29.3 弧长与扇形面积公式（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆锥的侧面积和全面积，通过旧知复习弧长与扇形面积公式搭建支架，结合铅锤、粮堆等生活实例引入新知，引导学生从已学知识自然过渡到圆锥相关概念的探究。 其亮点在于通过剪开圆锥侧面的操作活动培养空间观念，公式推导过程逻辑严谨体现推理意识，教材例题计算毡房毛毡面积等联系生活实际培养应用意识。学生能提升几何直观与解题能力，教师可借助系统流程和多样化例题提高教学效率。

第二十九章 圆 29.3 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 学 习 目 标 1 2 3 了解圆锥的有关概念，理解圆锥的母线、高的定义，掌握圆锥的母线、高、底面半径之间的关系. 理解圆锥侧面展开图的形状，掌握圆锥的侧面积公式和全面积公式,能运用公式进行有关计算. 经历圆锥侧面展开的操作过程，探索圆锥侧面积公式，培养学生的空间观念和几何直观. 旧知复习 回顾 上节课我们学习了弧长公式和扇形面积公式。弧长公式是什么？扇形面积公式有哪两个？ （1）弧长公式 （2）扇形面积公式 在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为 圆心角为的扇形面积 变形： 其中为扇形的弧长，为半径 新知引入 探究 下面这些生活中常见的物体有什么特点？ 铅锤 粮堆 毡房顶 他们都是圆锥形物体，那么它们的侧面积如何计算呢？今天我们就来学习圆锥的侧面积和全面积. 探究1：圆锥的有关概念 新知探究 圆锥可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形。 圆锥的形成 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 探究 什么是圆锥，他是如何形成的呢？ 点击图片动态演示旋转过程 新知探究 探究1：圆锥的有关概念 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线. 圆锥的母线有无数条，它们的长都相等。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥的母线、高、底面圆的半径构成一个直角三角形，满足 【分析】 圆锥底面半径、高、母线构成直角三角形，直接利用勾股定理求出母线长. 新知巩固 圆锥的母线 已知圆锥的底面半径为 3,高为 4,求圆锥的母线长。 解：设底面半径,高,母线长为 由, 圆锥母线长为5 新知探究 探究2：圆锥的侧面积和全面积 探究 圆锥的侧面展开图是什么图形？ 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，观察展开图的形状。 结论：圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为 （1）展开后扇形的半径就是圆锥的母线长； （2）展开后扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。 点击图片动态演示旋转过程 新知探究 探究2：圆锥的侧面积和全面积 探究 如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 扇形的弧长 圆锥侧面展开图（扇形）的半径 推导侧面积公式： 扇形面积 （其中 是弧长， 是半径） 又这里弧长 ，半径 ， 推导全面积公式： 圆锥的全面积 侧面积 底面积， 又底面积 ， 新知探究 探究2：圆锥的侧面积和全面积 概念归纳 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积： 圆锥的全面积公式： 常考 常考 圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长,要与底面半径区别开； 注意事项 方法总结 新知探究 探究2：圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图扇形的弧长=底面圆周长,这是连接立体图形和平面图形的关键桥梁； 公式中是侧面积，是底面积，是全面积，要注意区分. 【分析】 直接代入圆锥侧面积公式、全面积公式进行计算. 新知巩固 圆锥的侧面积和全面积 （1）已知圆锥的底面半径为6，母线长为18，求它的侧面积和全面积。 （2）已知圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，求这个圆锥的全面积。 解：（1）已知， （2）已知， 圆锥的侧面积和全面积 教材例题 【分析】毡房毛毡只包含圆柱侧面积与圆锥侧面积，先求底面半径，算出圆锥母线，分别求两部分侧面积求和，再乘以数量 20 得到总面积。 毡房可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的毡房，至少需要多少平方米毛毡（取，结果取整数）？ 侧面积为 解：根据题意，下部圆柱的底面积为，高； 上部圆锥的高． 圆柱的底面圆的半径 圆锥的侧面积和全面积 教材例题 圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建 20 个这样的毡房至少需要毛毡 (). 问题类型：在圆锥侧面上求两点间的最短距离； 探究3：圆锥侧面上的最短距离问题 新知探究 探究 如图，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边三角形，在圆锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠。求小猫所经过的最短路程。 解题思路：将圆锥侧面展开成平面图形（扇形），在平面上两点之间线段最短，利用勾股定理求解； 分三步：展开（化曲面为平面）→连接（两点之间线段最短）→求解（勾股定理）. 探究3：圆锥侧面上的最短距离问题 新知探究 解:由题意知,圆锥底面圆的直径BC=6m 故圆锥底面圆的周长为 m.设圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为 则,解得n=180 所以圆锥的侧面展开图如图所示 连接BP,AC.所以展开后 又 m 所以在Rt△ABP中,(m) 所以小猫所经过的最短路程为 m. （1）转化：将曲面展开——化曲面为平面； 求曲面上两点间最短距离的一般步骤 方法总结 探究3：圆锥侧面上的最短距离问题 新知探究 （2）连接：两点之间线段最短——在平面上连接始点和终点； （3）求解：利用勾股定理求解。 【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可. 巩固训练1 求圆锥的侧面积与表面积 直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是多少 解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴由勾股定理得斜边长为， 以边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周， ∴侧面积为． 巩固训练1 求圆锥的侧面积与表面积 变式题 如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，求她所需纸板的面积（用π表示）． 解：∵圆锥的母线长， ∴． 故纸板的面积为． 【分析】圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关系即可求解. 巩固训练2 求圆锥的底面半径 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（ ） B. C. D. 解：由扇形面积与弧长的关系得， 解得 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得， 解得 故选：A． 巩固训练2 求圆锥的底面半径 变式题 如图，扇形 的半径为 3，边长为 的菱形 的顶点 , , 分别在 , , 上．若把扇形 围成一个圆锥，求此圆锥的高． 解：如图，连接 , ，相交于点 ． 在菱形 中，，，，． 扇形 的半径为 3，菱形 的边长为 ， ，， ， ， ， ，即 为等边三角形，则 ， 的长为 ． 设圆锥的底面圆的半径为 ，则底面圆的周长为 ，解得 ． 又 圆锥的母线长为 3， 圆锥的高为 ． 巩固训练2 求圆锥的底面半径 变式题 巩固训练3 求圆锥的高 【分析】根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出𝑟=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高． 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是多少？ 解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径R是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 巩固训练3 求圆锥的高 变式题 已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ （1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 25 感谢聆听! 26 $