专题03 轴对称（期中真题汇编）八年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦轴对称专题的期中试题汇编，覆盖5大高频考点，精选浙江、重庆等多地期中真题，注重生活情境与几何推理结合，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|轴对称性质（节能标志识别）、垂直平分线（尺规作图）、等腰三角形（动态问题）|结合抗战阅兵车牌号、二十四节气图标等生活素材，基础题占比60%| |解答题|约25题|等边三角形（旋转综合）、轴对称作图（坐标系变换）|从折叠计算（长方形对折周长）到探究证明（等腰三角形三线合一），梯度分明，匹配期中能力要求|

专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．C 14．C 15．B 16．D 17．C 18．D 19．【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 20．【答案】85 【分析】 由平行线的性质得出，再由翻折变换的性质得出，，进而求出的度数，即可得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键． 21．【答案】（1）     （2）证明：在的延长线上截取，连接， 设，则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长； （2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可； （3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即， ， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 点N为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．C 9．C 10．【答案】12 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 11．【答案】假 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； (2) 小问详解： 解：如图：    是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 15．【答案】（1） 如图， 点即为所求．     （2），垂直平分线的性质，      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 16．【答案】（1） 如图：      （2）      【分析】 本题考查作垂线、三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作出即可；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结即可． （2）结合题意可得，根据，可得．再根据，可得，即，则，进而可得． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结； (2) 小问详解： 点与点关于直线对称， 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 17．【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键． （1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点． （2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18．【答案】（1） 证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 19．【答案】（1）     （2） 证明：连接，如图所示： 由（1）可知：， △为直角三角形， ， △是直角三角形， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 垂直平分， ， ， 点是的中点．      【分析】 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据得，根据线段垂直平分线性质得，，则，，由此得，据此即可得出的度数； （2）连接，由（1）可知，则△和△为直角三角形，根据点是的中点得，由此依据“”判定△和△全等得，据此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：在△中，， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， 即的度数为； (2) 小问详解： 略． 20．【答案】（1） 如图所示DE为所求；                                              （2）90°      【分析】 （1）依据垂直平分线的作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据垂直平分线的性质， 即可得到∠BAE=∠B， 再根据三角形外角性质， 即可得到∠AEC的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，                                                                ∴∠EAB＝∠B＝45°， ∵是的外角，                                                   ∴∠AEC＝∠EAB﹢∠B＝90°． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案． 【详解】 解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查的是平面直角坐标系中点的对称规律，掌握关于轴对称的点的坐标变化特征是解题的关键．根据关于轴对称的点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的性质，结合已知点的坐标，即可求出对称点的坐标． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数，因此对称点的横坐标为，纵坐标为，故对称点的坐标为． 故答案为：． 11．【答案】（1）见解析     （2），      【分析】 本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，先标出点， ，的位置，再依次连接，即可作答． （2）观察（1）中的图，读取各个点的坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， (2) 小问详解： 解：观察（1）中的图，得，． 12．【答案】（1）与如图， （2）点Q的位置如图， 【分析】 本题考查了直角坐标下点的特征，图形关于y轴对称的特征，垂直平分线的作图与性质，解决本题的关键是熟练作图． （1）根据点的坐标先画出，再由关于y轴对称的特征画出即可． （2）根据超市Q到两个小区的距离相等，作的垂直平分线，即“垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等”，即可找到点Q的位置． 【详解】 解：（1）略 （2）以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧， 再以点B为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于点C与点D， 连接，所得直线即为的垂直平分线， 与直线m相交于点Q，则点Q即为所求 13．【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，根据此性质列方程求解得出，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得， ， 故答案为：． 14．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查的是画轴对称图形，割补法求三角形的面积，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于y轴对称的对称点D，E，F，再顺次连接即可； （2）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为：． 15．【答案】（1） 如图：即为所求；      （2）．      【分析】 （1）根据轴对称的性质，即可得出； （2）由正方形的面积减出3个直角三角形的面积即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质与作图，格点三角形求面积，割补法是解决问题的关键． 16．【答案】10:51      【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 17．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的特点，在平面直角坐标系中关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．点与点关于轴对称，所以这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以可得，解方程可以求出的值． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， 解得： 故答案为： ． 18．【答案】（1） 解：如图，即为所求作．      （2） 解：如图，点P即为所求作．         理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和 交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短；     （3） 解：如图，点Q即为所求作． 【分析】 本题考查轴对称作图、角平分线的性质： （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和 交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．【答案】（1）如图所示，即为所求；     （2）     （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，求解网格三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接． （2）利用割补法求解三角形面积即可． （3）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ． (3) 小问详解： 略 20．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判断与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【详解】 解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】 解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求．和关于y轴对称．      （3）．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用轴对称变换的性质作出三角形即可； （3）利用轴对称变换的性质解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘， ∴关于y轴对称得到． (3) 小问详解： 解：由题意． 23．【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图， 即为所求， ．      【分析】 本题考查作轴对称图形及作中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，作出顶点关于轴对称的对称点连接起来即可得到答案； （2）根据关于点对称的点：横坐标与纵坐标变为其相反数，作出顶点的对称点连接起来即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 如图，、即为所求；      （2）4      【分析】 （1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称点的坐标变换规律． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 点关于轴对称， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 26．【答案】（1） 由题意作图可得：      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：根据题意连接可得： ∴． 27．【答案】（1） 如图： ，     （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，再根据图形写出点，点的坐标即可； （2）取格点、，则，，，，证明，得出，求出，则，再由轴对称的性质即可得解； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：由图可得，，； (2) 小问详解： 解：如图，取格点、， 则，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D关于直线m对称点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵线段上有一点， ∴点M关于直线m对称点的坐标为． 考点04 等腰三角形 1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．C 12．D 13．B 14．C 15．C 16．C 17．C 18．B 19．A 20．C 21．C 22．D 23．B 24．C 25．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】 解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】 解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 27．【答案】（1） 方案① 可行，方案② 不行． 理由：在和中， ， ． ． 方案② 中缺少条件证明， 所以方案① 可行，方案② 不行．     （2） 由（1）及题意可知：当添加或时，结合，根据“等腰三角形的三线合一”可解答； 故答案为：或（答案不唯一）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“”可证，然后问题可求解； （2）根据等腰三角形的性质可进行求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并应用含30度角的直角三角形的性质；根据30度角所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】 解：立柱、垂直于横梁， ， D是中点， ， ， ，． 29．【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 30．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 由题可得，，根据，得到，，根据外角定理可得，可得，即可得解； 【详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 32．【答案】已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】 略 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握等边对等角，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】 解：，， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 34．【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1） 证明：∵、是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，即可得出； （2）根据，得出，根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：略. 36．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 37．【答案】（1） 如图：      （2），，     （3）3      【分析】 本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． (1) 小问详解： 解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： 解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 38．【答案】（1）     （2）     （3） 证明： ， ， 又，点是的中点， ， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质可得到，从而可得出结论． (1) 小问详解： 解：， ， 又， ； (2) 小问详解： 解：，点是的中点， ； (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1） 证明：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，，求出的度数，最后利用角的和差求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 40．【答案】（1）34     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，，可得，再进一步求解即可．        （2）由，，可得，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴，，        ∵， ∴，        ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∴的周长． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴，        ∴． 41．【答案】 【分析】 本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，由垂直定义得，然后通过同角的余角相等即可判断；由等腰三角形的判定与性质即可判断；通过垂直平分线的判定即可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分，故正确； 综上可得：正确， 故答案为：． 42．【答案】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴即． 【分析】 先证,再利用等角对等边即可得证． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边以及角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 43．【答案】（1）；；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ；     （3）．      【分析】 （）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 44．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】 解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 45．【答案】（1） ① 证明：， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ② 证明：∵是的中线， ∴， ∵， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）① 根据，可推出，证明即可；② 根据全等三角形的性质得到，证明，得到，即可解答． （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． (1) 小问详解： 证明：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 46．【答案】（1） 解：如图1，点D即为所求；     （2） 解：如图2，点E即为所求；     （3） 解：如图3，点F即为所求． 【分析】 本题考查作图-应用与设计作图、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键． （1）利用网格找到线段的中点，即为所求的点D； （2）取格点M，连接，与 交于点E，，则点E即为所求； （3）取格点N，连接，，则为等腰三角形，再利用网格取的中点P，连接，与边交于点F，则点F即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 47．【答案】（1）等腰三角形，周长为     （2）      【分析】 （1）先化简二次根式，再判断三角形的形状即可； （2）先求解等腰三角形底边上的高，再利用三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴三角形是等腰三角形 三角形的周长； (2) 小问详解： 解：如图，过作于，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】 本题考查的是二次根式的化简，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的运算是解本题的关键． 48．【答案】 【分析】 先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得． 【详解】 解：在中，，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 49．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）根据平行结合角平分线得到等腰三角形进行论证即可； （2）根据角平分线结合平行可得，进而得到，最后利用三角形内角和求解即可. (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 50．【答案】（1）证明：如图2，在上取一点，使得，连接． ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）证明为等边三角形，得出，，证明，得出，从而得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】 （1）略； （2）；理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．【答案】（1）如图所示： （2）36°. 【详解】 试题分析：（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案． 试题解析：（1） 略 （2）设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠DBA=∠A=x， 在△ABD中 ∠BDC=∠A+∠DBA=2x， 又∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， 在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°． 【点睛】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 52．【答案】（1）     （2） 证明：如图2中，作交于H．    ∵轴，轴，，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点P为中点；     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）作交于H．证明，可得，即可求解； （3）作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，根据题意可得E、O、F共线，从而得到，进而得到当E、M、N、F共线时，有最小值为，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点的坐标是， ∴， ∴C点的坐标是； 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，    ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、O、F共线， ∴， ∵ ∴当E、M、N、F共线时，有最小值为， ∵，P为中点， ∴，，， ∴， ∴最小值． 53．【答案】50 【分析】 由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】 解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 54．【答案】如图，连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：三线合一） 又， ，， 于点E， ， ，（直角三角形的两个锐角互余） 在中，， ， 同理在中，，则． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识．根据已知的过程与等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：略． 55．【答案】40° 【详解】 解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 56．【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵，，的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 57．【答案】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【分析】 求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】 略 58．【答案】（1）90     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据四边形内角和定理解答即可； （3）设，则，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，，，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵E，F分别是中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：设，则，， ∵E，F分别是中点， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 59．【答案】或 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，先求出的度数，再分当点D与点B重合时，当点D在延长线上时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 如图所示，当点D与点B重合时， 由轴对称的性质可得， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时， 由轴对称的性质可得， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 60．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】 解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 61．【答案】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）135，（3）27 【分析】 （1）证明，再等量代换解答即可； （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 62．【答案】（1）和     （2）①或；②     （3）且      【分析】 （1）先画出所需的三角形，再运用勾股定理的逆定理求出为等腰直角三角形，再根据“近等距点”的定义即可得答案； （2）① 以为斜边作等腰直角三角形和，根据“远等距点”的定义即可得到答案；② 点D在线段的垂直平分线上，连接，作点A关于线段的垂直平分线的对称点为，根据对称的性质可得当点D为原点时取最小值，进行求解即可； （3）先求出点的纵坐标最大值和最小值的情况，再讨论点与点不重合的情况即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，作， 由图可知，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵根据题意“时，称点为线段的近等距点”， ∴由图可得，点和是线段的近等距点， 故答案为：和； (2) 小问详解： 解：① 以为斜边作等腰直角三角形和，如下图： ∵“时，称点为线段的远等距点”， 又∵点为线段的远等距点， ∴点的横坐标的取值范围是或， 故答案为：或； ② 如图，点D在线段的垂直平分线上，连接， 作点A关于线段的垂直平分线的对称点为， ∴， ∴当点D为原点时取最小值，且点D为等距点， ∴点和点距离为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点B为时，作，如下图， 此时点的纵坐标可取得最大值， 由图可得，， ∴， 同理可得，当点B为时，点的纵坐标可取得最小值，， 假设当点B为时，如下图， ∵，且， ∴， ∵点与点不重合， ∴， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 63．【答案】（1）相等，平行     （2） 解：猜想：，， 证明：延长交于点，        绕点逆时针旋转得到， ，，        ，，，        又，， ，， ，        ， ，        ．      【分析】 本题考查旋转的性质及平行线的判定，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据旋转得到，，，，结合平行线判定即可得到证明； （2）延长交于点，根据旋转得到，，，，从而得到，即可得到证明； (1) 小问详解： 解：相等，平行，理由如下， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：相等，平行； (2) 小问详解： 略 64．【答案】（1）； （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，    ∵，， ∴，        在中， ∵，        . ； （3） 【分析】 （1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】 解：（1）；      （2）略 （3）延长至点，使，连接，        ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即        ， ，        ，， ． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 65．【答案】 【分析】 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接CE，当CE⊥AB时，线段的和最小，再运用等面积法求CE的长度即可． 【详解】 如图所示：点B关于AD的对称点是点C， ∴BF＝CF， ∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE， 当CE⊥AB时，线段的长度有最小值， 利用△ABC面积的两种表示方法，得： ， ∵BC＝2BD＝6，AD＝4，AB＝5， ∴， 解得：． 【点睛】 此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 66．【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ；由平分结合即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤ 符合题意． 综上，正确的是① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤． 67．【答案】（1） 的中点E， 的中点F，如图所示：      （2） 如图所示：      （3） 如图所示：      （4） 点P如图所示： 【分析】 本题考查了勾股定理与网格，勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征以及矩形的性质，即可连接格点，与的交点即为中点E，根据网格特征，则，即可证明故，则与的交点即为的中点F． （2）根据网格特征以及勾股定理，，故，得，故，即可作答． （3）与（1）同理，证明，得出，即点M是的中点M，再证明，，因为，，所以，即可作答． （4）与（2）同理，得，，即是等腰直角三角形，根据网格特征以及矩形的性质，得出是的中点，运用等腰直角三角形的三线合一，连接并延长交于一点，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了勾股定理与网格，勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 68．【答案】（1） 证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据中点的定义及已知得，推出，再根据三角形外角的性质得，继而得到，即可得证； （2）如图，连接，过点作交的延长线于点，设，推出平分，求出，证明得，证明得，然后结合图形得，通过代换可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴平分， ∵，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即四边形的面积为． 【点睛】 本题考查等边对等角，平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等积变换等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．【答案】货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里 【分析】 本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，理解题意是解决本题的关键。 根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，根据题意得：， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里． 10．【答案】6 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 在等边三角形中，，，由平分可得，，，在中，，则，，在中，，则，即可求解． 【详解】 解：在等边三角形中，，， ∵平分， ∴，，即， 在中，，， 则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．【答案】或 【分析】 连接EF，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程解决问题即可，当时，方法类似． 【详解】 连接，当时，延长交于，延长交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同法可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． 当时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 12．【答案】（1） 证明：，，    ， 是中点，，    ，即， ， 是的垂直平分线，    ，    ，    ，    又，    中，则，    是等边三角形；     （2）．      【分析】 本题考查等腰三角形三线合一、垂直平分线性质、等边三角形判定及含直角三角形的性质．解题关键是灵活运用这些几何性质，通过角度计算和线段关系推导来解决问题． （1）利用等腰三角形三线合一得到的性质（垂直、角度），结合是垂直平分线得，再通过角度计算证明三个角即可； （2）利用含直角三角形的性质（对的直角边是斜边的一半），结合垂直平分线和等边三角形的性质来推导的长度． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：是垂直平分线， ，即， 在中，， ， 由（1）知，且是等边三角形， ， 在中，，， ， 又（已知）， ． 13．【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识．如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】 解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：30． 14．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；      （3） 证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 对于（1），利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； 对于（2），在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； 对于（3），延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．【答案】18 【分析】 【详解】 解：根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°， ∴AC=AD=DC=6， ∴ADC的周长是18cm． 故答案为8. 16．【答案】（1） =，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 17．【答案】 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积是：． 故答案为：． 18．【答案】（1）=     （2） 仍然成立，过点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）线段与的数量关系不变， 证明：如图，过点点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质可知，从而得出答案； （2）过点E作，交于点D，得是等边三角形，再利用证明，即可证明结论； （3）由（2）同理可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ，． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等边三角形的性质可得，，即可证得； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，得到，根据含的直角三角形的性质，得到，进而可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ． 20．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及等腰三角形的判定，证得是解题的关键，再逐项判断即可． 【详解】 对于① ，是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行），故① 正确； 对于② ，由① 知， ， ， ， 则是等边三角形，故② 正确； 对于③ ，， ， ， ， 所以点，，三点不可能在同一条直线上，故③ 错误； 对于④ ，， ， 若是等腰三角形，则， ， ， 故存在，当为中点时，是等腰三角形，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 21．【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， 当，则， 在中，， ， 在与中， ， ．     （2）①；②或4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题与分类讨论思想．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，利用平行线的性质得出，结合，即可证明； （2）①由可得出，进而得出关于的一元一次方程，求解即可得出结论； ②由（1）可知，当为直角三角形，也为直角三角形，分与两种情况考虑，利用直角三角形角的对边等于斜边的一般可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当是等边三角形，且中， ， ，， ， ， 当时，为等边三角形； ②当时， ， 在中，， ， ， ，， ， 解得； 当时， ， ，即， 解得， 综上所述，当或4时，为直角三角形． 22．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形；     （2）或或      【分析】 本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，结合，即可得证； （2）分3种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况， ①，则：，解得； ②，则：，解得； ③，则：，解得； 综上：或或． 23．【答案】（1）按照题意完成画图，如图所示； ； （2）点D的坐标为． 【分析】 本题考查最短路径-将军饮马以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握“饮马问题”的对称法以及全等三角形的判定方法和利用三角形面积法求解是解题的关键． （1）利用“饮马问题”的对称法，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，之后可利用三角形面积关系来确定点的坐标； （2）过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E，利用全等三角形得出，进一步依据得出，以此得出，即可确定点的坐标． 【详解】 解：（1）设， ∵, , ， ∴,， ， ∵， ∴，解得， ∴； （2）如图，过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴点D的坐标为． 24．【答案】8 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真理解题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，运用等边三角形的性质，证明，再运用三角形三边关系以及两点之间线段最短，得出当三点共线，则，即，故的最大值为，即可作答． 【详解】 解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴， ∵为的中点， ∴的最大值为， 在，， 当三点共线，则， 即， ∴的最大值为， 故答案为：8 25．【答案】（1） 证明：连接， ∵，，； ； ； 垂直平分(等腰三角形三线合一）; ∴直线是线段的垂直平分线；     （2） 证明：，， 是等边三角形． ． ， ，， ， 是等边三角形；     （3）      【分析】 （1）通过 SSS 证明三角形全等，结合等腰三角形三线合一证明垂直平分线； （2）先证是等边三角形，再利用平行线的性质得角相等，进而证明三个角均为； （3）利用平行线的性质、等边三角形的性质，结合直角三角形的边角关系求CF的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示， ，， 是的垂直平分线， 即． ，， ． ， ， ， ． 是等边三角形， ， ． 【点睛】 本题考查垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，解题中用到的思想有转化思想（将垂直平分线的证明转化为三角形全等与等腰三角形性质）、数形结合思想（结合图形推导角的关系）；方法技巧是利用全等三角形证角相等、利用平行线的性质转移角的度数、利用等边三角形的角特征判定图形形状．解题关键是熟练掌握垂直平分线的判定条件、等边三角形的判定定理，准确推导角与边的关系．易错点是在证明等边三角形时忽略角的推导过程，或在求线段长度时未能准确利用直角三角形的边角关系． 26．【答案】（1） ① 证明如下： 如图，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②或或，证明如下： 如图所示，截取， 由① 得，，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在上方，点下方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在点上方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或；     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，含角的直角三角形，垂线段最短等知识，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）① 连接，根据等边三角形的判定和性质证明，即可得出结论； ② 利用① 中的结论，分三种情况进行讨论，根据含角的直角三角形的性质及线段的和差，即可求解； （2）当取最小值时，,然后根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，由① 知，，当取最小值时，, ∴, 由① 得为等边三角形， ∴, 故答案为：8． 27．【答案】（1）① 证明：和都是等边三角形， ，，，        ， 即， 在和中， ， ，        ；    ② 证明：在上取点，使得， ， ， 即， 为等边三角形， ，，    是等边三角形， ，， ， 即，      ， ， ； （2）点和点的位置如图所示： 说明如下： 以为边作等边， 在上任取一点，连接，以为边作等边， 连接，，交点为，由上题的经验， 可得， 所以， 而点在上， 所以当时，根据垂线段最短，可得最短距离， 所以过作于，点即为所求， 连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【分析】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）① 根据证明，再根据全等三角形的性质可得结论； ② 在上取点，使得，证明为等边三角形，得，，再由证明，得，进而可得结论； （2）以为边作等边，根据垂线段最短，可得最短距离，所以过作于，点即为所求，连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不符合题意， B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意， C、是轴对称图形，不符合题意， D、是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）下列图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 根据轴对称图形的定义可知， A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形． 故选：A． 5．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我国古代的二十四节气图标诸多呈现对称之美，下列图标是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了轴对称图形的识别：轴对称图形，把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分完全重合；根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】 解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下列各图中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的识别．依据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．通过逐一分析每个选项中的图形是否能找到这样的对称轴来判断． 【详解】 解：选项A：“米”字沿竖直方向的一条直线对折后，左右两部分能够完全重合，因此“米”是轴对称图形；    选项B：字母“F”无论沿水平方向还是竖直方向尝试对折，都无法使两部分完全重合，因此“F”不是轴对称图形；    选项C：字母“H”沿竖直方向的一条直线对折后，左右两部分能够完全重合，因此“H”是轴对称图形；    选项D：数字“8”沿水平方向或竖直方向的一条直线对折后，上下或左右两部分能够完全重合，因此“8”是轴对称图形． 故选：B． 8．（25-26学年八上·广东广州·期中）下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 9．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）“这么近，那么美，周末到河北．”河北文旅宣传口号朗朗上口．下列特殊字体的汉字是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 10．（25-26学年八上·天津河东·期中）中国传统文化瓷器上的纹饰是中国古代传统文化重要载体之一．下面的瓷器纹饰图案不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】 解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  新能源汽车 B.  清洁能源 C.  太阳能发电 D.  可再生资源 【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解，掌握知轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 13．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，与关于直线对称，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合轴对称图形的性质，得，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，且， ∴， 故选：C 14．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 15．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】 A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 16．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，关键是把握好轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的定义，对各图形逐一进行判断，即可解题． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 17．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质——最短距离，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点，通过轴对称的性质和两点之间线段最短，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ∴， ∴， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ∴， ∵， ∴点到两小区送水站距离之和最小， 故选：． 18．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，为一个长方形信封平面示意图，现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图2，若这个长方形的长为，宽为，则图2中阴影部分的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查矩形对折的应用，根据矩形的性质得，，根据对折的性质得，，再将进行恒等变换可得答案．掌握矩形、对折的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，设交于点， ∵这个长方形的长为，宽为， ∴，， ∵现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图2， ∴，， ∴ 即图2中阴影部分的周长是． 故选：D． 19．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折，得到．若，，则　　　　　　　度． 【答案】85 【分析】 由平行线的性质得出，再由翻折变换的性质得出，，进而求出的度数，即可得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）     （2）证明：在的延长线上截取，连接， 设，则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长； （2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可； （3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即， ， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 点N为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下列定理中有逆定理的是（　　） A. 直角都相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题． 分别写出每一个选项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】 解：A、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，为假命题，故选项不符合题意； B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，故选项不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故选项不符合题意； D、内错角相等，两直线平行逆命题是两直线平行，内错角相等，是定理；故选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（     ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到是线段的垂直平分线是解题关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，得到，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】 解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长 故选： 3．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（       ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 【答案】D 【分析】 此题考查真假命题，逆命题，分别写出各命题的逆命题，并判断其真假，A、B、C的逆命题均存在反例，为假命题；D的逆命题符合等腰三角形性质，为真命题； 【详解】 解：∵ A的逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：两直线平行，同位角相等但不是对顶角）； ∵ B的逆命题：若，则，假命题（反例：，，但）； ∵ C的逆命题：对应角相等的三角形全等，假命题（反例：形状相同大小不相同的两个三角形对应角相等但不全等）； ∵ D的逆命题：等边对等角，真命题（等腰三角形中，两边相等则对应角相等）； 故选：D． 5．（25-26学年八上·浙江台州·期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断． 【详解】 解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD， ∴点D即为线段AB的中点， ∴CD为△ABC的边AB上的中线． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键． 6．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故① 正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故② 正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③ 正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④ 错误． 综上，正确的是① ② ③ ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（       ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，即可求解． 【详解】 解：垂直平分， ， ， 的周长为，的长为， ， ， ， 又， ， 故选：D． 8．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图， 已知，，， 分别以A、B两点为圆心， 大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，作直线与相交于点D，则的周长为（   ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质．依题意得，，为线段的垂直平分线，则，进而得，据此可得出的周长． 【详解】 解：由题意得：，， 由作图可知：为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，，按以下步骤操作： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，点， （2）分别以，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， （3）作射线， （4）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在两侧交于点，， （5）直线交射线于点， （6）过点作的垂线交于点．若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 如图，连接、，过点作交的延长线于点，设，根据尺规作图知：垂直平分，平分，得，，，证明得，证明得，即，求得，可得答案． 【详解】 解：如图，连接、，过点作交的延长线于点，设， 由作图知：垂直平分，平分， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴， 即的值为． 故选：C． 【点睛】 本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 10．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】 解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； (2) 小问详解： 解：如图：    是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 15．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】（1） 如图， 点即为所求．     （2），垂直平分线的性质，      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 16．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 【答案】（1） 如图：      （2）      【分析】 本题考查作垂线、三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作出即可；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结即可． （2）结合题意可得，根据，可得．再根据，可得，即，则，进而可得． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结； (2) 小问详解： 点与点关于直线对称， 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 17．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：在内部求作一点P，使，且； （2）连接PC，若，求的大小． 【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键． （1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点． （2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 19．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在中，，垂直平分，垂直平分． （1）求的度数； （2）若点是的中点，求证：点是的中点． 【答案】（1）     （2） 证明：连接，如图所示： 由（1）可知：， △为直角三角形， ， △是直角三角形， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 垂直平分， ， ， 点是的中点．      【分析】 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据得，根据线段垂直平分线性质得，，则，，由此得，据此即可得出的度数； （2）连接，由（1）可知，则△和△为直角三角形，根据点是的中点得，由此依据“”判定△和△全等得，据此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：在△中，， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， 即的度数为； (2) 小问详解： 略． 20．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 【答案】（1） 如图所示DE为所求；                                              （2）90°      【分析】 （1）依据垂直平分线的作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据垂直平分线的性质， 即可得到∠BAE=∠B， 再根据三角形外角性质， 即可得到∠AEC的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，                                                                ∴∠EAB＝∠B＝45°， ∵是的外角，                                                   ∴∠AEC＝∠EAB﹢∠B＝90°． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，    已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 2．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：∵点关于y轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点为． 故选：A． 3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于y轴对称点的坐标特征，掌握关于y轴对称点的坐标特征是解决本题的关键． 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】 解：∵点关于y轴对称， ∴横坐标取相反数：，纵坐标不变：4，得点． 故选C． 4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】 解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 5．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此解题． 【详解】 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】 本题考查象限与点坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案． 【详解】 解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是平面直角坐标系中点的对称规律，掌握关于轴对称的点的坐标变化特征是解题的关键．根据关于轴对称的点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的性质，结合已知点的坐标，即可求出对称点的坐标． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标取相反数，因此对称点的横坐标为，纵坐标为，故对称点的坐标为． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，直接写出点、的坐标． 【答案】（1）见解析     （2），      【分析】 本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，先标出点， ，的位置，再依次连接，即可作答． （2）观察（1）中的图，读取各个点的坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， (2) 小问详解： 解：观察（1）中的图，得，． 12．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．画出并画出关于y轴对称的． （2）有A、B两个小区位于街道m的同侧，现在要在街道建立一个超市，使得超市Q到两个小区的距离相等，请在图中作出点Q的位置． 【答案】（1）与如图， （2）点Q的位置如图， 【分析】 本题考查了直角坐标下点的特征，图形关于y轴对称的特征，垂直平分线的作图与性质，解决本题的关键是熟练作图． （1）根据点的坐标先画出，再由关于y轴对称的特征画出即可． （2）根据超市Q到两个小区的距离相等，作的垂直平分线，即“垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等”，即可找到点Q的位置． 【详解】 解：（1）略 （2）以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧， 再以点B为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于点C与点D， 连接，所得直线即为的垂直平分线， 与直线m相交于点Q，则点Q即为所求 13．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，根据此性质列方程求解得出，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得， ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的图形． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查的是画轴对称图形，割补法求三角形的面积，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于y轴对称的对称点D，E，F，再顺次连接即可； （2）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为：． 15．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，3），点的坐标为（，2），点的坐标为（，1），完成下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图：即为所求；      （2）．      【分析】 （1）根据轴对称的性质，即可得出； （2）由正方形的面积减出3个直角三角形的面积即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质与作图，格点三角形求面积，割补法是解决问题的关键． 16．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）小明从镜子里看到镜子对面电 子钟的像，如图所示，实际时间是　　　　　　 【答案】10:51      【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 17．（25-26学年八上·天津河东·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的特点，在平面直角坐标系中关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．点与点关于轴对称，所以这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以可得，解方程可以求出的值． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， 解得： 故答案为： ． 18．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． （3）在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作．      （2） 解：如图，点P即为所求作．         理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和 交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短；     （3） 解：如图，点Q即为所求作． 【分析】 本题考查轴对称作图、角平分线的性质： （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和 交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） （1）画出格点关于直线的对称的； （2）的面积为_______； （3）在上画出点P，使最小． 【答案】（1）如图所示，即为所求；     （2）     （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，求解网格三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接． （2）利用割补法求解三角形面积即可． （3）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ． (3) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判断与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【详解】 解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】 解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）在平面直角坐标系中，如图所示． （1）画出关于轴对称的； （2）若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，得到对应的．画出，并判断这两个三角形有怎样的位置关系； （3）内有一点，其在中的对应点为在中的对应点为，直接写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求．和关于y轴对称．      （3）．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用轴对称变换的性质作出三角形即可； （3）利用轴对称变换的性质解决问题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘， ∴关于y轴对称得到． (3) 小问详解： 解：由题意． 23．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图， 即为所求， ．      【分析】 本题考查作轴对称图形及作中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，作出顶点关于轴对称的对称点连接起来即可得到答案； （2）根据关于点对称的点：横坐标与纵坐标变为其相反数，作出顶点的对称点连接起来即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，、即为所求；      （2）4      【分析】 （1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 25．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称点的坐标变换规律． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 点关于轴对称， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 26．（25-26学年八上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． （1）画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． （2）点到轴的距离为        ；点的坐标为        ． （3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】（1） 由题意作图可得：      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：根据题意连接可得： ∴． 27．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． （1）在图中作出关于直线m对称的，并写出，点的坐标； （2）线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标； （3）线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标． 【答案】（1） 如图： ，     （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，再根据图形写出点，点的坐标即可； （2）取格点、，则，，，，证明，得出，求出，则，再由轴对称的性质即可得解； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：由图可得，，； (2) 小问详解： 解：如图，取格点、， 则，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D关于直线m对称点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵线段上有一点， ∴点M关于直线m对称点的坐标为． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，若，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，四边形的内角和定理．由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【详解】 解：， ，， ， ． 故选：A． 2．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）2025年8月15日中国（二连浩特）国际经贸投资洽谈会暨展览会在二连浩特市国际会展中心举行，主题是“连接欧亚、聚势未来”．其中一个展厅中有一个等腰三角形模型（示意图如图），它的底角，腰的长为，则边上的高为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 过点A作于点D，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，过点A作于点D， ∵等腰三角形的腰的长为，， ∴， 即边上的高为． 故选：B 4．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由作图方法可得，则由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【分析】 根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝70°，根据旋转变换的性质求出AD＝AC，根据等边对等角可得∠ADC＝∠ACD＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝40°，然后计算即可． 【详解】 解：∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB＝70°， 由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°， ∴∠ADC＝∠ACD＝70°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝40°， 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等边对等角求角度，旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，点M，，，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，先证明，可得，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，需要讨论角是顶角还是底角，分别计算顶角的度数即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的一内角为， ①若角为顶角，则顶角为； ②若角为底角，则另一底角也为，顶角． ∴等腰三角形的顶角为或． 故选：C． 8．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得解． 【详解】 解：，， ， ∵， ， 斜梁增加部分的长为． 故选：C 9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】 解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，中，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】 解：， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键． 12．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．解题时，注意分类讨论． 先确定一个内角为，根据的角是顶角和底角分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其邻补角为， 即等腰三角形有一个内角为， 当为顶角时，则， 当为底角时，符合题意， ∴它的底角度数为或， 故选：D． 13．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】 解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 14．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（   ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】 解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】 题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 15．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（     ） A.  B. 当为的中点时， C. 若，则 D. 当时， 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由三角形的外角性质可判定；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得到和的度数即可判定和；同理可证明，即可判定，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：、∵，，， ∴，故选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， 当为的中点时，， ∵， ∴，即，故选项正确，不合题意； 、若，则， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； 、当时，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 16．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由平行线的性质和角平分线及三角形外角的性质，可得到的度数，从而利用直角三角形的性质求得的长，最后求出三角形面积． 【详解】 解：过点作于点，过点作于点， 是平分线上一点，，，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握角平分线的性质定理是关键． 17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列说法中正确的是（       ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等 ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高 ④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】① 角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，正确 ② 等腰三角形两腰上的高相等，正确 ③ 应为：等腰三角形的底边上的中线也是它的高，故③ 错误； ④ 线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点距离相等，可以构成等腰三角形，正确. 故答案为C 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 18．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在中，，，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 19．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，，点E在线段上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】 解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 20．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选C． 21．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（     ）    ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．证明，再根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质进行推导即可． 【详解】 解：，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故① 正确，符合题意； ∵ ∴，故② 正确，符合题意； ， ， ， 与 互为对顶角， ， ， ，故③ 正确，符合题意； 从题目现有条件无法证出，故④ 错误，不符合题意． 故选：C． 22．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 23．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点，连接．有下列结论：①；②；③点在的平分线上；④平分． 其中正确的结论有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键．先结合是等腰三角形，是等腰三角形，证明，再结合全等三角形的性质得，运用三角形内角和性质进行列式计算，得；再证明，则，结合角平分线的判定，得点在的平分线上；先假设平分，整理得出，则，与大于，相矛盾，故平分是错误的，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， 故① 符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故② 符合题意； 过点O作于点E，于点F，与相交于点H，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 即点在的平分线上； 故③ 符合题意； 假设平分． 则， ∵， 则， ∴， ∵平分， ∴， 则， 故， ∴， 则， ∵， ∴， 则，与大于，相矛盾， 故平分是错误的， 故④ 不符合题意， ∴正确的个数有3个； 故选：B． 24．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（     ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形两底角相等性质的证明，根据三角形边边边判定直接选即可得到答案； 【详解】 解：过线外一点不能作线的垂直平分线，说法错误，故A错误，不符合题意， 作一个角的平分线不一定垂直于角的对边，说法错误，故B错误，不符合题意， 取的中点，连接，可以得到，，，从而得到，即可得到，故C正确， 作一个角的平分线不一定经过角对边的中点，说法错误，故D错误，不符合题意， 故选：C． 25．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】 解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】 解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 27．（25-26学年八上·吉林白山·期中）某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 【答案】（1） 方案① 可行，方案② 不行． 理由：在和中， ， ． ． 方案② 中缺少条件证明， 所以方案① 可行，方案② 不行．     （2） 由（1）及题意可知：当添加或时，结合，根据“等腰三角形的三线合一”可解答； 故答案为：或（答案不唯一）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“”可证，然后问题可求解； （2）根据等腰三角形的性质可进行求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，立柱、要多长？ 【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并应用含30度角的直角三角形的性质；根据30度角所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】 解：立柱、垂直于横梁， ， D是中点， ， ， ，． 29．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】 略 30．（25-26学年八上·北京大兴·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 31．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，，交于点．若，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 由题可得，，根据，得到，，根据外角定理可得，可得，即可得解； 【详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 32．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】 略 33．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，，，是的中点，，连接，则的度数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握等边对等角，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】 解：，， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． （1）求证：； （2）请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵、是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，即可得出； （2）根据，得出，根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：略. 36．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 37．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 【答案】（1） 如图：      （2），，     （3）3      【分析】 本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． (1) 小问详解： 解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： 解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 38．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明： ， ， 又，点是的中点， ， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质可得到，从而可得出结论． (1) 小问详解： 解：， ， 又， ； (2) 小问详解： 解：，点是的中点， ； (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 【答案】（1） 证明：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，，求出的度数，最后利用角的和差求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 40．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）34     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，，可得，再进一步求解即可．        （2）由，，可得，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴，，        ∵， ∴，        ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∴的周长． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴，        ∴． 41．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，等腰中，，于点，于点，与相交于点，连接，以下结论：；；垂直平分，其中正确的结论序号是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，由垂直定义得，然后通过同角的余角相等即可判断；由等腰三角形的判定与性质即可判断；通过垂直平分线的判定即可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分，故正确； 综上可得：正确， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，是的中点，平分． 求证：． 【答案】证明：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴即． 【分析】 先证,再利用等角对等边即可得证． 【详解】 略． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边以及角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． 43．（25-26学年八上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： （1）如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； （2）如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； （3）如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】（1）；；     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ；     （3）．      【分析】 （）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 44．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】 解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知：在中，，． （1）如图1，是的中线．，交于点E，． ①求证： ②连接，求证：； （2）如图2，点M为线段延长线上一点，过点A作，过点M作的垂线交于点P，线段的延长线与线段的延长线交于点N，当，求的长． 【答案】（1） ① 证明：， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ② 证明：∵是的中线， ∴， ∵， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．     （2）      【分析】 （1）① 根据，可推出，证明即可；② 根据全等三角形的性质得到，证明，得到，即可解答． （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． (1) 小问详解： 证明：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图1中的边上找一点，连结，使． （2）在图2中的边上找一点，连结，使． （3）在图3中的边上找一点，连结，使点到和所在直线的距离相等． 【答案】（1） 解：如图1，点D即为所求；     （2） 解：如图2，点E即为所求；     （3） 解：如图3，点F即为所求． 【分析】 本题考查作图-应用与设计作图、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键． （1）利用网格找到线段的中点，即为所求的点D； （2）取格点M，连接，与 交于点E，，则点E即为所求； （3）取格点N，连接，，则为等腰三角形，再利用网格取的中点P，连接，与边交于点F，则点F即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 47．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知一个三角形的三边长分别为： （1）判断三角形的形状，并求它的周长（要求结果化简） （2）求三角形的面积 【答案】（1）等腰三角形，周长为     （2）      【分析】 （1）先化简二次根式，再判断三角形的形状即可； （2）先求解等腰三角形底边上的高，再利用三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴三角形是等腰三角形 三角形的周长； (2) 小问详解： 解：如图，过作于，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】 本题考查的是二次根式的化简，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的运算是解本题的关键． 48．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，平分，交于点，交延长线于点，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得． 【详解】 解：在中，，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 49．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）根据平行结合角平分线得到等腰三角形进行论证即可； （2）根据角平分线结合平行可得，进而得到，最后利用三角形内角和求解即可. (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 50．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）人教版八上探究：在中，，，测量所对的直角边与斜边，你能得出什么结论？通过测量发现：在中，如果，那么直角边等于斜边的一半，即．教材给出了如下证法： 证明：如图1，延长到点，使得，连接． ，， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ． ， ，即． 【类比联想】 （1）数学兴趣小组的同学们经过讨论，找到下面这种添加辅助线的方法，请你帮他们完成证明过程． 证明：如图2，在上取一点，使得，连接． ... 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，，点在边上．当时，探究与的数量关系． 【答案】（1）证明：如图2，在上取一点，使得，连接． ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）证明为等边三角形，得出，，证明，得出，从而得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【详解】 （1）略； （2）；理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC． （1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）． （2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求∠A的度数． 【答案】（1）如图所示： （2）36°. 【详解】 试题分析：（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案． 试题解析：（1） 略 （2）设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠DBA=∠A=x， 在△ABD中 ∠BDC=∠A+∠DBA=2x， 又∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， 在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°． 【点睛】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 52．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图1，且，轴于点B，轴于点D．    （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2中，作交于H．    ∵轴，轴，，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点P为中点；     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）作交于H．证明，可得，即可求解； （3）作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，根据题意可得E、O、F共线，从而得到，进而得到当E、M、N、F共线时，有最小值为，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点的坐标是， ∴， ∴C点的坐标是； 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，    ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、O、F共线， ∴， ∵ ∴当E、M、N、F共线时，有最小值为， ∵，P为中点， ∴，，， ∴， ∴最小值． 53．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】50 【分析】 由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】 解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 54．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上展示的一道题目，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，，D为边的中点，于点，，求的长． 解：如图连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：__________） 又， __________°，__________° 于点E，， ，（直角三角形的两个锐角__________） 在中，，_________， 同理在中，__________，则__________． 【答案】如图，连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：三线合一） 又， ，， 于点E， ， ，（直角三角形的两个锐角互余） 在中，， ， 同理在中，，则． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识．根据已知的过程与等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：略． 55．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　　　　　　． 【答案】40° 【详解】 解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 56．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得出结果． 【详解】 解：连接， ∵，，的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 57．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 【答案】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【分析】 求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】 略 58．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）中，E，F分别是中点，分别过E，F作垂线，交所在直线于G，H点，直线交于D点，． （1）如图1，若G，H重合，求m的值； （2）如图2，，求的大小； （3）如图3，E，F分别是中点， ，，，G点在线段上，H点在延长线上，试探究与m的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）90     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据四边形内角和定理解答即可； （3）设，则，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，，，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵E，F分别是中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：设，则，， ∵E，F分别是中点， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 59．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）已知B，C为直线上两点，点A不在直线上，连，取中点M，点N为线段上一动点，作直线，若点A关于直线的对称点D刚好落在直线上，连，，，则的大小为　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，先求出的度数，再分当点D与点B重合时，当点D在延长线上时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 如图所示，当点D与点B重合时， 由轴对称的性质可得， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时， 由轴对称的性质可得， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 60．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】 解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 61．（25-26学年八上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）135，（3）27 【分析】 （1）证明，再等量代换解答即可； （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 62．（25-26学年八上·北京大兴·期中）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点不在线段上，且满足，则称点为线段的等距点．若点为线段的等距点，且时，称点为线段的远等距点；若点为线段的等距点，且时，称点为线段的近等距点． 已知点的坐标为． （1）如图1，若点的坐标为，则在点，，中，是线段的近等距点的是________； （2）如图2，若点在轴正半轴上，且． ①若点为线段的远等距点，则点的横坐标的取值范围是________； ②若点为线段的等距点，点的坐标为，则的最小值为________（用含的代数式表示）； （3）若点在轴上，当（点与点不重合）时，为线段的等距点，且，则点的纵坐标的取值范围是________． 【答案】（1）和     （2）①或；②     （3）且      【分析】 （1）先画出所需的三角形，再运用勾股定理的逆定理求出为等腰直角三角形，再根据“近等距点”的定义即可得答案； （2）① 以为斜边作等腰直角三角形和，根据“远等距点”的定义即可得到答案；② 点D在线段的垂直平分线上，连接，作点A关于线段的垂直平分线的对称点为，根据对称的性质可得当点D为原点时取最小值，进行求解即可； （3）先求出点的纵坐标最大值和最小值的情况，再讨论点与点不重合的情况即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，作， 由图可知，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵根据题意“时，称点为线段的近等距点”， ∴由图可得，点和是线段的近等距点， 故答案为：和； (2) 小问详解： 解：① 以为斜边作等腰直角三角形和，如下图： ∵“时，称点为线段的远等距点”， 又∵点为线段的远等距点， ∴点的横坐标的取值范围是或， 故答案为：或； ② 如图，点D在线段的垂直平分线上，连接， 作点A关于线段的垂直平分线的对称点为， ∴， ∴当点D为原点时取最小值，且点D为等距点， ∴点和点距离为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点B为时，作，如下图， 此时点的纵坐标可取得最大值， 由图可得，， ∴， 同理可得，当点B为时，点的纵坐标可取得最小值，， 假设当点B为时，如下图， ∵，且， ∴， ∵点与点不重合， ∴， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 63．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知中，，；点是边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 【答案】（1）相等，平行     （2） 解：猜想：，， 证明：延长交于点，        绕点逆时针旋转得到， ，，        ，，，        又，， ，， ，        ， ，        ．      【分析】 本题考查旋转的性质及平行线的判定，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据旋转得到，，，，结合平行线判定即可得到证明； （2）延长交于点，根据旋转得到，，，，从而得到，即可得到证明； (1) 小问详解： 解：相等，平行，理由如下， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：相等，平行； (2) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）； （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，    ∵，， ∴，        在中， ∵，        . ； （3） 【分析】 （1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】 解：（1）；      （2）略 （3）延长至点，使，连接，        ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即        ， ，        ，， ． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 65．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在等腰中，是的高，分别是上一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接CE，当CE⊥AB时，线段的和最小，再运用等面积法求CE的长度即可． 【详解】 如图所示：点B关于AD的对称点是点C， ∴BF＝CF， ∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE， 当CE⊥AB时，线段的长度有最小值， 利用△ABC面积的两种表示方法，得： ， ∵BC＝2BD＝6，AD＝4，AB＝5， ∴， 解得：． 【点睛】 此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 66．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ；由平分结合即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤ 符合题意． 综上，正确的是① ② ③ ⑤ ， 故答案为：① ② ③ ⑤． 67．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 中，A，B两点为格点，C为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每小题画线不能超过3条． （1）在图1中，先画中点E，再画中点F； （2）在图1中，画，使于B，且，连； （3）在图2中，先画中点M，连，再画点N，连，使（只画一个即可）； （4）在图2中，在上画点P，连，使． 【答案】（1） 的中点E， 的中点F，如图所示：      （2） 如图所示：      （3） 如图所示：      （4） 点P如图所示： 【分析】 本题考查了勾股定理与网格，勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征以及矩形的性质，即可连接格点，与的交点即为中点E，根据网格特征，则，即可证明故，则与的交点即为的中点F． （2）根据网格特征以及勾股定理，，故，得，故，即可作答． （3）与（1）同理，证明，得出，即点M是的中点M，再证明，，因为，，所以，即可作答． （4）与（2）同理，得，，即是等腰直角三角形，根据网格特征以及矩形的性质，得出是的中点，运用等腰直角三角形的三线合一，连接并延长交于一点，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了勾股定理与网格，勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 68．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，四边形中，为中点，，． （1）求证：； （2）如图2，若过点作于，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据中点的定义及已知得，推出，再根据三角形外角的性质得，继而得到，即可得证； （2）如图，连接，过点作交的延长线于点，设，推出平分，求出，证明得，证明得，然后结合图形得，通过代换可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴平分， ∵，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即四边形的面积为． 【点睛】 本题考查等边对等角，平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等积变换等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（　　） A. 8 B.  C. 6 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，延长分别交于G、H，易得四边形是平行四边形，是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出即可． 【详解】 解：延长分别交于G、H， 则由，，， 四边形是平行四边形， ∴， 是等边三角形，， 是等边三角形， ∴， 又的周长为18， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了旋转对称图形的性质，熟练掌握等边三角形的旋转对称角的计算方法是解题的关键．先确定等边三角形三边垂直平分线的交点（即中心），再根据旋转对称图形的性质，求出最小旋转角，进而判断符合条件的旋转角度． 【详解】 解：等边三角形三边垂直平分线的交点是其中心，等边三角形的旋转角是， 所以旋转的整数倍时，图形能与原图形重合， 故选：D． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 由点的旋转周期为4知点旋转次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得． 【详解】 解：，将绕原点顺时针旋转，每次旋转， 每4次一个循环，第次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次， 由题意，第1次旋转的位置如图所示：过A作轴于C， ∵是等边三角形，， ∴，则， ∴， 第次旋转结束时，顶点的坐标为． 故选：D.． 4．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是等边三角形是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，则，由，得到，则是等边三角形，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，直线交、于点，连接， ∵点关于、的对称点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 5．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【分析】 本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定．如图，过点P作于G，于H．根据角平分线的性质，可判断是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】 解：如图，过点P作于G，于H，       ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当G向方向移动，H向方向移动，且． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 同理，当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 6．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】 解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 7．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】 由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称－最短路径、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质求解最短路径问题是解题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】 解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，则此时的值最小，       ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴点A的坐标为． 故选：B． 9．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时20海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里 【分析】 本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，理解题意是解决本题的关键。 根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，根据题意得：， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，平分，，，则的长是　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 在等边三角形中，，，由平分可得，，，在中，，则，，在中，，则，即可求解． 【详解】 解：在等边三角形中，，， ∵平分， ∴，，即， 在中，，， 则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 连接EF，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程解决问题即可，当时，方法类似． 【详解】 连接，当时，延长交于，延长交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同法可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． 当时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 12．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，，，是边的中点，连接，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：，，    ， 是中点，，    ，即， ， 是的垂直平分线，    ，    ，    ，    又，    中，则，    是等边三角形；     （2）．      【分析】 本题考查等腰三角形三线合一、垂直平分线性质、等边三角形判定及含直角三角形的性质．解题关键是灵活运用这些几何性质，通过角度计算和线段关系推导来解决问题． （1）利用等腰三角形三线合一得到的性质（垂直、角度），结合是垂直平分线得，再通过角度计算证明三个角即可； （2）利用含直角三角形的性质（对的直角边是斜边的一半），结合垂直平分线和等边三角形的性质来推导的长度． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：是垂直平分线， ，即， 在中，， ， 由（1）知，且是等边三角形， ， 在中，，， ， 又（已知）， ． 13．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，　　　　　　　　　　　度． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识．如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】 解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：30． 14．（25-26学年八上·广东广州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；      （3） 证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 对于（1），利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； 对于（2），在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； 对于（3），延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是　　　　　cm． 【答案】18 【分析】 【详解】 解：根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°， ∴AC=AD=DC=6， ∴ADC的周长是18cm． 故答案为8. 16．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等边中，点，分别在边和边上（均不与端点重合），且． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：是等腰三角形； （3）若是锐角三角形，直接写出度数的取值范围． 【答案】（1） =，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 17．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积是：． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． （1）张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． （2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） （3）“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 【答案】（1）=     （2） 仍然成立，过点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）线段与的数量关系不变， 证明：如图，过点点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质可知，从而得出答案； （2）过点E作，交于点D，得是等边三角形，再利用证明，即可证明结论； （3）由（2）同理可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ，． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等边三角形的性质可得，，即可证得； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，得到，根据含的直角三角形的性质，得到，进而可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及等腰三角形的判定，证得是解题的关键，再逐项判断即可． 【详解】 对于① ，是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行），故① 正确； 对于② ，由① 知， ， ， ， 则是等边三角形，故② 正确； 对于③ ，， ， ， ， 所以点，，三点不可能在同一条直线上，故③ 错误； 对于④ ，， ， 若是等腰三角形，则， ， ， 故存在，当为中点时，是等腰三角形，故④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 21．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）①当的值为__________时，是等边三角形； ②当的值为__________时，为直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， 当，则， 在中，， ， 在与中， ， ．     （2）①；②或4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题与分类讨论思想．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，利用平行线的性质得出，结合，即可证明； （2）①由可得出，进而得出关于的一元一次方程，求解即可得出结论； ②由（1）可知，当为直角三角形，也为直角三角形，分与两种情况考虑，利用直角三角形角的对边等于斜边的一般可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当是等边三角形，且中， ， ，， ， ， 当时，为等边三角形； ②当时， ， 在中，， ， ， ，， ， 解得； 当时， ， ，即， 解得， 综上所述，当或4时，为直角三角形． 22．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形；     （2）或或      【分析】 本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，结合，即可得证； （2）分3种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况， ①，则：，解得； ②，则：，解得； ③，则：，解得； 综上：或或． 23．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）【问题提出】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．在轴上找一点，使得的值最小．补全图形，并求出点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点位置，教学楼在位置，操场在位置，图书馆在的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从过的垂直道路（即），点在上，请求出点的坐标，以便确定道路的终点位置． 【答案】（1）按照题意完成画图，如图所示； ； （2）点D的坐标为． 【分析】 本题考查最短路径-将军饮马以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握“饮马问题”的对称法以及全等三角形的判定方法和利用三角形面积法求解是解题的关键． （1）利用“饮马问题”的对称法，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，之后可利用三角形面积关系来确定点的坐标； （2）过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E，利用全等三角形得出，进一步依据得出，以此得出，即可确定点的坐标． 【详解】 解：（1）设， ∵, , ， ∴,， ， ∵， ∴，解得， ∴； （2）如图，过点A作交延长线于点F，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴点D的坐标为． 24．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，为等边三角形外一点，连接，，．已知，，为的中点，则的最大值为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真理解题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，运用等边三角形的性质，证明，再运用三角形三边关系以及两点之间线段最短，得出当三点共线，则，即，故的最大值为，即可作答． 【详解】 解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴， ∵为的中点， ∴的最大值为， 在，， 当三点共线，则， 即， ∴的最大值为， 故答案为：8 25．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， （1）连接，求证：直线是线段的垂直平分线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，，； ； ； 垂直平分(等腰三角形三线合一）; ∴直线是线段的垂直平分线；     （2） 证明：，， 是等边三角形． ． ， ，， ， 是等边三角形；     （3）      【分析】 （1）通过 SSS 证明三角形全等，结合等腰三角形三线合一证明垂直平分线； （2）先证是等边三角形，再利用平行线的性质得角相等，进而证明三个角均为； （3）利用平行线的性质、等边三角形的性质，结合直角三角形的边角关系求CF的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示， ，， 是的垂直平分线， 即． ，， ． ， ， ， ． 是等边三角形， ， ． 【点睛】 本题考查垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定等知识点，解题中用到的思想有转化思想（将垂直平分线的证明转化为三角形全等与等腰三角形性质）、数形结合思想（结合图形推导角的关系）；方法技巧是利用全等三角形证角相等、利用平行线的性质转移角的度数、利用等边三角形的角特征判定图形形状．解题关键是熟练掌握垂直平分线的判定条件、等边三角形的判定定理，准确推导角与边的关系．易错点是在证明等边三角形时忽略角的推导过程，或在求线段长度时未能准确利用直角三角形的边角关系． 26．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知：点为直线上一定点，点为直线外一定点，，将点关于直线对称，得到点，连接交直线于点．点为直线上一动点（不与点重合），以为边，作等边（，，三点按顺时针方向排列），直线交直线于点． （1）如图1， ①求证：； ②用等式表示，和的数量关系，并证明； （2）若线段长的最小值为2，则线段的长为___________． 【答案】（1） ① 证明如下： 如图，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②或或，证明如下： 如图所示，截取， 由① 得，，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在上方，点下方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在点上方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或；     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，含角的直角三角形，垂线段最短等知识，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）① 连接，根据等边三角形的判定和性质证明，即可得出结论； ② 利用① 中的结论，分三种情况进行讨论，根据含角的直角三角形的性质及线段的和差，即可求解； （2）当取最小值时，,然后根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，由① 知，，当取最小值时，, ∴, 由① 得为等边三角形， ∴, 故答案为：8． 27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）（1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 【答案】（1）① 证明：和都是等边三角形， ，，，        ， 即， 在和中， ， ，        ；    ② 证明：在上取点，使得， ， ， 即， 为等边三角形， ，，    是等边三角形， ，， ， 即，      ， ， ； （2）点和点的位置如图所示： 说明如下： 以为边作等边， 在上任取一点，连接，以为边作等边， 连接，，交点为，由上题的经验， 可得， 所以， 而点在上， 所以当时，根据垂线段最短，可得最短距离， 所以过作于，点即为所求， 连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【分析】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）① 根据证明，再根据全等三角形的性质可得结论； ② 在上取点，使得，证明为等边三角形，得，，再由证明，得，进而可得结论； （2）以为边作等边，根据垂线段最短，可得最短距离，所以过作于，点即为所求，连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）下列图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京隆重举行，天安门广场举行的盛大阅兵仪式引发全球关注．下面是阅兵车牌号中的四个数字，其中是轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我国古代的二十四节气图标诸多呈现对称之美，下列图标是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下列各图中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东广州·期中）下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）“这么近，那么美，周末到河北．”河北文旅宣传口号朗朗上口．下列特殊字体的汉字是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·天津河东·期中）中国传统文化瓷器上的纹饰是中国古代传统文化重要载体之一．下面的瓷器纹饰图案不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  新能源汽车 B.  清洁能源 C.  太阳能发电 D.  可再生资源 13．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，与关于直线对称，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 14．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，为一个长方形信封平面示意图，现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图2，若这个长方形的长为，宽为，则图2中阴影部分的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折，得到．若，，则　　　　　　　度． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下列定理中有逆定理的是（　　） A. 直角都相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等 D. 内错角相等，两直线平行 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（     ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 3．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（       ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等角对等边 5．（25-26学年八上·浙江台州·期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 7．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（       ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 8．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图， 已知，，， 分别以A、B两点为圆心， 大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，作直线与相交于点D，则的周长为（   ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，，按以下步骤操作： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，点， （2）分别以，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， （3）作射线， （4）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别在两侧交于点，， （5）直线交射线于点， （6）过点作的垂线交于点．若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　命题．(填“真”或“假”) 12．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 13．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 15．（25-26学年八上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 16．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 17．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：在内部求作一点P，使，且； （2）连接PC，若，求的大小． 18．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在中，，垂直平分，垂直平分． （1）求的度数； （2）若点是的中点，求证：点是的中点． 20．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 6．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D. 1 8．（25-26学年八上·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，直接写出点、的坐标． 12．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）（1）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．画出并画出关于y轴对称的． （2）有A、B两个小区位于街道m的同侧，现在要在街道建立一个超市，使得超市Q到两个小区的距离相等，请在图中作出点Q的位置． 13．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的图形． （2）求的面积． 15．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，3），点的坐标为（，2），点的坐标为（，1），完成下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）求的面积． 16．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）小明从镜子里看到镜子对面电 子钟的像，如图所示，实际时间是　　　　　　 17．（25-26学年八上·天津河东·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． （3）在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 19．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） （1）画出格点关于直线的对称的； （2）的面积为_______； （3）在上画出点P，使最小． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）在平面直角坐标系中，如图所示． （1）画出关于轴对称的； （2）若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，得到对应的．画出，并判断这两个三角形有怎样的位置关系； （3）内有一点，其在中的对应点为在中的对应点为，直接写出的坐标． 23．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 24．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 25．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 26．（25-26学年八上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． （1）画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． （2）点到轴的距离为        ；点的坐标为        ． （3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 27．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． （1）在图中作出关于直线m对称的，并写出，点的坐标； （2）线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标； （3）线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，若，，则（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）2025年8月15日中国（二连浩特）国际经贸投资洽谈会暨展览会在二连浩特市国际会展中心举行，主题是“连接欧亚、聚势未来”．其中一个展厅中有一个等腰三角形模型（示意图如图），它的底角，腰的长为，则边上的高为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，点M，，，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 8．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，中，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 13．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，，，则（       ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（   ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 15．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（     ） A.  B. 当为的中点时， C. 若，则 D. 当时， 16．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（        ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列说法中正确的是（       ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等 ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高 ④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 18．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，在中，，，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 19．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，，点E在线段上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（     ）    ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点，连接．有下列结论：①；②；③点在的平分线上；④平分． 其中正确的结论有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 24．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（     ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 25．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 27．（25-26学年八上·吉林白山·期中）某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 28．（25-26学年八上·西藏治区日喀则昂仁县·期中）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，立柱、要多长？ 29．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 30．（25-26学年八上·北京大兴·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 31．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在中，，，交于点．若，求的长． 32．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 33．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，，，是的中点，，连接，则的度数是　　　　　． 34．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 35．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． （1）求证：； （2）请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 36．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 37．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 38．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，是等腰三角形，，，点是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 39．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 40．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的度数． 41．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，等腰中，，于点，于点，与相交于点，连接，以下结论：；；垂直平分，其中正确的结论序号是　　　　　　． 42．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，是的中点，平分． 求证：． 43．（25-26学年八上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： （1）如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； （2）如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； （3）如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 44．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知：在中，，． （1）如图1，是的中线．，交于点E，． ①求证： ②连接，求证：； （2）如图2，点M为线段延长线上一点，过点A作，过点M作的垂线交于点P，线段的延长线与线段的延长线交于点N，当，求的长． 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图1中的边上找一点，连结，使． （2）在图2中的边上找一点，连结，使． （3）在图3中的边上找一点，连结，使点到和所在直线的距离相等． 47．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知一个三角形的三边长分别为： （1）判断三角形的形状，并求它的周长（要求结果化简） （2）求三角形的面积 48．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，平分，交于点，交延长线于点，若，，则的长为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 50．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）人教版八上探究：在中，，，测量所对的直角边与斜边，你能得出什么结论？通过测量发现：在中，如果，那么直角边等于斜边的一半，即．教材给出了如下证法： 证明：如图1，延长到点，使得，连接． ，， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ． ， ，即． 【类比联想】 （1）数学兴趣小组的同学们经过讨论，找到下面这种添加辅助线的方法，请你帮他们完成证明过程． 证明：如图2，在上取一点，使得，连接． ... 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，，点在边上．当时，探究与的数量关系． 51．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC． （1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）． （2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求∠A的度数． 52．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图1，且，轴于点B，轴于点D．    （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 53．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上展示的一道题目，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，，D为边的中点，于点，，求的长． 解：如图连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：__________） 又， __________°，__________° 于点E，， ，（直角三角形的两个锐角__________） 在中，，_________， 同理在中，__________，则__________． 55．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　　　　　　． 56．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 58．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）中，E，F分别是中点，分别过E，F作垂线，交所在直线于G，H点，直线交于D点，． （1）如图1，若G，H重合，求m的值； （2）如图2，，求的大小； （3）如图3，E，F分别是中点， ，，，G点在线段上，H点在延长线上，试探究与m的数量关系，并说明理由． 59．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）已知B，C为直线上两点，点A不在直线上，连，取中点M，点N为线段上一动点，作直线，若点A关于直线的对称点D刚好落在直线上，连，，，则的大小为　　　　　　　　　． 60．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是　　　　　　． 61．（25-26学年八上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 62．（25-26学年八上·北京大兴·期中）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点不在线段上，且满足，则称点为线段的等距点．若点为线段的等距点，且时，称点为线段的远等距点；若点为线段的等距点，且时，称点为线段的近等距点． 已知点的坐标为． （1）如图1，若点的坐标为，则在点，，中，是线段的近等距点的是________； （2）如图2，若点在轴正半轴上，且． ①若点为线段的远等距点，则点的横坐标的取值范围是________； ②若点为线段的等距点，点的坐标为，则的最小值为________（用含的代数式表示）； （3）若点在轴上，当（点与点不重合）时，为线段的等距点，且，则点的纵坐标的取值范围是________． 63．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知中，，；点是边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 64．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 65．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在等腰中，是的高，分别是上一动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是　　　　　　． 67．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 中，A，B两点为格点，C为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每小题画线不能超过3条． （1）在图1中，先画中点E，再画中点F； （2）在图1中，画，使于B，且，连； （3）在图2中，先画中点M，连，再画点N，连，使（只画一个即可）； （4）在图2中，在上画点P，连，使． 68．（25-26学年八上·湖北武汉汉阳区·期中）如图1，四边形中，为中点，，． （1）求证：； （2）如图2，若过点作于，，，求四边形的面积． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（　　） A. 8 B.  C. 6 D. 9 2．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 6．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·天津河东·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·内蒙古区乌兰察布·期中）如图，在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时20海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 10．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形中，平分，，，则的长是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为　　　　　　． 12．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，在中，，，是边的中点，连接，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）当时，求的长． 13．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，　　　　　　　　　　　度． 14．（25-26学年八上·广东广州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 15．（25-26学年八上·广东广州·期中）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是　　　　　cm． 16．（25-26学年八上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等边中，点，分别在边和边上（均不与端点重合），且． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：是等腰三角形； （3）若是锐角三角形，直接写出度数的取值范围． 17．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． （1）张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． （2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） （3）“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 19．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 20．（25-26学年八上·北京大兴·期中）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）①当的值为__________时，是等边三角形； ②当的值为__________时，为直角三角形． 22．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 23．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）【问题提出】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．在轴上找一点，使得的值最小．补全图形，并求出点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在校园规划中，校门在坐标原点位置，教学楼在位置，操场在位置，图书馆在的中点位置．为了方便师生通行，要修建一条从过的垂直道路（即），点在上，请求出点的坐标，以便确定道路的终点位置． 24．（25-26学年八上·陕西安康汉滨区·期中）如图，为等边三角形外一点，连接，，．已知，，为的中点，则的最大值为　　　　　． 25．（25-26学年八上·广西南宁隆安县·期中）如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， （1）连接，求证：直线是线段的垂直平分线； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 26．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知：点为直线上一定点，点为直线外一定点，，将点关于直线对称，得到点，连接交直线于点．点为直线上一动点（不与点重合），以为边，作等边（，，三点按顺时针方向排列），直线交直线于点． （1）如图1， ①求证：； ②用等式表示，和的数量关系，并证明； （2）若线段长的最小值为2，则线段的长为___________． 27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）（1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $