第2章 特殊三角形(2.6-2.8) 单元评价六 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦初中数学“特殊三角形”单元复习，以直角三角形性质、勾股定理、全等判定为核心，通过基础巩固（如选择1-3题）、能力提升（如填空15-16题）、创新应用（如解答21-24题）的梯度设计，融合《周髀算经》文化素材与景观河测量等实际情境，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|角度比例判断、斜边中线、网格勾股定理|第8题以《周髀算经》考勾股定理证明，体现文化传承| |填空题|6/18|等腰直角三角形、角平分线性质、非负性求边长|第16题分类讨论等腰三角形面积，培养推理意识| |解答题|8/72|折叠问题、实际测量、综合证明|第21题木棍滑动问题考斜边中线与面积最值，发展几何直观；第24题折叠综合题提升创新应用能力|

第2章 特殊三角形(2.6-2.8) 单元评价(六) 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. 已知a,b,c是△ABC的三边.有下列两种说法:①若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形;②若a:b:c=3:4:5,则△ABC是直角三角形.下列判断正确的是 (　　) A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①,②都正确 D.①,②都错误 2. 如图,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AC=16,D是AC的中点,则BD= (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4,则第三边长为 (　　) A.5 B.√7 C.√7或5 D.√5 4. 如图是4×4的正方形网格中的一个阴影正方形,若每个小正方形的边长是1,则该阴影正方形的边长为 (　　) A.√12 B.√9 C.√8 D.√10 5. 一把直尺与含30°角的直角三角尺按如图所示放置,若∠1=38°,则∠2的度数是 (　　) A.82° B.78° C.72° D.68° 6. 在两个直角三角形中:①一锐角和斜边对应相等;②斜边和一直角边对应相等;③有两条边相等;④两个锐角对应相等。能使这两个直角三角形全等的是 (　　) A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 7. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE。若AC=5,BC=3,则BD的长为 (　　) A.2.5 B.1.5 C.2 D.1 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一,在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明,相传是由商高发现,故又称之为“商高定理”。下列四幅图中,不能证明勾股定理的是 (　　) 9. 如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则CE:BC的值是 (　　) A.24/7 B.√7/3 C.7/24 D.1/3 10. 如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,D,E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连结EF,BF。给出下列结论:①△AFB≌△ADC;②AB=DB;③∠ADC=120°;④BE²+CD²=DE²。其中一定正确的是 (　　) A.①④ B.②③ C.①② D.①②③ 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 在△ABC中,若∠C=90°,∠A=∠B,则∠B=______°。 12. 如图,OA=OB,OC=3,BC=1,数轴上点A表示的数是______。 13. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D。若BD=10 cm,BC=8 cm,则点D到直线AB的距离为______。 14. 如图,点D,A,E在直线l上,AB=AC,BD⊥l于点D,CE⊥l于点E,且BD=AE。若BD=3,CE=5,则DE=______。 15. 若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足|a-7|+(b-24)²+|c-b-1|=0,则△ABC的面积为______。 16. 在△ABC中,∠ABC=90°,CA=3,CB=1,D为直线BC上一点,且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形,则此等腰三角形的面积为______。 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. (8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若BD=6,求BC和AC的长。 18. (8分)如图,在某一景观河的一侧有一最佳观景点C,河边有两个入口A,B,通过道路AC,BC可前往观景点C,BC=AB。因景区改造,需要关闭通道AC,为了方便游客观景,分散人流,决定新修道路CH(点H在河边,A,H,B在同一直线上)。经测量,BC=250 m,HC=240 m,BH=70 m。 (1)判断CH是否为从观景点C到河边的最近道路,并说明理由。 (2)求原道路AC的长度。 19. (8分)(1)已知等腰三角形的底角是顶角的2倍,求这个三角形各个内角的度数。 (2)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=9,AB=15,求AC的长。 20. (8分)如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BC=CD。 (1)求证:△BCE≌△DCF。 (2)若AB=15,AD=7,BC=5,求CE的长。 21. (8分)如图,一根长2a的木棍AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上。设木棍的中点为P。如果木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑动。 (1)请判断木棍滑动过程中,点P到点O的距离是否变化,并说明理由。 (2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值。 22. (10分)如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路: [如图,作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD的长 → 根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积] (1)请你按照他们的解题思路完成解答过程。 (2)填空:在△DEF中,若DE=15,EF=13,DF=4,则△DEF的面积是______。 23. (10分)已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC。 (1)如图1,若点O在BC上,求证:△ABC是等腰三角形。 (2)如图2,若点O在△ABC内部,求证:AB=AC。 24. (12分)在△ABC中,E是AB中点,F是AC上一动点,连结EF,将△AEF沿直线EF折叠得△DEF。 (1)如图1,若点D恰好落在线段BC上,求证:F为线段AC的中点。 (2)如图2,若△ABC为等边三角形,且边长为4,当点D落在线段CE上时,求AF的长度。 (3)如图3,若△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,AC=8。连结AD,BD,CD,若△ACD与△BDC面积相等,且CD=4,求△ABC的面积。 参 考 答 案 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. B 2. D 3. A 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 解析:由折叠性质可知,AE=BE。设CE为x,则BE=8-x。 在Rt△BCE中,6²+x²=(8-x)²,解得x=7/4。 故CE/BC=(7/4)/6=7/24。 10. A 解析:因为∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,所以∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD,即∠CAD=∠BAF,∠ABC=∠C=45°。在△AFB和△ADC中,因为AB=AC,∠BAF=∠CAD,AF=AD,所以△AFB≌△ADC(SAS),①正确; 因为∠BDA=∠C+∠CAD=45°+∠CAD,∠BAD=∠DAE+∠BAE=45°+∠BAE,∠BAE与∠CAD不一定相等,所以不一定能得出AB=DB,②错误; ∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+45°+∠BAE=90°+∠BAE,∠BAE的度数无法确定,③错误; 因为△AFB≌△ADC,所以∠ABF=∠C=45°,BF=CD。又因为∠ABC=45°,所以∠EBF=∠ABC+∠ABF=90°。因为∠DAF=90°,∠DAE=45°,所以∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°。在△AED和△AEF中,因为AD=AF,∠DAE=∠FAE=45°,AE=AE,所以△AED≌△AEF(SAS),所以DE=FE。 在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE²+BF²=FE²,又因为BF=CD,FE=DE,所以BE²+CD²=BE²+BF²=FE²=DE²,④正确。 综上所述,一定正确的是①④。 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 45 12. -√10 13. 6 cm 14. 8 15. 84 16. √8或4或(9√8)/4或(3√8)/2 解析:在△ABC中,∠ABC=90°,CA=3,CB=1,所以AB=√(AC²-BC²)=√(3²-1²)=√8。 ①当AC=AD时,△ACD为等腰三角形,如图1,因为AD=AC,AB=AB,∠ABD=∠ABC=90°,所以Rt△ABD≌Rt△ABC(HL),所以BD=BC=1,所以S△ACD=½×CD×AB=½×2×√8=√8。 ②当BA=BD时,△ABD为等腰三角形,(ⅰ)当点D在射线BC上时,如图2,因为BA=BD=√8,所以S△ABD=½×BD×AB=½×√8×√8=4;(ⅱ)当点D在射线CB上时,如图3,同理由可求得S△ABD=4。 ③当DA=DC时,△ACD为等腰三角形,如图4,作DE⊥AC于点E,设BD=x,因为DA=DC,所以DA=DC=x+1,因为∠ABD=∠ABC=90°,所以BD²+AB²=AD²,即x²+(√8)²=(x+1)²,解得x=7/2,即BD=7/2,所以S△ACD=½×CD×AB=½×(7/2+1)×√8=(9√8)/4。 ④当AC=CD时,△ACD为等腰三角形,(ⅰ)当点D在射线CB上时,如图5,S△ADC=½DC·AB=½×3×√8=(3√8)/2;(ⅱ)当点D在射线BC上时,如图6,同理由可求得S△ACD=(3√8)/2。 综上,此等腰三角形的面积为√8或4或(9√8)/4或(3√8)/2。 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. 解:因为∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,所以∠DBA=∠CBD=30°,∠A=90°-∠ABC=90°-60°=30°,所以∠A=∠DBA,所以AD=BD=6, 因为在Rt△BCD中,BD=6,所以CD=½BD=½×6=3,所以BC=√(BD²-CD²)=√27,AC=AD+CD=9。 18. 解:(1)是,理由如下: 因为CB=250 m,CH=240 m,HB=70 m,所以CB²=250²=240²+70²=CH²+HB²,所以∠CHB=90°,即CH⊥AB,所以CH是从观景点C到河边的最近道路。 (2)因为BC=AB=250 m,HB=70 m,所以AH=AB-BH=250-70=180(m), 因为CH⊥AB,即∠CHA=90°,所以CH²+AH²=AC²,所以AC=√(180²+240²)=300(m), 所以原道路AC的长为300 m。 19. 解:(1)设顶角为x度,则底角为2x度,则x+2x+2x=180,解得x=36,所以这个三角形三个内角的度数分别为36°,72°,72°。 (2)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=9,AB=15,所以AC=√(AB²-BC²)=12。 20. (1)证明:因为AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,所以∠CFD=∠CEB=90°,CE=CF。 在Rt△BCE和Rt△DCF中,{CE=CF,BC=DC,所以Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)。 (2)解:同(1)易知Rt△ACF≌Rt△ACE,所以AF=AE,因为△BCE≌△DCF,所以DF=BE。 所以AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+EB=AD+2DF。 因为AB=15,AD=7,所以2DF=AB-AD=8,所以DF=EB=4,在Rt△BCE中,CE=√(BC²-BE²)=√(5²-4²)=3。 所以CE=3。 21. 解:(1)不变。理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边AB长度不变,所以斜边上的中线长度不变,即点P到点O的距离不变。 (2)如图,连结OP,作AB边上的高h,当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,即△AOB为等腰三角形时,面积最大。 理由为:如图,若h与OP不相等,则总有h<OP,故根据三角形的面积公式,可知当h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时,S△AOB=½AB·h=½×2a·a=a²。 所以△AOB的最大面积为a²。 22. (1)解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得AD²=AB²-BD²=15²-x²,AD²=AC²-CD²=13²-(14-x)²,故15²-x²=13²-(14-x)²,解得x=9,所以AD=12,所以S△ABC=½BC·AD=½×14×12=84。 (2)24 23. 证明:(1)如图1,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则∠OEB=∠OFC=90°。因为点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,所以OE=OF,在Rt△OBE和Rt△OCF中,{OB=OC,OE=OF,所以Rt△OBE≌Rt△OCF(HL),所以∠ABC=∠ACB,所以△ABC为等腰三角形。 (2)如图2,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则∠OEB=∠OFC=90°,因为点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,所以OE=OF,在Rt△OEB和Rt△OFC中,{OB=OC,OE=OF,所以Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),所以∠ABO=∠ACO,因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB,所以∠ABC=∠ACB,所以AB=AC。 24. (1)证明:如图1,连结AD,因为E为AB的中点,折叠△AEF得△DEF,所以AE=DE=BE,AF=DF, 所以△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°,所以∠ADC=90°,所以∠CDF+∠ADF=90°,∠C+∠CAD=90°。 因为AF=DF,所以∠CAD=∠ADF,所以∠CDF=∠C,所以CF=DF,所以AF=CF,所以F是AC的中点。 (2)解:如图2,连结AD,因为△ABC为等边三角形,E为AB的中点,所以∠CAB=60°,∠ACE=30°,CE⊥AB,所以∠AED=90°。 又因为折叠△AEF得△DEF,所以AE=DE,AF=DF,所以∠EAD=45°,∠DAF=∠FDA。 因为∠DAF=∠CAB-∠EAD,所以∠DAF=15°,所以∠CFD=2∠DAF=30°,所以∠CFD=∠ACE,所以DF=CD,所以AF=CD。 又因为等边三角形ABC边长为4,所以CE=√(AC²-AE²)=√12,DE=2,所以AF=CD=√12-2。 (3)解:如图3,延长CD交AB于点E′,过点A,B分别作CD延长线的垂线,垂足分别为N,M,所以∠ANM=∠BMN=90°, 所以AN∥BM,所以∠NAB=∠MBA,因为△ACD与△BDC面积相等,所以AN=BM,所以△ANE′≌△BME′,所以AE′=BE′。 因为E是AB的中点,所以点E′与E重合,即E,D,C三点共线。 因为折叠△AEF得△DEF,所以∠EDF=∠BAC=90°,AF=DF,AE=DE,所以∠FDC=90°,所以DF²+CD²=FC²。 因为AC=8,CD=4,所以DF²+4²=(8-DF)²,所以AF=DF=3。又因为AE²+AC²=CE²,所以AE²+8²=(AE+4)²,所以AE=6,所以AB=2AE=12,所以S△ABC=½AB·AC=48。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $