2.1.2两条直线平行和垂直的判定课时跟踪检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进设计，从四基落实到素养培优，覆盖直线平行垂直判定全知识点，通过概念理解、运算应用到综合探究，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |四基落实练|倾斜角与斜率计算、平行垂直判定|单选/多选/填空结合，如第1题直接判断斜率关系，第6题关联一元二次方程根与系数，夯实基础| |能力提升练|含参数平行垂直、实际情境应用|需分类讨论（第9题）、几何建模（第10题矩形小路），提升逻辑推理与几何直观| |素养培优练|跨模块综合（函数与解析几何）|第14题结合对数函数图象证明三点共线，培养数学眼光与创新意识|

两条直线平行和垂直的判定 层级(一)　“四基”落实练 1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是 (　　) A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合 2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有 (　　) A.α1-α2=90° B.α2-α1=90° C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180° 4.在直角坐标平面内有两点A(4,2),B(1,-2),在x轴上有点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是 (　　) A.(3,0) B.(0,0) C.(5,0) D.(0,0)或(5,0) 5.(多选)若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论正确的是 (　　) A.AB∥CD B.AB⊥AD C.|AC|=|BD| D.AC∥BD 6.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根.若l1⊥l2,则m=　　　;若l1∥l2,则m=　　　.  7.已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数,若l1⊥l2,则3a+2b的最小值为　　　　　.  8.如图,在▱OABC中,O为坐标原点,点C(1,3). (1)求OC所在直线的斜率; (2)过C作CD⊥AB于D,求直线CD的斜率. 层级(二)　“能力”提升练 9.已知A(m,2),B(1-m,3),C,D,若直线AB与直线CD平行,则m的值是 (　　) A. B.-1 C.或-1 D.或-1 10.如图,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路.已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D,在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为　　　　 m.   11.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,且直线l1与l2平行,l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m的值为　　　　.  12.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 13.已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列). 层级(三)　“素养”培优练 14.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点. (1)求证:点C,D和原点O在同一直线上; (2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标. 《两条直线平行和垂直的判定》参考答案 1.解析:选D　∵直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合. 2.解析:选B　因为MN∥PQ,所以kMN=kPQ. 即=,解得m=-1. 3.解析:选C　由题意,知α1=α2+90°或α2=α1+90°,所以|α2-α1|=90°. 4.解析:选D　设C(a,0),则·=-1,解得a=0或a=5.∴点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D. 5.解析:选ABC　kAB==-,kCD==-,且C不在直线AB上,∴AB∥CD,故A正确;又∵kAD==,∴kABkAD=-1,∴AB⊥AD,故B正确;∵=(16,4),=(-4,16),∴|AC|=4,|BD|=4,∴|AC|=|BD|,故C正确;又∵kAC==,kBD==-4,∴kACkBD=-1,∴AC⊥BD,故D错误. 6.解析:由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=. 若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2. 若l1∥l2则k1=k2,即关于k的一元二次方程2k2-4k+m=0有两个相等的实根, ∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2. 答案:-2　2 7.解析:依题意,两直线垂直,则两直线的方向向量垂直,其数量积为零,可得b(1-a)+2a=0,即2a+b=ab,所以+=1.由a>0,b>0得3a+2b=(3a+2b)=7++≥7+4,当且仅当=时取等号. 答案:7+4 8.解:(1)因为点O(0,0),C(1,3),所以OC所在直线的斜率kOC==3. (2)在▱OABC中,AB∥OC. 因为CD⊥AB,所以CD⊥OC,所以kOC·kCD=-1,kCD==-. 故直线CD的斜率为-. 9.解析:选C　若AB与x轴垂直,有m=1-m,解得m=;若CD与x轴垂直,有=3,解得m=. 又因为AB∥CD,≠,所以直线AB,CD存在斜率,则由AB∥CD,知kAB=kCD,即=,化简,得(3m-1)(2m2-m-3)=0, 解得m=(舍去)或m=或m=-1. 10.解析:以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,3),D(5,3),C(5,0).设M(x,0),0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在,由于AC与DM互相垂直,所以kAC·kDM=-1,即·=-1,解得x=,所以BM的长为 m. 答案: 11解析:如图所示,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=,又直线AB的斜率kAB==,所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=.因为l1与l2平行,所以k1=k2,即=,解得m=4+. 答案:4+ 12.解:(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3,由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN=-1,即×3=-1.　① 由已知,得kPN=-2,由PN∥MQ,可得kPN=kMQ,即=-2.　② 联立①②,求解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP. 又∵kNQ=,kNP=-2,∴=2,即x=1,∴Q(1,0). 又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°. 13.解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示, 由于kAB=3,kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB,BC都不可作为直角梯形的直角边. 若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3. 又kAD=kBC,∴=0,即y=3,此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3).若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD, ∵kAD=,kCD=,∴解得x=,y=, ∴点D的坐标为. 综上,点D的坐标为(3,3)或. 14.解:(1)证明:设A,B两点的坐标分别为(x1,log8x1),(x2,log8x2). 由题意得C,D两点的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2). 因为O,A,B三点共线,所以kOA=kOB,即=, 所以=,所以=,所以=,即kOC=kOD. 又因为直线OC与直线OD有公共点O, 所以点C,D和原点O在同一直线上. (2)因为直线BC平行于x轴,所以kBC==0, 所以log8x2=log2x1,所以=log2x1, 所以log2x2=3log2x1,所以x2=. 由(1)知=,所以x2log2x1=x1log2, 所以x2log2x1=3x1log2x1,所以(-3)x1log2x1=0. 又因为x1>0,所以log2x1=0或-3=0.解得x1=1或x1=(负值舍去). 经检验当x1=1时,A,B两点重合,不合题意,舍去, 所以点A的坐标为(,log8). 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $