福建省龙岩某校2026-2027学年高二上学期第四次周考数学试题

**基本信息** 以数列、直线与圆为核心，融入阿氏圆、毕达哥拉斯学派等文化情境，注重数学思维与应用能力考查的高二周测试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列第n项、直线平行充要条件、圆的位置关系等|第6题阿氏圆结合轨迹问题，体现文化传承与空间观念| |多选题|3/18|直线斜率、动直线交点、三角形数与正方形数|第11题融合数学史，考查数列递推与求和，发展创新意识| |填空题|3/15|直线斜率计算、圆的方程、数列恒成立|第14题数列恒成立问题，培养逻辑推理与数学思维| |解答题|3/43|直线过定点、三角形顶点与面积、等差等比综合|第17题等差等比数列综合，考查抽象能力与符号意识，适配周测巩固需求|

龙岩一中2028届高二上学期第四次周考 数 学 试 题 （考试时间：90分钟 总分：116分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知数列，则该数列的第99项为     A. B. 197 C. D. 199 2.“”是“直线与直线平行”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知圆，则原点O在    A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 圆上或圆外 4.已知点P在直线上运动，点，，则的最大值为    A. B. 2 C. D. 1 5.直线l过点，且，到l的距离相等，则直线l的方程是      A. B. C. 或 D. 或 6.阿波罗尼斯约公元前公元前190年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，面积的最大值是    A. B. C. D. 7.已知，，直线：，：，且，则的最小值为     A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8.使直线，，不能围成三角形的m的值有  A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9.已知直线，R，则下列说法正确的是(    ) A. 直线l的斜率可以等于0 B. 直线l的斜率有可能不存在 C. 直线l可能过点 D. 直线l在两坐标轴上的截距可能相等 10.已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点与A，B不重合，则下列说法正确的是    A. 点P为定点 B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是      A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. 若，则数列的前100项和为 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线l的方程为，若直线l的斜率为1，则m的值为          . 13.过点，，且圆心在直线l：上的圆的方程为          . 14.在数列中，，，若对所有恒成立，则的取值范围为          . 四、解答题（本题共3小题，共43分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.本小题13分 已知直线， 求l恒过的定点的坐标; 若l经过第一、二、三象限，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 已知的顶点，边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为 求顶点 B，C的坐标; 求的面积. 17.本小题15分 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，， 求数列与的通项公式及 记落在区间之内的项的个数为，，求，及数列的通项公式. 龙岩一中2028届高二上学期第四次周考数学参考答案 1-8. B C B A  D D C  D  9.【答案】BD   10.【答案】BD 11.【答案】BCD  10.【解析】联立，方程，由得 显然点P随m的变化而变动． 由，得 因为，所以由得 由，得 因为，所以由可得，所以 由直线：和直线：，知， 所以，所以，所以，为定值． ，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为 因为，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为 11.【答案】BCD  【解析】解：三角形数构成数列：1，3，6，10，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立； 正方形数构成数列：1，4，9，16，…， 则有， 利用累加法，得，得到，时也成立， 对于A，，故A错误； 对于B，令，解得；令，解得；故B正确； 对于C，当n为偶数时：设， 则 ， 代入可得数列的前100项和为，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 12.【答案】 13.【答案】   14.【答案】  14.【解析】因为，， 所以当时，有， 两式相减可得，即当时，， 当时，，又，则，故也符合该递推关系， 所以当时，，而也满足该式，故，由于， 令，由于， 当时，，当时，，是递增数列， 当时，， 是递减数列，所以， 故数列的最大项为，即 15.【答案】解：整理直线l的方程，得， 所以直线l过直线与的交点， 联立方程组 解得所以直线l恒过的定点的坐标为 ------------5分 当时，直线l的方程为，经过二、三象限，不符合题意; ------------7分 当时，， 因为l经过第一、二、三象限，所以即 ------------11分 解得或， 综上所述，当直线l经过第一、二、三象限时，a的取值范围是  ------------13分 16.【答案】解：设， 因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为， 所以解得即B的坐标为 ------------4分 设， 因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为， 所以解得即C的坐标为 ------------8分 因为，，所以 因为边AB所在直线的方程为，即， 所以点到边AB的距离为，即边AB上的高为， 故的面积为  ------------15分 17.【答案】设，，，，由已知得，，所以，所以，，所以， ------------2分 ，所以又因为，，所以，所以， ------------4分 所以，， ------------6分 所以 ------------8分 因为，，，所以 因为，所以即为， 所以 ------------10分 因为，所以即为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为 -----------15分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $