福建龙岩市某校2026-2027学年高二上学期数学周末作业(9.5)

**基本信息** 聚焦数列核心素养，融合数学史（费马数）与现实应用（企业技术改造）的高二周测卷，注重基础巩固与能力提升 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比数列、通项公式、前n项和|第8题结合费马数历史，考查不等式恒成立| |多选题|3/18|中国剩余定理、数学归纳法|第9题以“孙子定理”为背景，构建等差数列应用| |填空题|3/15|等差数列性质、实际应用|第14题观测仪使用天数，体现优化思想| |解答题|5/77|数列证明、错位相减、裂项求和|第19题企业利润对比，强化模型意识与运算能力|

2028届高一数学校本作业三：周末作业 2028届高二上学期数学周末作业2026.9.5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等差数列的前项和为，若公差，，则(    ) A. B. C. D. 2.数列的通项，则数列中的最大项是(    ) A. B. C. D. ． 3.无穷等比数列的各项和为，若数列满足，则数列的各项和为(    ) A. B. C. D. ． 4.已知数列的前项和为，且满足，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知数列满足，则的前项和． A. B. C. D. 6.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 8.形如的数被称为费马数，费马完成了，，，，的验证后，于年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明直到年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则(    ) A. B. C. D. 数列共有项 10.已知数列的前项和为，，，则(    ) A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 11.用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是(    ) A. 使不等式成立的第一个正整数 B. 使不等式成立的第一个正整数 C. 由推导时，不等式的左边增加的式子是 D. 由推导时，不等式的左边增加的式子是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设等差数列的前项和为，若，，，且，则的值为          ． 13.已知等差数列的前项和为，若，则以下结论中正确的是          填序号． 14.某气象学院用万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第天的维修保养费为元使用它直至报废最合算所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少为止，一共使用了          天 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足． 求证：数列为等差数列 求数列的通项公式． 16.本小题分 已知数列的前项和． 求数列的通项公式 设，求数列的前项和． 17.本小题分 已知数列的首项，，且． 求证：是等比数列，并求出的通项公式 求数列的前项和． 18.本小题分 已知数列满足． 求数列的通项公式； 设数列的前项和为，证明：． 19.本小题分   某企业去年的纯利润为万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降若不进行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少万元今年年初该企业一次性投入万元资金进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年今年为第一年的利润为万元为正整数． 设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造的累计纯利润为万元扣除技术改造资金，求，的表达式 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】令， 运用基本不等式得，当且仅当时等号成立． 因为，所以，由于且，不难发现当或时，最大故选C． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】因为， 所以当时，， 整理得， 所以， 又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以． 当时，，则， 当时，， 所以， 综上可得，． 因为对任意，恒成立， 所以， 故实数的取值范围是故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 直接利用数列的递推关系式，求出数列的和． 【解答】 解：数列满足，所以． 当时，． 当时， 当时， 当时， 当时， 则的前项和． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：在等差数列中，． 在等比数列中， ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：第一个正方形的边长为，面积，  取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边长的由勾股定理计算可得， 因此第二个正方形的面积， 同理，第三个正方形的面积， 以此类推，各正方形面积构成首项，公比的等比数列，  前个正方形的面积和为等比数列前项和，根据等比数列求和公式 ． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列与不等式，裂项相消法求和，不等式恒成立问题，属于中档题． 由题知，，进而根据裂项求和得，进而根据不等式恒成立即可得答案． 【解答】 解：因为，， 所以， 所以， 所以 ， 因为，，所以， 所以，对任意，使不等式恒成立，则， 所以，实数的取值范围是． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，属于基础题． 由题意得现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，则它们构成首项为，末项为，公差为的等差数列，由此即可逐一判断每一个选项． 【解答】 解：到这个数中能被除余的数有：，，，， 到这个数中能被除余的数有：，，， 由题意现将到这个数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，末项为，公差为的等差数列， 所以， 数列共有项，故D正确； 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】当时，可得 当时，可得 即使不等式成立的第一个正整数，故A错误，B正确 当时，左边， 当时，左边， 得， 所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】证明：当时，有，即，所以舍去． 当时，有，又， 所以两式相减得，即，即， 因此或． 若，则． 而，所以，这与数列的各项均为正数矛盾， 所以，即，因此数列为等差数列 由知，数列的公差，所以数列的通项公式为．   【解析】略 16.【答案】当时， 当时，． 也满足，故数列的通项公式为 由知，故 记数列的前项和为，则． 记，， 则，． 故数列的前项和．   【解析】略 17.【答案】记，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． 所以，即． 所以数列的通项公式为 由知，，即． 所以数列的前项和．   【解析】略 18.【答案】解：， 当时，，解得． 当时，， 由，得，得． 因为符合上式， ，， 数列的通项公式为，； 证明：． ， ， ．  【解析】本题主要考查的是数列的递推关系，数列的求和，裂项相消求和，不等式的性质的有关知识，属于中档题． 运用数列的递推式，分和可得所求； 运用数列的裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证． 19.【答案】解：依题意， ． ． 令，易知数列为递增数列， 当且时， 当且时，， 当时，． 即至少经过年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润．  【解析】本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于较难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $