专题 1.6 全章复习专题——特殊平行四边形性质与判定综合辨析（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过表格对比系统梳理特殊平行四边形的性质与判定，以“普通四边形→平行四边形升级→矩形菱形升级正方形”的分层逻辑构建知识框架，整合直角三角形斜边中线定理等二级考点，突出性质对比、判定条件辨析等重难点。 讲义亮点在于“题型精析+变式训练”模式，如多结论选择题培养推理意识，折叠综合题结合勾股定理列方程提升空间观念。同步检测分选择、填空、解答题，适配不同层次学生，教师可据此实施精准复习，助力学生掌握综合应用能力。

专题 1.6 全章复习专题——特殊平行四边形性质与判定综合辨（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、学习目标与重难点 1 二.知识梳理解读 2 【知识点一】特殊平行四边形性质对比（核心必考） 2 【知识点二】分层判定逻辑（答题得分关键） 2 【知识点三】全章衍生高频二级考点 3 三.题型精析 3 【题型 1】概念辨析·命题真假判断 3 【题型 2】性质应用——线段、角度计算 5 【题型 3】判定条件补充选择 9 【题型 4】基础证明大题（性质+判定综合证明） 12 【题型 5】多结论选择题（期末高频压轴小题） 15 【题型 6】折叠与特殊平行四边形综合 21 四.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 42 一、学习目标与重难点 1. 系统梳理菱形、矩形、正方形的共性与专属性质，三者概念区别，规避概念混淆易错点； 2. 掌握特殊平行四边形分层判定逻辑，熟记判定定理使用前提，规范几何证明步骤； 3. 熟练运用菱形面积公式、直角三角形斜边中线定理等核心考点解题； 4. 掌握命题辨析、多结论判断、几何证明等高频题型解题方法，各类考试基础及中档题型。 重点：三类特殊平行四边形的性质与判定的区分应用；直角三角形斜边中线定理；菱形对角线面积计算公式。 难点：判定定理的前置条件辨析；无前提命题真假判断；多结论综合题型推理；规范完成几何证明过程。 二.知识梳理解读 【知识点一】特殊平行四边形性质对比（核心必考） 平行四边形、矩形、菱形、正方形层层递进，正方形兼具矩形与菱形所有性质，是最特殊的平行四边形，核心性质对比如下： 图形类型 共有性质（平行四边形通用） 独有性质 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 无专属特殊性质 矩形 具备平行四边形全部性质 四个内角均为90°；对角线相等 菱形 具备平行四边形全部性质 四条边长度相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 正方形 具备平行四边形、矩形、菱形全部性质 对角线垂直且相等；对角线与边夹角为45°；面积可通过对角线平方计算 【考点提示】：考试快速判定口诀：对角线相等优先判定矩形，对角线垂直优先判定菱形，对角线既垂直又相等为正方形。 【知识点二】分层判定逻辑（答题得分关键） 特殊平行四边形判定需遵循从一般到特殊的层级逻辑，禁止跨级直接判定，避免步骤扣分。 1. 普通四边形直接判定 三个内角为直角的四边形 ⇒ 矩形；四条边全部相等的四边形 ⇒ 菱形。 2. 平行四边形升级判定（高频考点） 平行四边形 + 一个直角或对角线相等 ⇒ 矩形；平行四边形 + 一组邻边相等或对角线垂直 ⇒ 菱形。 3. 矩形、菱形升级判定正方形 矩形 + 一组邻边相等 ⇒ 正方形；菱形 + 一个直角 ⇒ 正方形。 【易错提示】无法直接通过普通四边形判定正方形，必须先证图形为矩形或菱形，再补充对应条件。 【知识点三】全章衍生高频二级考点 1. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（选择、填空、证明高频考点）； 2. 菱形面积双公式：、（为对角线长）； 3. 正方形边角关系：对角线长 = 边长。 三.题型精析 【题型 1】概念辨析·命题真假判断 题型特征：选择题，判断命题对或错，挖“缺少前提”陷阱。 解题技巧：判定要看清前提是四边形还是平行四边形；举反例快速排除错误命题。 【例题1】（25-26八年级上·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，即，故C选项正确，不符合题意； ，，， ∴，故D选项正确，不符合题意． 由于矩形的对角线不一定垂直，故B选项不一定正确，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）下列说法正确的是（     ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据平行四边形、特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 解：∵四边形内角和为，四个角相等的四边形每个内角都为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴A正确； 对角线互相平分的四边形才是平行四边形，∴B错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是菱形，∴D错误． 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 【答案】A 【分析】本题根据特殊四边形的从属关系结合定义判断各选项，明确不同四边形的分类即可得到结论． 解：∵菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形， ∴若四边形不是平行四边形，则一定不是菱形、矩形、正方形，因此选项B、C、D都一定正确． ∵梯形是只有一组对边平行的四边形，不属于平行四边形， ∴不是平行四边形的四边形可能是梯形，也可能是其他四边形， 因此“四边形不是梯形”的说法不一定正确． 【题型 2】性质应用——线段、角度计算 题型特征：已知图形是矩形、菱形、正方形，求边长、对角线、角度，常结合勾股定理。 解题技巧：矩形对角线相等且平分，得到等腰三角形；菱形对角线垂直，构造直角三角形勾股计算。 【例题2】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得出的度数及平分，结合和，利用同角的余角相等即可求解． 解： 四边形是菱形，， ，平分，， ，， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 【答案】/厘米 【分析】连接，交于点，设，则，，根据矩形的性质，可得，从而可得点是的中点，进而垂直平分，最后根据垂直平分线的性质，得，则． 解：连接，交于点， 设，则，， 矩形， 和相等且互相平分， ， ，， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 解：（1）略 （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 【题型 3】判定条件补充选择 题型特征：已知一个图形是平行四边形，添加一个条件使之成为矩形/菱形/正方形。 解题技巧：分清要得到什么图形，区分边、角、对角线条件。 【例题3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，相交于点O，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）或（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定： （1）利用证得，进而可得，进而可求证结论； （2）根据菱形的判定定理，增加一个条件即可； 熟练掌握平行四边形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． 添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是菱形． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】D 解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故①填正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，故②填正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③填正确，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，而是矩形的对边相等，无法判定为正方形，故填错误，符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是_____．    【答案】（答案不唯一） 【分析】由矩形的性质知，，，得到，再结合全等三角形的判定方法添加即可． 解：可以添加条件为： 在矩形中，，， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 解：（1）略 （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【题型 4】基础证明大题（性质+判定综合证明） 题型特征：给定图形，先证平行四边形，再证矩形或者菱形。 解题技巧：证明路径：先证平行四边形，再叠加一个判定条件。 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】先推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质，得到，即可证明四边形是正方形． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得，从而可得四边形为菱形，由此逐项分析即可得出结果． 解：由作图可得， ∴四边形为菱形，故B选项正确， ∴，故C选项正确， ∵菱形是特殊的平行四边形， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 由已知条件无法得出，故D选项说法错误． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（    ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是正方形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】先根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合各选项条件，根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可． 解：∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． A选项，若，无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误； B选项，若，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误； C选项，若，则，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确； D选项，若，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 【题型 5】多结论选择题（期末高频压轴小题） 题型特征：给出图形，给出多个结论，选出正确结论序号。 解题技巧：逐个推导；错误结论举反例；注意特殊位置。 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有_______．（写出符合题意的全部序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，还涉及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理分析即可． 解：如图， ①∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； ②∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ③∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ④∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； 故答案为：②③． 【变式1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列个结论：①；②；③，其中一定成立的是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形对边平行且相等，以及等边对等角的性质，得出，可判断①结论；延长交的延长线于点，证明，得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，可判断②结论；过点作交于点，利用等腰三角形三线合一的性质以及等边对等角的性质，得出，可判断③结论． 解：， ，，， ， ，是的中点， ， ， ，①结论正确； 如图，延长交的延长线于点， ， ，， 又， ， ， ，， ， 在中，点是的中点， ，②结论正确； 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，③结论正确． 【变式2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）在正方形中，点、分别是边、上两点，，，且，过点作于点，连接．有下列三个结论：①；②；③，其中正确的是________．（填序号） 【答案】①②③ 解：∵正方形，，， ∴，，， 延长到点，使得， ∵, ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 设，则，, 根据勾股定理，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有______（填上所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】证明和即可判断；由得到即可判断②；当时，求出即可判断③；综合结论②③即可判断； 解：∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理由， ∴， ∴， 由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确； 由知，四边形 是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形，故结论正确； 当时， ， 由知四边形是平行四边形， ∴平行四边形不是矩形，故结论错误； 根据结论②可知，当时，四边形是菱形，当时，四边形不是矩形， ∴四边形不是正方形，故结论错误； 综上分析可知，正确的结论为①②． 故答案为：①②． 【点拨】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法． 【题型 6】折叠与特殊平行四边形综合 题型特征：矩形/菱形折叠，产生相等线段、相等角，结合判定求长度、证明图形形状。 解题技巧：折叠→对应边相等，对应角相等；经常结合勾股定理列方程。 【例题6】（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 现有一张矩形纸片，，． 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接、． 问题解决： （1）求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【答案】（1）3；（2）四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【分析】（1）由折叠和矩形的性质得到，设，则，利用勾股定理求解； （2）由折叠的性质可知，，，，证明，得到，即可证明四边形是菱形． 解：（1）解：由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得 ∴； （2）略 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片，其中，，他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点．则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即线段的长为． 【变式2】（25-26八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得出，，，由线段中点的定义得出点D，E在直线上，，，，则可得出的横坐标为2，由折叠的性质可知：，由勾股定理得出，即可求出点的纵坐标． 解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，，， ∵、分别是边和的中点， ∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上， ∴的横坐标为2， 由折叠的性质可知：， ∴在中 ， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴ 则点的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； （2）求证：； （3）如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）证明：∵四边形是矩形， ， 根据折叠，，， ，， 在和中， ， ， ； （3）①四边形是菱形， 理由：四边形是矩形， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； ② 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由矩形和折叠的性质可得，，再证明，即可得证； （3）①先证明四边形是平行四边形，再结合即可得出四边形是菱形；②利用勾股定理和菱形的性质计算即可得出结果． （1）解：由折叠的性质可得，，； （2）略 （3）解：①略 ②∵四边形是菱形， ，，， ，， ， ． 设，， ． ∴在直角中，， 即， 解得：， 即， 根据勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据菱形和矩形的性质判断即可． 解：选项：菱形四边相等，矩形四边不一定相等； 选项：菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直； 选项：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 选项：菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 解：A、中，不是邻边，不能判定是菱形，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为菱形，故本选项正确； C、中，，判定是矩形，故本选项错误； D、中，，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）下列关于菱形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．菱形的四个角都是90° C．菱形的对角线垂直 D．菱形的面积等于两对角线的乘积 【答案】C 【分析】根据菱形的性质逐项分析即可． 解：A. 菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故该选项错误；     B. 矩形的四个角都是90°，故该选项错误； C. 菱形的对角线垂直，故该选项正确；     D. 菱形的面积等于两对角线的乘积的一半，故该选项错误． 故选：C． 【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是熟记菱形的性质． 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质求得，再利用解直角三角形求得，的长度，进而得出菱形对角线的长度，从而利用菱形面积公式求出结果． 解：如图，设与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先分别求出两个正方形的边长，再利用勾股定理得出的长度． 解：∵两个正方形面积分别是49和25， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为5， ∴构成的直角三角形两直角边长分别为和5， 由勾股定理得． 6．（24-25八年级下·四川·期末）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 7．（2026·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，然后根据正方形的性质和翻折性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求的面积即可． 解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 点是边上的中点， ， 沿直线翻折得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ∵在中，， ∴，解得， ，，， ， ， 的面积的面积， 的面积． 10．（24-25八年级下·广西玉林·阶段检测）如图，菱形的边长为4，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分段求出关于的函数解析式，再根据解析式画出函数图象． 解：①当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， ，即； ②当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ， ，即； ③当，即点在上时， 如下图所示，过点作于点，则，， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ，即； ， 综上所述，， 函数图象如下图所示：． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期末）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平行四边形中，以为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接．若，，则四边形的面积是________． 【答案】120 【分析】由作法可得，平分，即，根据平行四边形的性质可得，有，接着证明，即可得四边形是平行四边形，又，可得四边形是菱形．根据菱形的对角线性质和面积公式即可求得答案． 解：由作法可得，平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ． 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 四边形的面积为． 【点拨】本题考查作图痕迹的判断，平行四边形的性质、菱形的判定和性质、菱形面积公式的综合运用，熟练掌握作图方法和各类性质判定是解决此题的关键． 14．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，则矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】连接，则，设，由矩形的性质可得，，利用勾股定理得到，则，进而可得，解方程求出的值，再根据矩形的面积公式可得答案． 解：如图所示，连接，则， ∵， ∴可设， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 解得或（负数舍去）， ∴， ∴矩形的面积． 15．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，正方形的边长为，是对角线的中点，点在的延长线上，，连接，．若为的中点，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】取中点，连接，先证明是的中位线，利用中位线的性质得出，求出之后即可求出． 解：∵正方形的边长为，是对角线的中点， ∴，， ∴， ∵点在的延长线上，， ∴， 如图所示，取中点，连接， ∴， ∴，即点是中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵在中，， ∴． 16．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，菱形的边长为，将菱形沿射线方向平移得到四边形交于点E，若，则平移的距离为_____． 【答案】 【分析】连接交于O，过点E作于点F，利用菱形的性质和勾股定理，求出，由平移的性质得：，利用等腰三角形三线合一的性质，得出，，进而求出，则，即可得解． 解：如图，连接交于O，过点E作于点F， ∵菱形的边长为， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离为． 17．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得到，根据图形对称的性质得到，，设，根据勾股定理解得，得到，设，同理得到，继而根据勾股定理得到． 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∵在中，， ∴． 18．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； 由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确． 解：证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ∵， ， ， 是的中位线， ，故①正确； 连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·山东济宁·模拟预测）如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状． 【答案】（1）证明：∵是的中位线， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴； （2）四边形是矩形． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形为平行四边形，推出，即可得到四边形是矩形． 解：（1）略 （2）解：四边形是矩形．理由如下： 连接，如图， 由（1）知：，， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 解：（1）略 （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：∴菱形的面积为． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 【答案】（1）如图即为所求作图形： （2） 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 解：（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·重庆南川·期末）数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）∵矩形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）①证明：根据折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 根据（1）可知：， ∴， ∴； ②10 【分析】（1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）①先根据（1）的方法证明，再根据，得出，即可证明结论； ②由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，最后计算的长即可． 解：（1）略 （2）①略 ②∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）10 （3） 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：； （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 全章复习专题——特殊平行四边形性质与判定综合辨（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、学习目标与重难点 1 二.知识梳理解读 2 【知识点一】特殊平行四边形性质对比（核心必考） 2 【知识点二】分层判定逻辑（答题得分关键） 2 【知识点三】全章衍生高频二级考点 3 三.题型精析 3 【题型 1】概念辨析·命题真假判断 3 【题型 2】性质应用——线段、角度计算 4 【题型 3】判定条件补充选择 5 【题型 4】基础证明大题（性质+判定综合证明） 6 【题型 5】多结论选择题（期末高频压轴小题） 7 【题型 6】折叠与特殊平行四边形综合 8 四.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一、学习目标与重难点 1. 系统梳理菱形、矩形、正方形的共性与专属性质，三者概念区别，规避概念混淆易错点； 2. 掌握特殊平行四边形分层判定逻辑，熟记判定定理使用前提，规范几何证明步骤； 3. 熟练运用菱形面积公式、直角三角形斜边中线定理等核心考点解题； 4. 掌握命题辨析、多结论判断、几何证明等高频题型解题方法，各类考试基础及中档题型。 重点：三类特殊平行四边形的性质与判定的区分应用；直角三角形斜边中线定理；菱形对角线面积计算公式。 难点：判定定理的前置条件辨析；无前提命题真假判断；多结论综合题型推理；规范完成几何证明过程。 二.知识梳理解读 【知识点一】特殊平行四边形性质对比（核心必考） 平行四边形、矩形、菱形、正方形层层递进，正方形兼具矩形与菱形所有性质，是最特殊的平行四边形，核心性质对比如下： 图形类型 共有性质（平行四边形通用） 独有性质 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 无专属特殊性质 矩形 具备平行四边形全部性质 四个内角均为90°；对角线相等 菱形 具备平行四边形全部性质 四条边长度相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 正方形 具备平行四边形、矩形、菱形全部性质 对角线垂直且相等；对角线与边夹角为45°；面积可通过对角线平方计算 【考点提示】：考试快速判定口诀：对角线相等优先判定矩形，对角线垂直优先判定菱形，对角线既垂直又相等为正方形。 【知识点二】分层判定逻辑（答题得分关键） 特殊平行四边形判定需遵循从一般到特殊的层级逻辑，禁止跨级直接判定，避免步骤扣分。 1. 普通四边形直接判定 三个内角为直角的四边形 ⇒ 矩形；四条边全部相等的四边形 ⇒ 菱形。 2. 平行四边形升级判定（高频考点） 平行四边形 + 一个直角或对角线相等 ⇒ 矩形；平行四边形 + 一组邻边相等或对角线垂直 ⇒ 菱形。 3. 矩形、菱形升级判定正方形 矩形 + 一组邻边相等 ⇒ 正方形；菱形 + 一个直角 ⇒ 正方形。 【易错提示】无法直接通过普通四边形判定正方形，必须先证图形为矩形或菱形，再补充对应条件。 【知识点三】全章衍生高频二级考点 1. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（选择、填空、证明高频考点）； 2. 菱形面积双公式：、（为对角线长）； 3. 正方形边角关系：对角线长 = 边长。 三.题型精析 【题型 1】概念辨析·命题真假判断 题型特征：选择题，判断命题对或错，挖“缺少前提”陷阱。 解题技巧：判定要看清前提是四边形还是平行四边形；举反例快速排除错误命题。 【例题1】（25-26八年级上·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【变式1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）下列说法正确的是（     ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【变式3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 【题型 2】性质应用——线段、角度计算 题型特征：已知图形是矩形、菱形、正方形，求边长、对角线、角度，常结合勾股定理。 解题技巧：矩形对角线相等且平分，得到等腰三角形；菱形对角线垂直，构造直角三角形勾股计算。 【例题2】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【题型 3】判定条件补充选择 题型特征：已知一个图形是平行四边形，添加一个条件使之成为矩形/菱形/正方形。 解题技巧：分清要得到什么图形，区分边、角、对角线条件。 【例题3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，相交于点O，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在矩形中，点，在对角线上，请添加一个条件，使得结论“”成立，你添加的一个条件是_____．    【变式3】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【题型 4】基础证明大题（性质+判定综合证明） 题型特征：给定图形，先证平行四边形，再证矩形或者菱形。 解题技巧：证明路径：先证平行四边形，再叠加一个判定条件。 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在四边形中，对角线，交于点O，已知，，（    ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是正方形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【题型 5】多结论选择题（期末高频压轴小题） 题型特征：给出图形，给出多个结论，选出正确结论序号。 解题技巧：逐个推导；错误结论举反例；注意特殊位置。 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有_______．（写出符合题意的全部序号） 【变式1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列个结论：①；②；③，其中一定成立的是____________（填序号）． 【变式2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）在正方形中，点、分别是边、上两点，，，且，过点作于点，连接．有下列三个结论：①；②；③，其中正确的是________．（填序号） 【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，以的三边为边在上方分别作等边，，，且点A在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形； ④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有______（填上所有正确结论的序号）． 【题型 6】折叠与特殊平行四边形综合 题型特征：矩形/菱形折叠，产生相等线段、相等角，结合判定求长度、证明图形形状。 解题技巧：折叠→对应边相等，对应角相等；经常结合勾股定理列方程。 【例题6】（25-26八年级下·山东滨州·期末）综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 现有一张矩形纸片，，． 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接、． 问题解决： （1）求的长； （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片，其中，，他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点．则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【变式3】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； （2）求证：； （3）如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）下列关于菱形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．菱形的四个角都是90° C．菱形的对角线垂直 D．菱形的面积等于两对角线的乘积 4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 5．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 6．（24-25八年级下·四川·期末）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广西玉林·阶段检测）如图，菱形的边长为4，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期末）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平行四边形中，以为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接．若，，则四边形的面积是________． 14．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，则矩形的面积为_____． 15．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，正方形的边长为，是对角线的中点，点在的延长线上，，连接，．若为的中点，则线段的长为_______． 16．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，菱形的边长为，将菱形沿射线方向平移得到四边形交于点E，若，则平移的距离为_____． 17．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 18．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·山东济宁·模拟预测）如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·重庆南川·期末）数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $