4.8图形的位似（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“图形的位似”核心知识，涵盖位似多边形定义、性质及坐标系中的坐标变换规律。通过回顾相似多边形、图形变换特征和线段比例问题，结合海报缩放等生活实例，搭建从相似到位似的知识支架，引导学生观察发现位似图形对应点连线共点等特征。 此设计以生活实例培养数学眼光（几何直观），通过任务驱动（如探究k的正负影响）发展数学思维（推理意识），结合坐标作图实践强化数学语言表达（数形结合）。例题与中考真题结合，助学生巩固知识提升应用能力，也为教师提供系统教学资源，高效落实教学目标。

4.8 图形的位似 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.8 图形的位似，内容包括：理解位似多边形的定义及位似中心、相似比的概念，掌握位似图形对应顶点连线过位似中心、对应边平行、相似比等于位似比的性质，熟练运用平面直角坐标系中位似图形的坐标变换规律，能精准画出位似图形. 2.内容解析 本节课是在学生已系统学习了“图形的相似”基础上，专门探讨一种特殊的相似变换——“位似”。教材从生活实例出发，引导学生在观察中发现位似图形的位置规律，进而提炼出严谨的数学定义与核心性质（特别是关于位似中心和位似比的规定）。它不仅要求学生能识别和画出位似图形，更强调用坐标和比例来精确描述这种变换关系，体现了从感性认识到理性建构、再到实践应用的完整认知过程，既是相似知识的延伸与综合运用，也为高中进一步学习其他几何变换奠定基础，具有承上启下的重要作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解位似多边形的定义和核心性质，能在平面直角坐标系中，熟练应用位似图形的坐标变换规律，掌握以指定点为位似中心、按给定相似比画位似图形的方法. 1.教学目标 （1）理解位似多边形的定义及位似中心、相似比的概念，掌握位似图形对应顶点连线过位似中心、对应边平行、相似比等于位似比的性质，熟练运用平面直角坐标系中位似图形的坐标变换规律，能精准画出位似图形. （2）经历观察海报图片、分析相似多边形的位置关系的过程，培养观察、分析和归纳能力；借助类比相似图形的研究方法探究位似性质，提升类比推理与转化能力，通过画图实践和坐标运算，发展数形结合的应用能力. （3）在学习位似的过程中，体会特殊与一般的思想，渗透数形结合思想（坐标刻画位似变换），培养用数学语言表达规律、用数学方法解决问题的严谨思维. 2.目标解析 （1）学生要能独立判定两个多边形是否为位似图形，能结合定义与性质解释位似的核心特征；能根据坐标变换规律快速计算位似图形的顶点坐标，且能以任意位似中心、任意相似比（含正负）画出位似图形； （2）学生需自主从生活或数学图形中识别位似特征，能主动关联相似知识推导位似性质，能灵活运用 “坐标 - 图形” 双向转化解决位似问题； （3）学生要能清晰阐述 “位似与相似的联系与区别”，能自觉用坐标分析或解释位似图形的变换，能以严谨的数学逻辑完成位似的判定、性质应用与作图. 九年级学生已经具备了较强的图形观察能力和一定的逻辑推理能力。他们刚刚系统地学完了“图形的相似”，对于相似多边形的定义、性质以及相似比的概念有清晰的认识。这为本节课学习“位似”这一特殊的相似关系奠定了坚实的知识基础。学生熟悉全等变换（平移、旋转、轴对称），对图形变换有了初步认识，有助于他们从“变换”的视角来理解和接纳“位似变换”. 1. 学生容易将“位似”与一般的“相似”概念混淆，难以深刻理解“对应点连线交于一点”这一核心位置特征是区分二者的关键； 2. 对于位似中心位于图形内部还是外部时，所得到的位似图形位置不同，部分学生可能会感到困惑，尤其是在动手作图时； 3. 当学习到以坐标描述位似变换时，涉及到位似比为负数的情况（即反向位似/中心对称），这对学生的空间想象和抽象思维能力提出了更高的挑战. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：位似图形的判定，当相似比 k 为负数时，位似图形的位置特征及准确画图，同时区分位似与相似的联系与区别. 1.温故知新 本节课将图形的位似，先回答以下问题： (1) 你还记得相似多边形的定义吗？ 答：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. (2) 图形变换的核心特征. ①平移：位置平移，形状大小不变 ②轴对称：关于对称轴对称，形状大小不变 ③旋转：绕点旋转，形状大小不变 (3) 已知线段 AB=6，点 C 将 AB 分为 AC:CB=2:1，求 AC 的长度. 已知线段AB=6，且AC∶CB=2∶1，说明把线段AB总共分成了2+1=3份 先求每份的长度：6÷3=2 再求AC的长度（AC占2份）：2×2=4. 通过以上问题，猜测一下：什么是图形的位似？位似与相似有什么关系？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 这些场景中的图形，形状和大小有什么关系？ 任选一组对应点，连接直线后，你发现了什么特殊位置关系？ 下面，让我们通过本节课的学习，尝试解决以上问题！ (设计意图：通过生活中的直观场景，让学生感知 “形状相同（相似）、对应点连线过同一点（手机镜头中心O）、对应点到该点距离比固定” 的图形特征，为抽象 “位似多边形” 的定义奠定直观认知基础，同时建立位似与相似的逻辑联系（位似是特殊的相似）.) 探究点1　位似图形的概念探究 任务一：生活中的“形状相同” 1.观察上图（宣传海报的缩放图片），思考以下问题： （1）图片①②的形状有什么关系？ 答：可以看出，①与②相似（形状相同，大小不同） （2）在图片①上任取一点A，在图片②上找到其对应点A'，连接AA'，观察直线AA'是否经过镜头中心点O？ 答：是，直线AA'经过镜头中心点O （3）测量并计算的值，多取几组对应点（如B与B'、C与C'）重复操作，你发现比值有什么规律？ 答：（为常数，即比值相等） 任务二：类比迁移：从特殊到一般的几何特征 2. 观察下图（两个相似五边形），已知五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，直线AA'与BB'相交于点O： （1）猜想：直线CC'、DD'、EE'是否也经过点O？（动手画图验证） 答：直线CC'、DD'、EE'都经过点O （2）计算、、的值，它们之间有什么关系？ 答： 任务三：抽象位似图形的本质属性 3. 结合问题1和问题2的发现，尝试用自己的语言描述“位似图形”的共同特征： ① 两个图形形状相同（相似）； ② 所有对应顶点的连线都经过同一点O（位似中心）； ③ 对应顶点到点O的距离之比等于同一个常数k（位似比） 任务四：位似与相似的关系及位似中心的多样性 4.位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？ 答：位似图形是特殊的相似图形，其本质是“具有特殊位置关系的相似图形”； 相似图形仅要求“形状相同、大小成比例”，但对应点连线不一定经过同一点（即位似中心），因此相似不一定位似. 5.结合下图思考：位似中心的位置是否唯一？ 答：位似中心的位置不唯一，其位置取决于两个位似图形的相对位置关系。如图所示： 位似中心可以在两个图形外部；可以在两个图形内部；也可以在其中一个图形的顶点处；但对于给定的两个位似图形，它们的位似中心是唯一的. 6.知识小结 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且OP'=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是相似比. 7. 即时训练 （1）位似图形一定是相似图形.（ √ ） （2）相似图形一定是位似图形.（ × ） （3）两个位似图形的位似中心只有一个.（ √ ） （4）位似比为1的两个图形是全等图形.（ √ ） （设计意图：通过海报缩放、镜头成像等生活实例，唤醒学生对相似图形的认知，同时引导其关注“对应点连线共点”、“距离比值相等”等新特征，为抽象位似概念铺垫直观基础） （教学建议：可结合学生熟悉的实例（如手机拍照缩放、地图比例尺、投影仪成像等），让学生直观感受“位似变换”在生活中的应用，激发探究兴趣） 探究点2　坐标与变换——位似图形的坐标表示 任务一：操作与观察——正数位似比下的坐标变换 情境展示：如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，， 1.将，，三点的横、纵坐标都乘2，得到新顶点，，。在坐标系中画出，判断它与是否位似？若位似，指出位似中心和位似比。 在坐标系中描出，，，连接三点得。 判断：这是位似图形 位似中心：原点 位似比：，，故位似比为 2.若将横、纵坐标都乘，得到的新图形与原图形是否位似？位似比是多少？ 新顶点坐标：，，。 且它们也是位似图形 位似中心：原点 位似比：，位似比为 任务二：拓展与验证——负数位似比下的坐标变换 3. 在探究一中，若将各顶点的横、纵坐标都乘，得到新顶点，，。 （1）画出，观察它与的位置关系（是否关于原点对称？）； 在坐标系中描出，，，连接三点得 由图可知与关于原点对称（对应点横、纵坐标互为相反数） （2）判断与是否位似？位似比是多少？横、纵坐标乘与乘的区别是什么？ 答：与是位似图形；位似中心是原点；位似比是（位似比为绝对值，故为）； 区别：横、纵坐标乘（）时，图形与原图形同向（对应点在原点同侧）； 乘（）时，图形与原图形反向（对应点在原点异侧，关于原点对称）。 任务三：四边形位似变换的坐标与性质分析 4.四边形ABCD顶点坐标为A(4,2)、B(8,6)、C(6,10)、D(-2,6)，请将各顶点横、纵坐标分别乘和，计算新坐标、画图后判断是否位似，确定位似中心和相似比. 答： 坐标乘后：A'(2,1)、B'(4,3)、C'(3,5)、D'(-1,3)； 乘后：A''(-2,-1)、B''(-4,-3)、C''(-3,-5)、D''(1,-3)，将新坐标画图，得到如下图形： 由图可知：两种变换下，新四边形均与原四边形位似，位似中心为坐标原点，位似比均为；区别在于：乘时图形与原图形同向（对应点在原点同侧），乘时图形与原图形反向（对应点在原点异侧，关于原点对称） 5. 知识小结 由以上探究结果可得：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 6.即时训练 （1）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ D ） A．（﹣4，8） B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） （2）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是（﹣4，﹣2）． （设计意图：聚焦平面直角坐标系中位似图形的坐标变换规律这一核心知识，帮助学生明确顶点横纵坐标同乘非零数k时，图形与原图形的位似关系，以及k的符号对图形位置的影响，完成 “几何位似” 到 “代数坐标刻画” 的知识衔接，夯实本节课重难点.） （教学建议：在学生计算坐标、绘制图形时，强调 “坐标计算要精准、画图要用直尺规范连线、标注顶点坐标”，确保图形的准确性，为后续规律归纳提供可靠的直观依据.） 例题导析 例1 已知△ABC，以点O为位似中心画一个△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2. 【分析】严格遵循“位似图形作图”的基本流程——确定位似中心→连接并延长（或反向延长）中心与顶点→按位似比截取对应点→连接对应点，符合位似图形的定义   解：如图，画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；用线段顺次连接D，E，F，D，则△DEF与△ABC位似，相似比为2． 总结：位似图形左图步骤： 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点 例2 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（-3，3）. 以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. 【分析】为了使画出的四边形与原四边形的相似比为2∶3，可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘，或都乘. 如图，有两种画法. 画法一：将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O（0，0），A′（4，0），B′（2，4），C′（-2，2）；在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，用线段顺次连接点O，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形. 画法二：将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O（0，0），A″（-4，0），B″（-2，-4），C″（2，-2）；在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″，用线段顺次连接点O，A″，B″，C″，O，则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形. 1．下列每组的两个图形不是位似多边形的是( B ) 2．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是( A ) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 3．如图，△ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则的长为( B ) A．1 B．2 C．4 D．8 4．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( D ) A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A在x轴上，若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（2，1），则点D的坐标是（ C ） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，2） D．（3，3） 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（6，2）． 7．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝2:3. 8.如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M． （1）写出D点的坐标； （2）在图中画出M点，并求M点的坐标． 【解答】解：（1）过点D作DH⊥OE于点H， ∵△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0）， ∴BC＝3，OE＝6，△AOB∽△DHO， ∴位似比为：3：6＝1：2， ∴OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6， ∴D点的坐标为：（4，6）； （2）连接DA并延长，交x轴于点M，则点M即为△ABC与△DOE的位似中心； 则MO：MH＝1：2， 设MO＝x，则MH＝x+4， ∴x：（x+4）＝1：2， 解得：x＝4， ∴M点的坐标为（﹣4，0 ）． 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：位似图形的概念与性质 1.（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ A ） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【分析】位似图形是特殊的相似图形，相似比等于周长比 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2， 【点评】本题直接考查位似图形与相似图形的关系，难度较低。关键在于明确“位似比即相似比”，且相似图形的周长比等于相似比，无需额外计算，侧重对基础概念的理解 2.（2021秋•瑞安市期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则DE的长为（ A ） A．6 B．8 C．9 D．10 【分析】注意位似比的顺序：△ABC与△DEF的位似比为2:3，即AB:DE=2:3 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3， ∴AB：DE＝2：3． ∵AB＝4， ∴DE＝6． 故选：A． 【点评】本题考查位似比与对应边的关系，易错点在于位似比的顺序（需明确谁与谁的比）。题目未给出图形坐标，仅通过位似比直接计算对应边长度，侧重对位似性质“对应边成比例”的应用 3.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ B ） A．4 B．6 C．9 D．16 【分析】位似图形的周长比等于相似比,△ABC与△DEF的相似比为2:3，即△ABC周长:△DEF周长=2:3 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3． ∴C△ABC：C△DEF＝2：3， ∵△ABC的周长为4， ∴△DEF的周长是6， 故选：B． 【点评】本题与题目2考点一致，但需注意相似比的顺序。通过周长比与相似比的直接关系求解，侧重对比例性质的应用，难度基础，易错点在于比例式的正确列写 4.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为（ A ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3 【分析】位似图形的面积比等于相似比的平方，对应点到位似中心的距离比等于相似比 【解答】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2． ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△BCO∽△B′C′O′． ∴CO：C′O＝BC：B′C′＝1：2． 故选：A． 【点评】本题综合考查面积比与相似比、距离比的关系，关键在于通过面积比求出相似比（面积比开平方），再迁移到对应点距离比用 题型二 位似图形的点坐标 5.（2022•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，3），D（5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ C ） A．（10，7） B．（8，7） C．（10，7.5） D．（8，6） 【分析】以原点为位似中心时，对应点的坐标比等于位似比（需先通过已知对应点A、D求出位似比，再计算E点坐标） 【解答】】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， 而A（2，0），D（5，0）， ∴△ABC与△DEF的位似比为 ∵B（4，3）， ∴E点的坐标是为（4×，3×），即（10，7.5）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标系中位似变换的坐标规律，关键在于通过已知对应点（A与D）准确求出位似比。需注意两点：①位似比的计算；②同向位似（k>0）时坐标直接乘k，无需考虑符号变化 6.（2022•揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ C ） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8） C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8） 【分析】以原点为位似中心时，位似比（含正负）对坐标的影响——缩小需考虑同向（）和反向（）两种情况. 【解答】】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2）， 故选：C． 【点评】本题易错点在于忽略“反向位似”的情况。题目仅说明“缩小”，未指定方向，故需考虑和两种可能，对应点坐标符号可能改变 7.（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0，﹣1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（﹣2，﹣4），则点B的对应点C的坐标为（ A ） A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6） 【分析】非原点为位似中心的坐标变换——利用“位似中心、原点位、对应点共线”及“距离比=位似比”列方程计算坐标.. 【解答】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系， 则点B在新坐标系中的坐标为（﹣2，﹣3）， ∵△ABP与△DCP的位似比为1：2， ∴点C在新坐标系中的坐标为（4，6）， 则点C在原坐标系中的坐标为（4，5）， 故选：A． 【点评】本题难度较高，突破了“原点位似”的常规考法，需通过几何直观（共线）和代数计算（距离比）结合求解，是中考区分度题型 8.（2021•常州模拟）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为（3，﹣1）　． 【分析】原点位似+方向限制（y轴右侧）——缩小且在右侧，需取（反向，使横坐标为正） 【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，E（﹣6，2）， ∴点E的对应点E1的坐标为（6×，﹣2×），即（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1） 【点评】本题结合了“位似比符号”与“位置限制”（y轴右侧），需灵活选择的正负 题型三 判定位似中心 9.（2022•嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（　　） A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4） 【分析】位似中心的定义——位似图形对应点连线的交点.通过找出两组对应点，作连线并求交点坐标即可 【解答】解：连接DB、OA并延长交于点P， 则点P为位似中心， 由平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4，2）， 故选：C． 【点评】本题考查位似中心的确定方法，关键在于准确找到两组对应点并作出连线 10.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D（2，2），点G（0，1），则它们位似中心的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，0） D．（﹣3，0） 【分析】位似中心是对应点连线的交点，通过两点确定直线解析式，求交点坐标即可 【解答】解：∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线GD解析式为y＝kx+b， 将D（2，2），G（0，1），代入， 得：，， 解得，，即y＝x+1， 令y＝0得x＝﹣2， ∴O′坐标是（﹣2，0）； 故选：A． 【点评】本题结合了“位似比符号”与“位置限制”（y轴右侧），需灵活选择的正负 11.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6cm，OF＝2.4cm，求它们的相似比． 【分析】位似图形对应点到位似中心的距离比等于相似比 【解答】解：连接AD，CF交于点O， 则点O即为所求； ∵OC＝3.6cm，OF＝2.4cm， ∴OC：OF＝3：2， ∴△ABC与△DEF的相似比为3：2． 【点评】本题第一问考查位似中心的作图方法（对应点连线交点），第二问考查距离比与相似比的关系。易错点在于相似比的顺序 题型四 画位似图形缩放后的的位似图形 12.已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； （3）写出点A的对应点A1的坐标：　 　． 【分析】非原点为位似中心的位似作图与坐标计算——利用“位似中心为B，放大2倍”即“对应点到B的距离比为2:1” 【解答】解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． 在坐标系中找出连接即可； （2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示： 它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）． （3）利用（2）中图象，直接得出答案． 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题综合考查位似作图与非原点位似中心的坐标变换，关键在于利用向量法或坐标差比例计算对应点位置。放大2倍意味着“新向量=2×原向量”，需注意方向（延长线方向） 13.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为． 【分析】原点为位似中心的位似作图，需考虑同向（k=）和反向（k=-）两种情况 【解答】解：如图所示：△A′B′O即为所求． 【点评】本题考查原点位似的双向性，需注意题目未指定方向，故有两种可能的图形。通过坐标直接乘位似比k（±）即可得对应点，难度基础，但需完整考虑两种情况，体现了对概念全面性的考查 14.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　 　． 【分析】以原点为位似中心、相似比k=2时的位似图形作图及坐标变换规律，需考虑k>0（同向）和k<0（反向）两种情况 【解答】解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作； （2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 【点评】本题（1）考查原点为位似中心的位似作图，需明确相似比k=2时坐标的缩放规律；（2）则从特殊点推广到一般点，归纳坐标变换的通式，体现“从具体到抽象”的数学思想 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 图形的位似 1.位似多边形：需同时满足“相似”和“任意一组对应顶点连线过同一位似中心，且OP' = k OP(k 0)，其中k是相似比（位似比），点O是位似中心 2.位似性质：对应顶点连线过位似中心，对应边平行（或共线），相似比等于位似比 3. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.14第4题. 4.8图形的位似 一、位似的定义与性质 ▶ 定义： 1.相似 2.对应顶点连线过O 3.OP' = k·OP(k≠0) ▶ 性质： 1. 对应顶点连线过O 2. 对应边平行 3. 相似比=位似比 二、坐标系中的位似变换 ▶ 规律： 1. 横、纵坐标同乘k 2. 位似中心：原点 3. 相似比：|k| 4. k>0：同侧 k<0：异侧 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $