专题 3.15 图形的相似基础知识专项突破讲与练：平行线分线段成比例【基础・综合・探究】 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，系统梳理定理（两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例）及三角形推论（平行于三角形一边的直线截另两边，对应线段成比例），衔接平行线、比例线段基础，为三角形相似学习搭建支架。 资料以基础、综合、探究分层设计题型，基础题直接应用定理求值，综合题通过构造平行线（如A型、8型模型）培养推理能力，探究题从特殊到一般推导规律发展几何直观与模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题 3.15 图形的相似：平行线分线段成比例【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】平行线分线段成比例定理 1 【知识点二】三角形平行线分线段成比例推论 1 二.题型精析【基础】 1 【题型1】直接通过平行线分线段成比例求值 1 三.题型精析【综合】 4 【题型2】通过构造平行线利用平行线分线段成比例求值 4 四.题型精析【探究】 8 【题型3】利用平行线分线段探究求值证明 9 一.知识储备与解读 【知识点一】平行线分线段成比例定理 定理内容：两条直线被一组互相平行的直线所截，截得的对应线段的长度成比例。 若三条及以上直线互相平行，任意两条被截直线与这组平行线相交，所得的对应线段比值相等，核心遵循“对应成比例”原则，线段的位置、上下、长短对应关系必须统一，不可错乱顺序。 【知识点二】三角形平行线分线段成比例推论 推论内容：平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边（或两边的延长线）相交，所截得的对应线段成比例。 该推论是三角形相似、线段比例计算的核心基础，区别于多条平行线的通用定理，专门适用于三角形模型，考场应用频率最高。 二.题型精析【基础】 【题型1】直接通过平行线分线段成比例求值 【解题思路】题干含已知平行线，直接套用定理，找准对应线段，列出比例方程，代入数值求解未知线段长度； 【例题1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，，它们依次交直线于点和点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．根据平行线分线段成比例进行解答即可． 解：， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，直线，交于点O，，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意求出，，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 三.题型精析【综合】 【题型2】通过构造平行线利用平行线分线段成比例求值 【解题思路】题干无现成平行线，通过作辅助平行线，构造A型、8型比例模型，创造成比例线段条件，结合中点、中位线、等腰三角形、勾股定理综合解题； 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 过点作，交于点，可证．同理，可得，，；由，得，于是；设，则，，，从而得到答案． 解：如图，过点作，交于点， 则 设，则， ，解得， 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【答案】8 【分析】过点A作于点H，由，由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理求得，由，得到，则，由D是的中点，得到是的中位线，求得，进一步得到，求得，得到． 解：过点A作于点H， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． （1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与交于点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，三角形的中位线，过点作，构造三角形的中位线是解题的关键．过点作交于，可得为的中位线，可得，设，则，根据根据相似三角形的判定及性质即可求解． 解：如图，过点作交于， ， 是边的中点，即， ∴， 点是的中点， 是的中位线， ， 由，设，则，， ， ∴， ， ， 四.题型精析【探究】 【题型3】利用平行线分线段探究求值证明 【解题思路】从特殊图形、特殊数值推导一般规律，通过多组比例式叠加、相乘、代换，证明恒等比例关系，解决动态探究、模型推导类问题。 【例题3】（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 解：（1）略． （2）略． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 解：（1）略 （2）过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． （1）如图①．证明的几何图为梅氏三角． （2）如图②．证明． 【答案】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． （1）若点D是的中点，且，求的值； （2）若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】（1）；（2）证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． （1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.15 图形的相似：平行线分线段成比例【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】平行线分线段成比例定理 1 【知识点二】三角形平行线分线段成比例推论 1 二.题型精析【基础】 1 【题型1】直接通过平行线分线段成比例求值 1 三.题型精析【综合】 2 【题型2】通过构造平行线利用平行线分线段成比例求值 3 四.题型精析【探究】 4 【题型3】利用平行线分线段探究求值证明 4 一.知识储备与解读 【知识点一】平行线分线段成比例定理 定理内容：两条直线被一组互相平行的直线所截，截得的对应线段的长度成比例。 若三条及以上直线互相平行，任意两条被截直线与这组平行线相交，所得的对应线段比值相等，核心遵循“对应成比例”原则，线段的位置、上下、长短对应关系必须统一，不可错乱顺序。 【知识点二】三角形平行线分线段成比例推论 推论内容：平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边（或两边的延长线）相交，所截得的对应线段成比例。 该推论是三角形相似、线段比例计算的核心基础，区别于多条平行线的通用定理，专门适用于三角形模型，考场应用频率最高。 二.题型精析【基础】 【题型1】直接通过平行线分线段成比例求值 【解题思路】题干含已知平行线，直接套用定理，找准对应线段，列出比例方程，代入数值求解未知线段长度； 【例题1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，，它们依次交直线于点和点，且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，直线，交于点O，，若，，，求的值． 三.题型精析【综合】 【题型2】通过构造平行线利用平行线分线段成比例求值 【解题思路】题干无现成平行线，通过作辅助平行线，构造A型、8型比例模型，创造成比例线段条件，结合中点、中位线、等腰三角形、勾股定理综合解题； 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________；（2）求的长． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与交于点，求的值． 四.题型精析【探究】 【题型3】利用平行线分线段探究求值证明 【解题思路】从特殊图形、特殊数值推导一般规律，通过多组比例式叠加、相乘、代换，证明恒等比例关系，解决动态探究、模型推导类问题。 【例题3】（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． （1）如图①．证明的几何图为梅氏三角． （2）如图②．证明． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． （1）若点D是的中点，且，求的值； （2）若点D是上任意一点，试证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $