第2章 特殊三角形(2.1-2.5) 单元评价四 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元复习，融合文化情境与几何推理，适配初中数学核心素养培养 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|轴对称、等腰三角形周长、三线合一|第1题以汉字文化考查轴对称，体现数学眼光| |填空题|6题/24分|等腰三角形外角、逆命题、等边三角形角度|第12题结合命题与逆命题，强化推理意识| |解答题|8题/72分|作图、等腰三角形性质、几何证明|第24题通过对称探究线段关系，发展创新意识与推理能力|

第2章 特殊三角形(2.1-2.5) 单元评价(四) 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 选择题 1. 汉字是博大精深的文化传承,也是美轮美奂的象形文字,作为中国人,我们感到无比自豪和光荣。下面四个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( ) A. 我 B. 爱 C. 中 D. 国 2. 已知一个等腰三角形的两边长是6 cm和7 cm,则它的周长为 ( ) A. 19 cm B. 20 cm C. 19或20 cm D. 13 cm 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,下列结论中,不一定正确的是 ( ) A. D是BC的中点 B. AD平分∠BAC C. AB=2BD D. ∠B=∠C 4. 如图,点E在等腰三角形ABC的底边上的高AD上,且BE⊥CE,若∠BAC=70°,则∠ABE的度数为 ( ) A. 28° B. 20° C. 15° D. 10° 5. 如图,△ABC的周长为30 cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,若AE=4 cm,则△ABD的周长是 ( ) A. 22 cm B. 20 cm C. 18 cm D. 15 cm 6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为 ( ) A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 7. 如图,点P在∠AOB内,点C,D分别是点P关于OA,OB的对称点。如果△PMN的周长为12,那么CD的长为 ( ) A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动。若∠BDE=78°,则∠CDE的度数为 ( ) A. 60° B. 76° C. 78° D. 84° 9. 如图,已知OA=OB=AB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连结BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是 ( ) A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直 10. 如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连结PQ交AC边于点D,则DE的长为 ( ) A. ⅓ B. ½ C. ⅔ D. 不能确定 填空题 11. 在等腰三角形ABC中,若与∠A相邻的外角是70°,则∠B的度数为________。 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是________________________,这个逆命题是________命题(填“真”或“假”)。 13. 如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,若∠DBC=35°,则∠ADB的度数为________°。 14. 如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于点D,交边AC于点E,若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm,24 cm,则AB=________cm。 15. 如图,△ABC是等边三角形,D为AC边上任意一点(不含两端点),作BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F。连结DE,DF,当AB=2时,△ADE与△CDF的周长之和为________。 16. 如图,∠MBN=30°,在射线BM上截取BA=a,动点P在射线BN上滑动,要使△PAB为等腰三角形,则满足条件的点P共有________个。 解答题 17. (8分)如图,在正方形网格中有一个△ABC。 (1)作△ABC关于直线MN的对称图形(不写作法)。 (2)若网格中每个小正方形的边长为1,求△ABC的面积。 18. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AB上,BE=BD,∠BAC=80°。 (1)求∠BDE的度数。 (2)求∠ADE的度数。 19. (8分)如图,已知∠α和线段a。 (1)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底角为α,作AC的中垂线分别交BC,AC于点D,E(保留作图痕迹,不写作法)。 (2)若∠α=36°,求证:BD=AC。 20. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,点F在AB上,且∠AFE=∠E。 求证:EF⊥BC。 21. (8分)如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连结D,E,F,得到△DEF为等边三角形。求证: (1)△AEF≌△CDE。 (2)△ABC为等边三角形。 22. (10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D分别向AB,AC作垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高。 (1)当D点在BC上什么位置时,DE=DF?并证明。 (2)线段DE,DF,CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明。 23. (10分)(1)如图1,线段OA的一个端点O在直线l上,且与直线l所成的锐角为50°,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画________个。 (2)如图1,如果OA与直线l所成的锐角为60°,以OA为一边画等腰三角形,并使另一个顶点P在直线l上,那么这样的等腰三角形能画________个。 (3)如图2,在△ABC中,∠A=20°,∠B=50°,过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画________条。 (4)如图3,在△ABC中,∠BAC=10°,若存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,试求∠B的度数。 24. (12分)在等边三角形ABC中,D是边BC上一点。作射线AD,点B关于射线AD的对称点为点E。连结CE并延长,交射线AD于点F。 (1)如图1,连结AE,①AE与AC的数量关系是________。②设∠BAF=α,用α表示∠BCF的大小。 (2)如图2,用等式表示线段AF,CF,EF之间的数量关系,并证明。 参 考 答 案 选择题 1. C 2. C 3. C 4. D 5. A 解析:由折叠可知AD=CD,AC=2AE=8 cm。因为△ABC的周长为30 cm,所以AB+BC+AC=30 cm,所以AB+BC=22 cm。所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC=22 cm。故选A。 6. D 7. B 8. B 解析:因为OC=CD=DE,所以∠DOE=∠CDO,∠DCE=∠DEC,因为∠DCE=∠DOE+∠CDO=2∠DOE,所以∠DEC=2∠DOE,所以∠BDE=∠DOE+∠DEO=∠DOE+2∠DOE=3∠DOE=78°,所以∠DOE=26°,所以∠DCE=∠DEC=52°,所以∠CDE=76°。故选B。 9. A 解析:因为OA=OB=AB,所以△OAB是等边三角形,所以∠OAB=∠ABO=∠AOB=60°。①当点C在线段OB上时,如图1,因为△ACD是等边三角形,所以AC=AD,∠CAD=60°,所以∠OAC=∠BAD。在△AOC和△ABD中,OA=BA,∠OAC=∠BAD,AC=AD,所以△AOC≌△ABD(SAS),所以∠ABD=∠AOC=60°,所以∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,所以BD∥OA;②当点C与点B重合时,如图2,因为△OAB,△ABD是等边三角形,所以∠ABD=∠OAB=60°,所以BD∥OA;③当点C在OB的延长线上时,如图3,因为△ACD是等边三角形,所以AC=AD,∠CAD=60°,所以∠OAC=∠BAD。在△AOC和△ABD中,OA=BA,∠OAC=∠BAD,AC=AD,所以△AOC≌△ABD(SAS),所以∠ABD=∠AOC=60°,所以∠DBE=180°−∠ABO−∠ABD=60°=∠AOB,所以BD∥OA。故选A。(第9题答图见答案图:图1、图2、图3) 10. B 填空题 11. 35° 12. 对应角相等的三角形是全等三角形;假 13. 95 14. 16 15. 6 16. 3 解答题 17. (1)略 (2)S△ABC=2.5 18. 解:(1)因为AB=AC,∠BAC=80°,所以∠B=∠C=½(180°−∠BAC)=50°。 因为BD=BE,所以∠BDE=∠BED=½(180°−∠B)=65°。 (2)因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠ADE=∠ADB−∠BDE=25°。 19. (1)解:如图(第19题答图)。 (2)证明:如图,连结AD。因为DE是AC的中垂线,所以AD=CD,所以∠DAC=∠C=36°,所以∠ADB=2∠C=72°。 因为∠B=∠C=36°,所以∠BAC=108°。所以∠BAD=∠BAC−∠DAC=72°。 所以∠BAD=∠BDA。所以AB=BD。因为AB=AC,所以BD=AC。 20. 证明:如图,作∠BAC的平分线AD交BC于点D。因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,所以AD⊥BC。 因为∠BAC是△AEF的一个外角,∠E=∠AFE,所以∠BAC=∠E+∠AFE=2∠E,因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠DAC,所以∠E=∠DAC,所以EF∥AD。因为AD⊥BC,所以EF⊥BC。(第20题答图) 21. 证明:(1)因为BF=AC,AB=AE,所以FA=EC。因为△DEF是等边三角形,所以EF=DE。又因为AE=CD,所以△AEF≌△CDE。 (2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC。因为△DEF是等边三角形,所以∠DEF=60°,因为∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,所以∠BCA=60°。同理可得∠BAC=60°。所以△ABC是等边三角形。 22. 解:(1)当点D在BC的中点时,DE=DF。证明如下:因为D为BC的中点,所以BD=CD,因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠DEB=∠DFC=90°,在△BED和△CFD中,∠B=∠ACB,∠DEB=∠DFC,BD=CD,所以△BED≌△CFD(AAS),所以DE=DF。 (2)DE+DF=CG。证明:如图,连结AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,即½AB·CG=½AB·DE+½AC·DF,因为AB=AC,所以CG=DE+DF。(第22题答图) 23. 解:(1)如图1,①当AO=OP₁;②当AO=AP₂;③当AO=OP₃;④当AP₄=OP₄,这样的等腰三角形能画4个。故答案为4。 (2)以O为圆心,OA为半径画弧,交直线l于两点,故这样的等腰三角形能画2个。故答案为2。 (3)如图2,①当AC=AF;②当BC=BE;③当CB=CG;④当AD=CD;⑤当BH=HC,故过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画5条。故答案为5。 (4)如图3,当AD=CD时,所以∠ACD=∠A=10°,所以∠CDB=20°,所以①当CD=BD时,∠B=∠BCD=80°;②当CD=BC时,∠B=∠CDB=20°;③当BD=BC时,∠B=180°−20°−20°=140°。如图4,当AC=AE,CE=BE时,因为∠A=10°,所以∠ACE=∠AEC=85°,所以∠B=∠BCE=42.5°。如图5,当AC=CF,CF=BF时,因为∠A=10°,所以∠AFC=∠A=10°,所以∠B=5°。综上所述,存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°。(第23题答图) 24. 解:(1)①AE=AC ②因为点B关于射线AD的对称点为点E,所以∠BAF=∠EAF=α,因为△ABC是等边三角形,所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,所以∠EAC=60°−2α,因为AE=AC,所以∠ACE=½[180°−(60°−2α)]=60°+α,所以∠BCF=∠ACE−∠ACB=60°+α−60°=α。 (2)结论:AF=EF+CF。证明:如图,作∠FCG=60°且CG交AD于点G,连结BF。由(1)②知,∠BAF=∠BCF,又因为∠ADB=∠CDF,所以∠ABC=∠AFC=60°,所以△FCG是等边三角形,所以GF=FC=GC,∠GCF=60°。因为△ABC是等边三角形,所以BC=AC,∠ACB=60°,所以∠ACG=∠BCF,在△ACG和△BCF中,AC=BC,∠ACG=∠BCF,CG=CF,所以△ACG≌△BCF(SAS),所以AG=BF。因为点B关于射线AD的对称点为E,所以BF=EF,因为AF−AG=GF,所以AF=EF+CF。(第24题答图) — — 学科网（北京）股份有限公司 $