2.2有理数的乘法与除法课件2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘法与除法，涵盖法则、运算律、倒数、分式化简及混合运算。通过生活实例（如班级人数计算）和旧知导入，从正数乘法逐步过渡到含负数的乘法，再到除法转化为乘法，构建层层递进的学习支架。 其亮点是以“思考”问题链引导学生用数学眼光观察现实（如开支比例计算），通过归纳推理（如从具体算式总结乘法法则）培养运算能力和推理意识，用符号语言和分式表达强化数学语言。实例丰富且注重易错点分析，助力学生形成理性思维，也为教师提供系统教学资源。

第一章 有理数 第二章 有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法 主讲人： 日期： 2.2有理数的乘法与除法 2.2.1有理数的乘法 2.2.2有理数的除法 思考 1： 2+2+2+2+2+3+3+3+3+3=？ 加法原则：从左到右，挨个加，最后得到25. 乘法原则：五个2相加等于5乘以2得到10，与此同时，五个三相加等于5乘以3得到15，10再加15得到25. 思考 2： 初一年级一共8个班，每个班级人数为48人，整个初一年级一共有多少人？ 8×48=384（人） 乘法的作用： 用乘法代替加法计算中的重复计算，例如：n个a相加等于n × a 思考 3： 一共100个人，其中女生占40%，那么男生有多少人？ 可见男生占比为1-40%，男生的人数为100×60%=60（人） 思考 4： 一个家庭，每月总开支5000元，其中食品支出占50%，交通占8%，旅游支出占10%，娱乐支出占15%，其他占17%，请问食品支出额是多少？ 5000×50%=2500（元） 乘法的作用： 乘法便于计算比例，倍数等问题。 思考 5： 8×8= 69×= 12×= 100×50%= 50×= ×= 6×8（ ）6×9 a>b，5a( )5b a=b 6a( )6b 3×2( )3×5 6×2( )2×6 5×(-1)( )5×1 64 ＜ = 6 ＜ ＞ 10 46 = 50 ＜ 思考 6： 6×5=30，那么6×(-5)等于多少？ 6×-5，就是6个-5相加，-5+（-5）+（-5）+（-5）+（-5）=-30，和6×5的结果只是符号不同，数字部分是相同的。 思考 7： 8×(-2)= 7×(-7)= 9×(-10)= 10×(-)= 9×(-)= 3×(-5)= 6×(-2)= 0×(-1)= 2×(-3)= 2×(-4)= 4×(-7)= 4×(-8)= 5×(-6)= 12×(-12)= 12×(-15)= -16 -5 -180 -144 -32 -28 -12 -30 -8 0 -6 -15 -3 -90 -49 思考 8： 6×(-5)=-30，那么-6×5等于多少？ -6×5，不能说成-6个5相加，个数只能是自然数. -6×5，可以理解为负向移动6×5=30个单位，结果还是-30，可见负号不影响数值的数字部分，仅仅承担符号的作用。 或者理解为5个-6相加，5×-6=-30. 另外，我们可以发现，6×-5和-6×5的大小是一样的。 思考 9： -8×2= -7×7= -9×10= -10×= -9×= -3×5= -6×2= -1×0= -2×3= -2×4= -4×7= -4×8= -5×6= -12×12= -12×15= -16 -5 -180 -144 -32 -28 -12 -30 -8 0 -6 -15 -3 -90 -49 思考 10： -6×(-5)等于多少？ 可以把-6×(-5)看作是6×(-5)的相反数，我们在相反数那里学过，a的相反数等于-a。6×(-5)=-30，那么-30的相反数当然是30. 思考 11： -8×(-2)= -7×(-7)= -9×(-10)= -10×(-)= -9×(-)= -3×(-5)= -6×(-2)= -1×0= -2×(-3)= -2×(-4)= -4×(-7)= -4×(-8)= -5×(-6)= -12×(-12)= -12×(-15)= 16 5 180 144 32 28 12 30 8 0 6 15 3 90 49 2.2.1 有理数的乘法 有理数相乘，和小学乘法相比，最主要的变化是多了负数，通过以上的题目，我们可以总结出： 两数相乘，同号得正，异号得负，且数值部分等于两个数的数值部分的乘积。关于这里的数值部分，教材表述成积的绝对值等于两个乘数的绝对值的积。 任何数和0相乘，都等于0. 2.2.1 有理数的乘法 a, b是两个正有理数，c为任意有理数，则 (+a) × (+b)=a × b (-a) × (-b)=a × b a×(-b)=-(a × b) (-a) × b=-(a × b) c×0=0×c=0 思考 12： 8×(-1)= (-)×(-2)= (-)×(-)= 6×(-9)= (-4)×6= (-6)×(-1)= (-6)×0= -4×= ×(-)= (-8)×(-7)= 12×(-5)= 2.9×(-0.4)= (-30.5)×0.2= 100×(-0.001)= (-4.8)×(-1.25)= ×(-)= (-)×(-)= -8 -24 -54 -60 0 6 -0.1 -1.16 -1 6 56 - - -6.1 1 倒数 两个数相乘等于1，那么这两个数互为倒数。 2×=1 -5×(-)=1 a × b=1 思考 13： 写出下列各数的倒数： 1，-1, , -, -5, , -, , 1 -1 -3 3 - - 倒数的特点：分子和分母交换位置，符号不变。 交换律 1+2=3 2+1=3 a + b=b + a 两数相加，交换位置，和不变，这是加法交换律 1×2=2 2×1=2 a × b=b × a 两数相乘，交换位置，积不变，这是乘法交换律 abcdefghijklmn→bcdefghijklmna 交换律可以实现a向后移动，整体的乘积结果保持不变。 结合律 1 + 2 + 3 = ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 ) a + b + c =(a + b) + c = a + ( b + c ) 三个数相加，先把前两个相加，或者先把后两个相加，和不变，这是加法结合律。 1×2×3=(1×2)×3=1×(2×3) a × b × c=(a× b) ×c=a ×(b × c) 三个数相乘，先把前两个相乘，或者先把后两个相乘，积不变，这是乘法结合律 思考 14： 4 ×5 ×8= （4 × 5） ×8= 4×(5×8)= 1.25×9×8= 25×7×4= ×8×9= 25×3×0.4= 0.2×7×5×= 160 0.2×5×(7×)=1×= 25×0.4×3=10×3=30 25×4×7=100×7=700 1.25×8×9=10×9=90 160 160 ×9×8=3×8=24 乘法分配律 5×(-3+7)=5×4=20 5×(-3)+5×7=-15+35=20 8×(3+7)=8×10=80 8×3+8×7=24+56=80 12×（3+4+6）= 12×3+12×4+12×6= -8×[4+(-2)+6]= -8×4+(-8)×(-2)+(-8)×6= 12×13=156 36+48+72=156 -8×8=-64 -32+16-48=-64 乘法分配律 于是我们得出一个计算规则，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，这就是乘法分配律。 a×(b +c )=a b + a c 这个计算规则非常重要，之后的很多计算，化简，因式分解都与这个规则有关。 思考 15： (+-)×12，用两种方法解答。 (+-)×12=(+ - )×12=(- )×12=-1 (+-)×12= ×12+ ×12- ×12=3+2-6=-1 思考 16： (-)×30 (-)×30=(- )×30=()×30=25 (-)×30=×30- ×30=27-2=25 思考 17： (-)×(- )+ (-)×(+) =(-)×(-) =()×(-) =-6 思考 18： (-+-)×36 = ×36-×36+×36-×36 =28-30+27-14 =11 思考 19： -×(8-1-0.04) = -×8+×+×0.04 =-6+1+0.03 =-4.97 负数的各数与结果的符号关系 1×2= 2 -1×2= -2 1×(-2)= -2 -1×(-2)= 2 -1×(-2)×(-3)=-6 -1×(-2)×(-3)×(-1)=6 -1×(-2)×(-3)×(-4)=24 -1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120 负数的各数与结果的符号关系 几个不为0的数相乘，负数的个数为偶数，结果为正数；负数的个数为奇数，结果为负数。 思考 20： (-)×××(-) 第一步：确定答案的符号，负数为偶数个，所以结果一定是正数。 第二步：约分，不要分子和分母分别相乘算出总数，然后再约分，麻烦，容易出错，浪费时间。 =×× = 思考 21： (-1)×(-)×××(-)×0 任何数与0相乘，结果都为0，不管式子有多长 =0 2.2.2 有理数的除法 8÷4= 25÷5= 36÷12= 8×= 25× = 36× = 16÷2= 24÷3= 72÷4= 16× = 24× = 72× = 56÷14= 10.5÷3= 144÷24= 56× = 10.5× = 144× = 2.2.2 有理数的除法 以上计算式，大家是否发现一个规律, a ÷ b = a × ，除以一个数，等于乘以这个数的倒数，这里b不为零，因为0不能做除数，不能做分母。 多了负数会怎样？ -8÷4= -25÷(-5)= -36÷12= -8×= -25× (-)= -36× = 16÷(-2)= 0÷3= -72÷4= 16×(- )= 0× = -72× = -56÷14= 10.5÷(-3)= -144÷24= -56× = 10.5× (-)= -144× = - - 2.2.2 有理数的除法 不论正数和负数，都满足这个规则： 除以一个数，等于乘以这个数的倒数，这里b不为零，因为0不能做除数，不能做分母。 a ÷ b = a × ，b不为零。 换个说法：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值。 -36÷9= -÷(-)= -18÷6= -63÷(-7)= 1÷ (-9)= 0÷(-8)= -6.5÷0.13= -÷(-)= ÷(-6)= - 思考 22： 分式的应用 以后，20除以5等于4这样方式的计算会减少，更多是整数和分数，小数之间的混合计算，这要求我们把小数转化为分数，除法转化为乘法，结果也用最简分数来表示。 2÷4=2×= =- = 分式的化简 = 首先，把负号从72这里拿到前面，虽然不是必须的，但是更符合常规表示。 第二步，约分，分子分母同时除以9，分子变为8，分母变为1，分母为1就可以省略不写了。 所以，最后答案是-8. -8 分式的化简 = 首先，两个负号相乘变为正号，两个负号相除也变为正号。 第二步，约分。从有理数乘除法开始，大家要习惯约分这个动作，会让计算变得简单，高效。上下同时除以15，结果变为。 分式的化简 0 0除以任何数，0乘以任何数，结果都是0. 分式的化简 = 首先，负号从分母移动到最前面，作为整体的符号。 第二步，约分，上下同时除以3，结果： - - 分式的化简 首先，上下同时除以7，分母变为1，默认不用写，分子变为-3。 结果为：-3 -3 分式的化简 = 首先，分子分母同时除以3，变为 最后，负号从分母移动最前面，其实挪给分子也行，但是常规还是作为 正数的符号。 结果为： - - 分式的化简 首先，两个负号相除，变为正号。 其次，约分，分子和分母分别除以2，结果为： 分式的化简 = 首先，负负得正，两个负号去掉。 其次，如果你计算很熟，6除以0.3可以直接写出答案20. 如果你不能一眼看出结果是20，可以给分子和分母乘以10，让分母变成整数，这里需要说一下，分母分母同时乘以一个相同的不为0的数，结果保持不变。 整个式子变成，很明显答案为20. 如果我们把0.3写成， 式子就变成之6，根据分号的除法作用，式子进一步变成 6× 6和3直接约分，分别除以3，结果变为2×10=20. 20 (-125)÷(-5) 混合计算 1： =(-)÷(-5) =(-)×(-) = (-125)÷(-5) 混合计算 1： =[-125+(-)]÷(-5) =(-125)×(-)+(-)×(-) =25+ =25 = -2.5÷×(-) 混合计算 2： =-2.5××(-) =1 -28÷×4 =-28÷(×4) =-28÷1 =-28 混合计算 3：哪个对？ 错因：乘除法混合，不要乱用结合率，只有连续加和连续乘才能使用结合率。 -28÷×4 =-28×4×4 =-448 混合运算顺序 有括号，先算括号里的。 从左到右。 先算乘除，后算加减。 混合计算 4： -8+4÷(-2) (-7)×(-5)-90÷(-15) =-8+(-2) =35+(-90)÷(-15) =-10 =35+6 =41 =35-(-6) =35+6 =41 混合计算 5： (-)×1.25×(-8) = ×8 = ×8 = 混合计算 6： (-10)×(-8.24)×(-0.1) =(-10)×(-0.1)×(-8.24) =-8.24 混合计算 7： (1- -)÷(-)+(-)÷ (1- -) = (- -)×(-)+(-)÷[7(- )] =-×8+(- )× ×24 =- -3 =-3 混合计算 8： 0.1÷(-0.001)÷(-1) = ÷()÷(-1) = ×1000×1 =100 混合计算 9： 0.1÷(-0.001)÷(-1) =-100÷(-1) =100 混合计算 10： 0.1÷(-0.001)÷(-1) =100 回头看： 1×(-5)= 1÷(-5)= 1+(-5)= 1-(-5)= (-1)×(-5)= -1÷（-5）= -1+(-5)= -1-(-5)= -5 -1/5 -4 6 5 1/5 -6 4 $