专题 3.19 图形的相似：射影模型【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“图形的相似：射影模型”核心知识点，系统梳理直角三角形斜边上高构建的射影模型条件、三对相似直角三角形结论及三大等积公式，形成从基础模型识别计算到综合嵌套四边形中点问题，再到探究模型变式与坐标几何的递进式学习支架。 资料特色为分层设计题型，基础、综合、探究三级递进，例题与变式题源自多地期中期末检测，贴近实战。通过图形识别培养几何直观，相似证明发展推理能力，坐标几何探究强化模型意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题 3.19 图形的相似：射影模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 二.题型精析【基础】 1 【题型 1】射影模型识别与基础计算 1 三.题型精析【综合】 2 【题型 2】射影模型嵌套四边形、中点综合题型 2 四.题型精析【探究】 3 【题型 3】模型变式、动点与坐标几何探究 3 一.知识储备与解读 模型条件：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足。 核心结论：图形内含三对两两相似的直角三角形，即△ACD∽△ABC∽△CBD。 三大必考等积公式： ① 直角边平方：、； ② 斜高平方：； ③ 面积等积：。 二.题型精析【基础】 【题型 1】射影模型识别与基础计算 解题思路：题型为标准基础射影图形，条件直观、模型完整。先根据图形特征判定是标准直角射影或广义斜射影模型；利用公共角、角度互余性质找齐两组等角，通过AA证明三角形相似；结合相似性质推导对应比例式与等积式；联立勾股定理、面积公式，代入已知线段长度，设未知数列方程，求解直角边、斜边、斜高、射影线段长度，完成基础求值与简单证明。 【例题1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， （1）求证：； （2）求的长． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． （1）求证； （2）求的大小． 三.题型精析【综合】 【题型 2】射影模型嵌套四边形、中点综合题型 解题思路：题型无独立标准射影图形，模型嵌套在正方形、矩形、任意四边形中，常结合中点、垂直、边长相等考点。解题时先剥离多余干扰线条，挖掘图形隐藏的直角射影或斜射影结构；依托图形内角性质、垂直关系、中点性质推导等角条件，完成相似证明；多存在两组及以上相似关系，利用中间等积式、中间比完成线段关系代换；联立勾股定理、面积公式建立方程组求解线段；严格遵循大题答题规范，先证相似再推导射影等积结论，杜绝直接套用定理。 【例题2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，为正方形的边的中点是上的一点．，于点，连接，．求证： （1）； （2）； （3） 四.题型精析【探究】 【题型 3】模型变式、动点与坐标几何探究 解题思路：题型以图形变式、动点运动、平面直角坐标系探究为主，侧重模型迁移与规律推导。先将坐标系坐标、动点运动参数，转化为几何线段、垂直、等角条件；原图无完整射影结构时，自主作垂线构造标准射影或广义斜射影模型；类比基础模型的相似证明与公式推导思路，完成变式图形的结论探究；结合动点范围、坐标几何性质，分类讨论不同位置的图形状态，排除无意义解；通过特殊情形推导一般规律，完成线段关系猜想、证明与参数计算。 【例题3】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与探究： 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A坐标为，，，点P是线段上的动点，点P从C点向点B出发，速度为每秒2个单位长度，到达终点B停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． 【问题解决】 （1）求点P的坐标． 【深入探究】 （2）当时，求点P的坐标． 【拓展提升】 （3）在y轴上一点D坐标为，作于点E，连接，是否存在点P，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，在中，，，垂足为D，证明：． （2）如图2，在（1）的条件下，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长（直接写出答案）． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【变式3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 （1）如图①，在中，，，则 ． （2）如图②，若，求证：； 【尝试应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 （4）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.19 图形的相似：射影模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 二.题型精析【基础】 1 【题型 1】射影模型识别与基础计算 1 三.题型精析【综合】 4 【题型 2】射影模型嵌套四边形、中点综合题型 4 四.题型精析【探究】 9 【题型 3】模型变式、动点与坐标几何探究 9 一.知识储备与解读 模型条件：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足。 核心结论：图形内含三对两两相似的直角三角形，即△ACD∽△ABC∽△CBD。 三大必考等积公式： ① 直角边平方：、； ② 斜高平方：； ③ 面积等积：。 二.题型精析【基础】 【题型 1】射影模型识别与基础计算 解题思路：题型为标准基础射影图形，条件直观、模型完整。先根据图形特征判定是标准直角射影或广义斜射影模型；利用公共角、角度互余性质找齐两组等角，通过AA证明三角形相似；结合相似性质推导对应比例式与等积式；联立勾股定理、面积公式，代入已知线段长度，设未知数列方程，求解直角边、斜边、斜高、射影线段长度，完成基础求值与简单证明。 【例题1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ； （2）的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上的高，且． （1）求证； （2）求的大小． 【答案】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即． 解：（1）略； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 三.题型精析【综合】 【题型 2】射影模型嵌套四边形、中点综合题型 解题思路：题型无独立标准射影图形，模型嵌套在正方形、矩形、任意四边形中，常结合中点、垂直、边长相等考点。解题时先剥离多余干扰线条，挖掘图形隐藏的直角射影或斜射影结构；依托图形内角性质、垂直关系、中点性质推导等角条件，完成相似证明；多存在两组及以上相似关系，利用中间等积式、中间比完成线段关系代换；联立勾股定理、面积公式建立方程组求解线段；严格遵循大题答题规范，先证相似再推导射影等积结论，杜绝直接套用定理。 【例题2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：是斜边上的高， ， ∵，． ∴． ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再由，即可求解． 解：（1）略 （2）解：在直角中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ ， ， 又 ∵（公共角）， ； （2）3.6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明三角形相似，再结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度。 （1）通过证明两个三角形有公共角且均为直角，利用“ AA”判定； （2）先由勾股定理求出斜边长度，再结合相似三角形的对应边成比例计算的长。 解：（1）略 （2）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 即， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，为正方形的边的中点是上的一点．，于点，连接，．求证： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）解：设正方形的边长为，即， ∴ ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：由（1）有， ， ， ，即 ， ， ， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）设正方形的边长为，即，证明，结合得到，因此，又，从而，即可得证； （2）由得到，由同角的余角相等得到，因此，根据相似三角形的性质即可证明； （3）由（1）有，则，进而得到，从而，再证，即可得证结论． 解：（1）略 （2）略 （3）略 四.题型精析【探究】 【题型 3】模型变式、动点与坐标几何探究 解题思路：题型以图形变式、动点运动、平面直角坐标系探究为主，侧重模型迁移与规律推导。先将坐标系坐标、动点运动参数，转化为几何线段、垂直、等角条件；原图无完整射影结构时，自主作垂线构造标准射影或广义斜射影模型；类比基础模型的相似证明与公式推导思路，完成变式图形的结论探究；结合动点范围、坐标几何性质，分类讨论不同位置的图形状态，排除无意义解；通过特殊情形推导一般规律，完成线段关系猜想、证明与参数计算。 【例题3】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与探究： 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A坐标为，，，点P是线段上的动点，点P从C点向点B出发，速度为每秒2个单位长度，到达终点B停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． 【问题解决】 （1）求点P的坐标． 【深入探究】 （2）当时，求点P的坐标． 【拓展提升】 （3）在y轴上一点D坐标为，作于点E，连接，是否存在点P，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）存在， 【分析】（1）证明，求得，即可求得点P坐标为； （2）证明，根据等腰三角形的判定可得，由勾股定理列方程，即可求解； （3）先根据勾股定理计算，根据全等三角形的性质和勾股定理可求解． 解：（1）∵点A坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点C坐标为， ∵， ∴点P坐标为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）存在，如图2， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：． 此时，由对称性可得当在负半轴上，， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 综上：存在点P，使平分，此时． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，利用勾股定理解决问题是解本题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，在中，，，垂足为D，证明：． （2）如图2，在（1）的条件下，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长（直接写出答案）． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3） 【分析】（1）由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； （2）同理可证，可得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； （3）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动， 当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于, ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， ， 故当线段的长度取得最小值时，求线段的长为． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂线段最短，勾股定理等；掌握相似三角形的判定及性质，能找出动点的运动轨迹，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行转换及勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究：如图2，若，求证：． （2）尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． （3）创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【答案】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取中点，连接、，设，由等腰三角形与直角三角形的性质可得，，，．容易证明，则，计算得，，进而得到．在中，使用勾股定理构造方程求解出，最后计算出即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点，连接、，设， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵点为的中点， ∴，， 在中，，点为的中点， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 （1）如图①，在中，，，则 ． （2）如图②，若，求证：； 【尝试应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 （4）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】（1）；；（2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $