专题 3.20 图形的相似基础知识专项突破讲与练：母子模型【基础・综合・探究】2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的相似：母子模型”核心知识点，系统梳理共角相似模型的定义、AA判定依据、核心等积式结论，以及等角推导途径、解题方法、识别技巧和高频易错点等基础支架，通过基础题型（识别证明）、综合题型（嵌套多边形）、探究题型（模型迁移与动态问题）逐步递进，构建从概念理解到应用拓展的学习脉络。 该资料以分层设计与素养培养为特色，通过图形剥离法帮助学生培养几何直观（数学眼光），借助AA判定推理和等积式推导强化逻辑思维（数学思维），结合例题变式提升模型应用意识（数学语言）。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过典型题巩固知识，有效查漏补缺。

专题 3.20 图形的相似：母子模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 1. 模型核心定义与依据 1 2. 标准模型条件与核心结论 1 3. 等角条件常用推导途径 2 4. 核心解题方法 2 5. 模型快速识别技巧 2 6. 高频易错点 2 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】母子模型识别、基础证明与简单计算 2 三.题型精析【综合】 4 【题型 2】母子模型嵌套多边形、角度综合题型 4 四.题型精析【探究】 5 【题型 3】模型迁移、折叠动点与规律探究 5 一.知识储备与解读 1. 模型核心定义与依据 母子模型又称共角相似模型，本质是斜A字型相似，无需平行线条件，核心依靠AA两角对应相等判定相似，是推导线段平方等积式的核心模型。模型形态为大三角形嵌套小三角形，两三角形共用一组公共顶角，大小三角形形似母子结构，区别于射影模型，无强制直角、垂直条件。 2. 标准模型条件与核心结论 模型条件：任意△ABC中，∠A为公共顶角，点D在AB上，满足∠ACD=∠B。 相似结论：△ACD∽△ABC（公共角∠A+一组等角∠ACD=∠B，AA判定）。 核心必考等积式：。 核心规律：公共边的平方，等于公共角对侧线段分割出的两条共线线段的乘积。 3. 等角条件常用推导途径 （1）角平分线：通过角平分定义直接构造两组相等角，满足相似判定条件； （2）三角形外角性质：利用外角等于不相邻两内角和，等量代换推导等角； （3）角度互余或互补：同角、等角的余角或补角相等，构造模型所需等角； （4）图形变换性质：折叠、旋转产生对应等角，间接搭建母子模型条件； （5）等腰三角形性质：等边对等角，转化得到模型所需等角关系。 4. 核心解题方法 （1）等积比例互化：看到单线段平方等于两线段乘积的结构，优先判定母子模型； （2）参数方程法：设分割线段、未知边长为未知数，结合等积式列方程求解； （3）等量代换法：多模型嵌套题型，借助中间比、中间等积式传递线段关系； （4）图形剥离法：复杂多边形背景中，剔除干扰线条，提取核心母子相似结构。 5. 模型快速识别技巧 （1）大三角形嵌套小三角形，共用同一个顶角，优先识别母子相似模型； （2）题干出现线段平方乘积等式，无直角、无垂直条件，直接锁定母子模型； （3）题干含角平分线、折叠、外角推导等条件，大概率可构造母子相似； （4）区分核心模型：射影模型必有直角与高线，母子模型无直角限制，适用范围更广。 6. 高频易错点 （1）相似顶点顺序错乱，公共角未对应匹配，导致等积式、比例式书写错误； （2）模型混淆：误将母子模型等同于射影模型，忽略母子模型无直角的核心特征； （3）等积式匹配错误：无法准确区分公共边与分割线段，写错平方乘积关系； （4）判定误区：误用SSA判定相似，母子模型必须严格依靠AA两角相等证明。 二.题型精析【基础】 【题型 1】母子模型识别、基础证明与简单计算 解题思路：题型图形标准、条件直观，直接呈现母子嵌套结构，多搭配角平分线、基础角度条件。首先观察图形，锁定两三角形的公共顶角；结合题干已知条件，通过角度推导补齐第二组等角；利用AA定理证明母子型三角形相似；将相似比例式转化为核心等积式，代入已知线段长度；设未知数列方程，求解线段长度，完成基础几何证明与简单数值计算。 【例题1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，平分是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． （1）求证：；（2）若，，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 三.题型精析【综合】 【题型 2】母子模型嵌套多边形、角度综合题型 解题思路：题型无独立标准母子图形，模型嵌套在平行四边形、正方形、菱形等多边形中，常结合角平分线、等腰三角形、线段求值考点。解题时先剥离多余干扰线条，从复杂图形中挖掘隐藏的母子相似结构；依托多边形性质、三角形外角、角度等量代换，推导两组等角完成相似证明；题目常存在多组相似关系，利用中间比、中间等积式完成线段等量代换；联立勾股定理、线段和差关系建立方程，求解复杂线段长度，全程严格对应相似顶点顺序。 【例题2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． （1）求证：； （2）若，，点D为的中点，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【变式3】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 四.题型精析【探究】 【题型 3】模型迁移、折叠动点与规律探究 解题思路：题型以图形折叠、动点运动、新情境探究、多结论证明为主，遵循“特殊到一般”的探究逻辑，侧重模型迁移应用。先将折叠、动点、图形变换等动态条件，转化为静态边角等量关系；原图无现成母子模型时，通过角度转化、辅助线构造核心母子相似结构；类比基础模型的证明思路，完成变式图形、陌生情境的相似推导；结合方程思想、分类讨论思想，排除不符合几何意义的解；通过特殊情形归纳通用线段规律，完成结论猜想、几何证明与参数求值。 【例题3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． （1）求证：． （2）若，，求正方形的面积． （3）直接写出的值． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，是上一点，．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点，将射线绕点逆时针旋转45°，交于点．求的值； 【联系拓展】 （3）如图3，在菱形中，点边上，，过点作，，，，求的长． 【变式2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长． 【变式3】（2026·广东惠州·二模）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 （1）在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 （3）如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.20 图形的相似：母子模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 1. 模型核心定义与依据 1 2. 标准模型条件与核心结论 1 3. 等角条件常用推导途径 2 4. 核心解题方法 2 5. 模型快速识别技巧 2 6. 高频易错点 2 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】母子模型识别、基础证明与简单计算 2 三.题型精析【综合】 7 【题型 2】母子模型嵌套多边形、角度综合题型 7 四.题型精析【探究】 11 【题型 3】模型迁移、折叠动点与规律探究 12 一.知识储备与解读 1. 模型核心定义与依据 母子模型又称共角相似模型，本质是斜A字型相似，无需平行线条件，核心依靠AA两角对应相等判定相似，是推导线段平方等积式的核心模型。模型形态为大三角形嵌套小三角形，两三角形共用一组公共顶角，大小三角形形似母子结构，区别于射影模型，无强制直角、垂直条件。 2. 标准模型条件与核心结论 模型条件：任意△ABC中，∠A为公共顶角，点D在AB上，满足∠ACD=∠B。 相似结论：△ACD∽△ABC（公共角∠A+一组等角∠ACD=∠B，AA判定）。 核心必考等积式：。 核心规律：公共边的平方，等于公共角对侧线段分割出的两条共线线段的乘积。 3. 等角条件常用推导途径 （1）角平分线：通过角平分定义直接构造两组相等角，满足相似判定条件； （2）三角形外角性质：利用外角等于不相邻两内角和，等量代换推导等角； （3）角度互余/互补：同角、等角的余角或补角相等，构造模型所需等角； （4）图形变换性质：折叠、旋转产生对应等角，间接搭建母子模型条件； （5）等腰三角形性质：等边对等角，转化得到模型所需等角关系。 4. 核心解题方法 （1）等积比例互化：看到单线段平方等于两线段乘积的结构，优先判定母子模型； （2）参数方程法：设分割线段、未知边长为未知数，结合等积式列方程求解； （3）等量代换法：多模型嵌套题型，借助中间比、中间等积式传递线段关系； （4）图形剥离法：复杂多边形背景中，剔除干扰线条，提取核心母子相似结构。 5. 模型快速识别技巧 （1）大三角形嵌套小三角形，共用同一个顶角，优先识别母子相似模型； （2）题干出现线段平方乘积等式，无直角、无垂直条件，直接锁定母子模型； （3）题干含角平分线、折叠、外角推导等条件，大概率可构造母子相似； （4）区分核心模型：射影模型必有直角与高线，母子模型无直角限制，适用范围更广。 6. 高频易错点 （1）相似顶点顺序错乱，公共角未对应匹配，导致等积式、比例式书写错误； （2）模型混淆：误将母子模型等同于射影模型，忽略母子模型无直角的核心特征； （3）等积式匹配错误：无法准确区分公共边与分割线段，写错平方乘积关系； （4）判定误区：误用SSA判定相似，母子模型必须严格依靠AA两角相等证明。 二.题型精析【基础】 【题型 1】母子模型识别、基础证明与简单计算 解题思路：题型图形标准、条件直观，直接呈现母子嵌套结构，多搭配角平分线、基础角度条件。首先观察图形，锁定两三角形的公共顶角；结合题干已知条件，通过角度推导补齐第二组等角；利用AA定理证明母子型三角形相似；将相似比例式转化为核心等积式，代入已知线段长度；设未知数列方程，求解线段长度，完成基础几何证明与简单数值计算。 【例题1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，平分是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义、等量代换、三角形外角的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，易得；再证明可得，即，然后求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由如下： ∵，， ∴． （2） 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 解：（1）略 （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， （2） 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 【变式3】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 【答案】（1）对；对；错；（2）选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； （3）2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． （1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 三.题型精析【综合】 【题型 2】母子模型嵌套多边形、角度综合题型 解题思路：题型无独立标准母子图形，模型嵌套在平行四边形、正方形、菱形等多边形中，常结合角平分线、等腰三角形、线段求值考点。解题时先剥离多余干扰线条，从复杂图形中挖掘隐藏的母子相似结构；依托多边形性质、三角形外角、角度等量代换，推导两组等角完成相似证明；题目常存在多组相似关系，利用中间比、中间等积式完成线段等量代换；联立勾股定理、线段和差关系建立方程，求解复杂线段长度，全程严格对应相似顶点顺序。 【例题2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 解：（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． （1）求证：； （2）若，，点D为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 解：（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 解：略 【变式3】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 解：（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 四.题型精析【探究】 【题型 3】模型迁移、折叠动点与规律探究 解题思路：题型以图形折叠、动点运动、新情境探究、多结论证明为主，遵循“特殊到一般”的探究逻辑，侧重模型迁移应用。先将折叠、动点、图形变换等动态条件，转化为静态边角等量关系；原图无现成母子模型时，通过角度转化、辅助线构造核心母子相似结构；类比基础模型的证明思路，完成变式图形、陌生情境的相似推导；结合方程思想、分类讨论思想，排除不符合几何意义的解；通过特殊情形归纳通用线段规律，完成结论猜想、几何证明与参数求值。 【例题3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． （1）求证：． （2）若，，求正方形的面积． （3）直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； （2） （3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 解：（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，是上一点，．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点，将射线绕点逆时针旋转45°，交于点．求的值； 【联系拓展】 （3）如图3，在菱形中，点边上，，过点作，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）； （3） 【分析】（1）证明，即可得出． （2）设，则，先由平行线截线段成比例得到，求出，，再证明，得到，最后代入求值即可； （3）延长交延长线于点T， 四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，，再证明，由相似三角形的性质，设，则，最后再利用相似三角形的性质以及线段的和差关系求解即可． 解：（1）略 （2）设，则， ，， ∵， ∴， ∴，， 由题可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）延长交延长线于点T， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线截线段成比例等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）连接，得到，，根据勾股定理计算即可． （2）取的中点G，连接，得到，，，继而得到，设，，，，，计算即可． （3）先证明，再证明，得到，再计算即可． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）解：连接，如图， ∵是边的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是边的中点，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，负的舍去． 【变式3】（2026·广东惠州·二模）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 （1）在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 （3）如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例直接计算即可； （2）过作，交于点，由平行可得，则，结合可得，因此； （3）连接交于点，作交于点，由折叠可知，，，，则．由平行可得，，因此．设，则，，容易证明，则，计算得．由，，可得，因此． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接交于点，作交于点， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $