2-2 有理数的乘法与除法 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘法法则、运算律、除法法则及混合运算，通过问题引导学生从正数乘法过渡到负数乘法，再到除法，以规律探究为支架构建知识脉络。 其亮点在于通过算式规律观察培养抽象能力（数学眼光），运算律验证发展推理意识（数学思维），实例应用（如气温变化、公司盈亏）强化模型意识（数学语言）。学生提升运算与解决问题能力，教师获得结构化教学流程与多样化训练素材。

有理数的乘法与除法 模块一： 有理数的乘法一 在有理数范围内，除了已有的正数与正数相乘、正数与0相乘以及0与0相乘，乘法还有哪几种情况？ 正数乘负数 负数乘正数 负数与0相乘 负数乘负数 思考1：观察下列乘法算式，你能发现什么规律吗? 3 × 3 ＝ 9 3 × 2 ＝ 6 3 × 1 ＝ 3 3 × 0 ＝ 0 前一乘数相同，后一乘数逐次减1 积逐次减3 3×(－1)＝_____ 3×(－2)＝_____ 3×(－3)＝_____ －3 －6 －9 随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3． 要使这个规律在引入负数后仍成立，那么应有： 思考2：观察下列算式，你又能发现什么规律? 3 × 3 ＝ 9 2 × 3 ＝ 6 1 × 3 ＝ 3 0 × 3 ＝ 0 后一乘数相同，前一乘数逐次减1 积逐次减3 (－1)×3＝_____ (－2)×3＝_____ (－3)×3＝_____ －3 －6 －9 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3． 要使这个规律在引入负数后仍成立，那么应有： 3 × 3 ＝ 9 2 × 3 ＝ 6 1 × 3 ＝ 3 0 × 3 ＝ 0 3 × 3 ＝ 9 3 × 2 ＝ 6 3 × 1 ＝ 3 3 × 0 ＝ 0 3×(－1)＝－3 3×(－2)＝－6 3×(－3)＝－9 (－1)×3 ＝－3 (－2)×3 ＝－6 (－3)×3 ＝－9 积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 正数乘正数，积为正数； 正数乘负数，负数乘正数，积为负数. 说一说：从符号和绝对值两个角度分别观察下列算式，你发现了什么？ 思考3：利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现什么规律? (－3)× 3 ＝ ______ (－3)× 2 ＝ ______ (－3)× 1 ＝ ______ (－3)× 0 ＝ ______ －9 －6 －3 0 随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3． (－3)×(－1)＝_____ (－3)×(－2)＝_____ (－3)×(－3)＝_____ 3 6 9 利用上面归纳的结论计算,并说一说你发现的规律. 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 　　你能试着自己总结出有理数乘法法则吗？ 正×负 负×正 负×负 正×正 积为正数 积为负数 积为零 正×0 负×0 0×0 乘积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)×(+b)=a×b，(-a)×(-b)=a×b； (-a)×(+b)=-(a×b)，(+a)×(-b)=-(a×b)； c×0=0，0×c=0。 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数。 例1：计算 (1)8×(－1)； (2) ； (3) 解：(1)8×(-1)＝-(8×1)=-8 要得到一个数的相反数，只要将它乘-1 (2) 乘积是 1 的两个数互为倒数 思考：数a（a≠0）的倒数是什么？ (3) 有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值． 　有理数乘法的运算步骤： 例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为－6 ºC，登高3 km后，气温有什么变化？ 解：(－6)×3＝－18 答：登高3 km后，气温下降18 ºC. 被乘数 乘数 积的符号 绝对值 结果 －3 6 － 18 －18 5 8 ＋ 40 40 －7 －4 ＋ 28 28 4 －25 － 100 －100 1.填表： 2.写出下列各数的倒数． 解： 1的倒数是1， －1的倒数是－1， 的倒数是3， -的倒数是－3， 5的倒数是， －5的倒数是， 的倒数是， 的倒数是 . 想一想：0有没有倒数呢？ 0没有倒数！ 3.计算下面各题. (1)6×(－9) ； (2)(－4)×6； (3)(－6)×(－1)； (4)(－6)×0； 解： (1)6×(－9)＝－54； (2)(－4)×6＝－24； (3)(－6)×(－1)＝6； (4)(－6)×0＝0； 4.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ 解：(－5)×60＝－300 答：销售额减少了300元. 5.计算： 解 有理数的乘法 倒数 法则 乘积是 1 的两个数互为倒数． 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 任何数同0相乘，都得0． 步骤 确定积的符号 确定积的绝对值 相反数 　　要得到一个数的相反数，只要将它乘－1． 模块二： 有理数的乘法二 　　问题：在小学学过哪些和乘法有关的运算律？ 乘法交换律 　　两个数相乘，交换乘数的位置，积不变，即 a×b＝b×a． 　　三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a×b)×c＝a×(b×c)． 乘法结合律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即a×(b+c) ＝a×b+a×c． 乘法对加法的分配律 　　对于有理数的乘法，前面学过的乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律还成立吗？ 　　问题：在小学学过哪些和乘法有关的运算律？ 探究1：计算5×(－6)与(－6)×5，所得的积相同吗？换几组乘数再试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？ 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. 乘法交换律：ab＝ba 注意：a×b也可以写成a·b或ab 当用字母表示乘数时， “×”可以写为“·”或省略. 5×（－6）＝－30，（－6）×5＝－30， 　　即5×（－6）＝ （－6）×5． 　探究2：计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？ 　[3×（－4）] ×（－5） 与 3×[（－4）×（－5）]. 在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) [3×（－4）] ×（－5）＝（－12）×（－5）＝60， 3×[（－4）×（－5）]＝ 3×20＝60. 即[3×（－4）] ×（－5）＝3×[（－4）×（－5）]. 探究3：计算5×[3＋(-7)]与5×3＋5×(-7)，所得的结果相同吗？换几组数再试一试。从上述计算中，你能得出什么结论？. 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 5×[3＋（－7）]＝ 5×（－4）＝－20， 　5×3＋5×（－7）＝ 15－35＝－20. 　 即5×[3＋（－7）]＝ 5×3＋5×（－7）. 交换律、结合律、分配律等运算律在运算中有重要作用，它们是解决许多数学问题的基础。 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 例3：计算 2×3×0.5×(-7) 解：(1)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5) ×[3×(-7)] =1×(-21) =-21 例4：用两种方法计算： 先做加减法运算， 再做乘法运算。 比较解法1与解法2,它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？ 利用分配律，先做乘法运算， 再做加减法运算。 探究4：改变例1的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子，观察这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(-0.5)×(-7) 2×(-3)×(-0.5)×(-7) (-2)×(-3)×(-0.5)×(-7) 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？ 如果有乘数为0，那么积有什么特点？ 2×3×0.5×(-7) =-21 =21 =-21 =21 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。 想一想：遇到多个不为0的数相乘时，可以可以怎么计算呢？ 遇到多个不为0的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再巴乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 (-3) =- =- (-5) = =6 1.运用运算律填空： (1)[(－4)×5]×() ＝(－4)×[ ____ ×( ________ )]；  (2)(－0.25)×21×(－8)×() ＝[(－0.25)×( ____ )]×[ ____ ×()]． 5 8 21 2.观察下面的计算过程： (－＋)×3×5＝(－＋)×15＝5－3＋6＝8 在上面的计算过程中运用的运算律是( ) A.乘法交换律及结合律 B.乘法交换律及分配律 C.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律 D 3．计算： (1)；(2)． 解：（1） ． （2） ． 4.计算：（1）（－85）×（－25）×（－4） （2） 解：（1）（－85）×（－25）×（－4） ＝－85×（25×4） ＝－85×100 ＝－8500； 5.在等式4×□－2×□＝30的两个方格中分别填入一个数，使这两个数互为相反数，且等式成立，则第一个方格内的数是________． 5 乘法的运算律及多个有理数相乘 运算律 步骤 第一步：看是否有因数 0； 乘法交换律：ab＝ba． 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac． 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)． 第二步：确定符号（奇负偶正）； 第三步：绝对值相乘． 模块三： 有理数的除法三 思考：怎样计算8÷(－4)呢？ ∵_____×(－4)＝8 ∴ 8÷(－4)＝______ 除法是乘法的逆运算！ (－2) －2 又∵ 8×()＝______ －2 ∴ 8÷(－4)＝ 8×() 除法可以转化为乘法！ 一个数除以－4，等于乘－4的倒数 试一试：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？ 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 注意：除法在运算时有 2 个要素要发生变化. 除法 乘法 除数 倒数 两个有理数相除(除数不为0)，商是一个有理数。 类比：根据有理数除法法则，类比有理数乘法法则，你能得到有理数除法法则的另一种说法吗？ 有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 先确定商的符号，再求出商的绝对值． 例1： 计算 (1) (－36)÷9 ； 解：(1) (－36)÷9＝(－36)×＝－4 或 (－36)÷9＝－(36 ÷9)＝－4 = = 　　在不能整除或除数为分数的情况下，则往往将除数换成倒数，转化为乘法运算. 例2：化简下列分数. 解:（1） ＝(－2) ÷3＝ ； （2） ＝(－45)÷(－12)＝45÷12＝ 　　分数可以理解为分子除以分母． 分数化简的方法 　　（1）把分数转化为除法，利用有理数的除法法则进行化简； 　　（2）利用分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变”进行化简. ＝ 负分数，因而是有理数。 反之 ＝ 可以写成 这样两个整数相除的形式。 一般地，根据有理数的除法，形如（p，q是整数， q≠0)的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数），这样，有理数就是形如(p，q是整数，q≠0)的数。 有理数表示为分数形式非常重要。在以后的学习中，我们将逐渐体会到它在数学中的价值。 1.计算(－18)÷9的结果等于( ) A.－2 B.2 C.－ D. 2.下列运算错误的是( ) A.15÷(－5)＝－3 B.(－ )÷(－3)＝1 C.0÷(－2)＝0 D. ÷(－ )＝－ A B 3．计算：（1）(-18)÷6；（2）(-63)÷(-7)； （3）1÷(-9)； 　 （4）0÷(-8); （5）(-6.5)÷0.13；（6）. 解：（1）(18)÷6＝(18÷6)＝3； （2）(63)÷(7)＝63÷7＝9； （3）1÷(9)＝(1÷9)＝ ； （4）0÷(8)＝0； （5）(6.5)÷0.13＝(650÷13)＝50； （6）(． A 4.下列化简中，正确的是( ) A.＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 5.a，b，c在数轴上的位置如图所示．   (1)用“” “”或“”填空：a____0，b____0，c____0，____0； (2)化简：． < < > < 解：（2） 有理数的除法 有理数除法运算 有理数除法法则 直接利用除法法则 把分数转化为除法 模块四： 有理数的除法四 小学的四则混合运算的顺序是怎样的？ 先乘除，后加减，同级运算从左向右；有括号要先算括号里的，再算括号外的． 括号计算顺序：先小括号，再中括号，最后大括号． 这个运算顺序在初中阶段是否仍然适用？ 例3：计算：(1)); (2) 2.5. 解：(1)) =) = =25+ =25 因为有理数除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。 例3：计算：(1)); (2) 2.5. 解： (2) 2.5 = 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 有理数的加减乘除混合运算顺序 1．如无括号应按照__________________的顺序进行；如果有括号，则先算括号里面的． 2．同级运算，按从____向____的顺序计算． “先乘除，后加减”　　　 左　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 右 例4：计算： (1)－8＋4÷(－2)； (2)(－7)×(－5)－90÷(－15) 解： (1)－8＋4÷(－2) ＝－8＋(－2) ＝－10 (2)(－7)×(－5)－90÷(－15) ＝35－(－6) ＝35＋6 ＝41 解法一： =－2 有括号，先算括号里面的 =－1＋(－1) 　　例5：用两种方法计算 = =(2－3)＋(－1) 除法没有分配律 　　乘法分配律 =－2 解法二： 　　例5：用两种方法计算 = 例6：某公司去年1—3月平均每月亏损1.5万元，4—6月平均每月盈利32万元，7—10月平均每月盈利21.7万元，11—12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数．由 (－1.5)×3＋32×3＋21.7×4＋(－2.3)×2 ＝－4.5＋96＋86.8－4.6 ＝173.7 答：这个公司去年全年盈利173.7万元. 你能用计算器计算这个式子吗？ 1.计算3－2×(－1)等于( ) A.5 B.1 C.－1 D.6 2.计算×(－6)÷(－ )×6－6等于( ) A.－5 B.－36 C.30 D.－6 A C 3.计算：(1)； (2) 解：（1） ． （2） 4.计算 （1）6－(－12)÷(－3) （2） (－48)÷8－(－25)×(－6) （3）3×(－4)+(－28) ÷7 （4）42×(－)+(－)÷(－0.25) 解：（1）6－(－12)÷(－3)=6－4=2 （2） (－48)÷8－(－25) × (－6)=－6－150=－156 （3）3×(－4)+(－28) ÷7=－12+(－4) =－16 （4）42×(－)+(－) ÷(－0.25)= (－28)+3= －25 5.计算：(1)60÷(－15)－6×(－5)； 解：(1)60÷(－15)－6×(－5) ＝－4－(－30) ＝－4＋30 ＝26 =10 8 =10 =16 6.一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是 -1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃. 已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8 ℃，这个山峰的高度为多少? (山脚海拔0米) 解: 依题意得 [5-(-1)]÷0.8×100 =6÷0.8×100 =750(米) 答: 这个山峰的高度为750米. 有理数的加减乘除混合运算 利用计算器进行计算 乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算 直接按照运算顺序计算 根据实际需要进行简便计算 根据实际问题列算式求解 $