = 168，得 −2(x − 10)² + 200 = 168， 　　即 −2(x − 10)² = −32， 　　(x − 10)² = 16， 　　x − 10 = ±4， 　　∴ x₁ = 14，x₂ = 6． 　　∵ x₂ = 6 < 10，不在自变量的取值范围内，舍去； 　　而 x₁ = 14 满足 10 ≤ x < 20，此时平行于墙的一边长为 40 − 28 = 12 m ≤ 20 m，符合题意． 　　答：菜园的面积能达到 168 m²，此时 x = 14 m． 【易错警示】本题必须结合"墙长只有 20 m"这一隐含条件确定自变量的取值范围，只写 0 < x < 20 是错误的；求出方程的根后也务必检验是否在取值范围内，并舍去不合题意的根． —— 试卷结束 —— 学科网（北京）股份有限公司 $