专题 3.11 相似三角形与四边形综合讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学专题复习讲义围绕相似三角形与四边形综合，按平行四边形、矩形、菱形、正方形等类型及动态几何问题构建知识体系，通过框架图梳理A字模型、8字模型、K型等核心相似模型，明确模型识别、动态分类讨论等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，综合提升层聚焦平行四边形相似判定等基础应用，拓展培优层深入正方形半角模型等复杂问题，培养几何直观与推理能力。同步检测含选择、填空、解答题，适配不同学生，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

专题 3.11 相似三角形与四边形综合讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.复习目标与重难点 1 【学习目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理解读 2 【知识点一】四边形中相似三角形的构造基础 2 【知识点二】平行四边形中的相似模型 2 【知识点三】矩形中的相似模型 3 【知识点四】菱形与正方形中的相似模型 3 【知识点五】动态几何中的相似 3 三.题型精析（综合提升） 3 【题型 1】平行四边形中相似三角形的判定与计算 3 【题型 2】矩形中直角三角形相似（K型） 4 【题型 3】菱形中的相似求值证明 6 四.题型精析（拓展培优） 7 【题型 4】正方形与半角模型 7 【题型 5】折叠背景下的相似与四边形综合 8 【题型 6】相似三角形与四边形中的面积问题 10 【题型 7】旋转背景下的相似与角度计算 11 【题型 8】四边形中的动点与相似（分类讨论） 13 六.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.复习目标与重难点 【学习目标】 1. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似三角形判定之间的内在联系，能利用四边形的平行、垂直、相等等性质推导角相等或边成比例。 2. 掌握四边形中常见的相似三角形模型（A字模型、8字模型、十字架模型、一线三等角模型），能从复杂图形中识别并构造相似三角形。 3. 能运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高/中线/角平分线比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）解决四边形中的线段长度、比值和面积计算问题。 4. 掌握动态几何（动点、折叠、旋转）背景下相似三角形的分析方法，能进行简单的分类讨论并建立方程求解。 5. 培养几何直观和逻辑推理能力，提升复杂图形的分解与转化能力。 【重难点】 重点：四边形中相似模型的识别与构造；利用相似三角形性质求线段长度、比值和面积；动点背景下相似的简单分类讨论。 难点：复杂图形中相似三角形的快速定位；折叠/旋转变换中相似关系的发现；动点问题中分类讨论与方程建立。 二.知识梳理解读 【知识点一】四边形中相似三角形的构造基础 平行四边形：对边平行 → 同位角相等、内错角相等 → 构造AA相似；对角线互相平分 → 构造8字相似。 矩形：四个角均为90° → 直角三角形相似；对边平行且相等 → A字、8字相似；对角线相等且互相平分。 菱形：四边相等、对角线互相垂直平分 → 等腰三角形、直角三角形相似；对角线平分内角 → 等角条件。 正方形：兼具矩形和菱形性质，是十字架模型、半角模型、一线三等角模型的常见背景。 【知识点二】平行四边形中的相似模型 1、利用平行四边形对边平行；利用对边平行延长平行四边形的一边与对角线或另一线段相交，从而构造A字模型、8字模型。 【知识点三】矩形中的相似模型 1、 利用矩形四个角为直角构造一线三直角模型； 2、 利用矩形内互相垂直两线段端点在四边上，构造十字架模型； 3、 利用折叠构造相似三角形。 【知识点四】菱形与正方形中的相似模型 1、 利用正方形构造半角模型； 2、 利用菱形、正方形性质构造旋转相似模型。 【知识点五】动态几何中的相似 1. 动点问题：动点问题的基本解题步骤：①用含时间t的代数式表示各线段长度；②根据相似条件列比例方程；③必要时分类讨论相似的对应关系；④求解并检验t的取值范围。 常见分类：在四边形中，当两个三角形有一个公共角或等角时，相似的对应关系通常有两种，需分别讨论。 2. 折叠问题：折叠问题的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。在矩形/正方形折叠中，折叠后常出现直角，利用"一线三等角"构造相似三角形是常用技巧。 3. 旋转问题：旋转问题中，旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。旋转常构造手拉手模型，产生新的相似三角形。正方形中的旋转通常为90°，菱形中的旋转角度与内角相关。 三.题型精析（综合提升） 【题型 1】平行四边形中相似三角形的判定与计算 【例题1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求平行四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（    ） A．96 B．48 C．72 D．36 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·周测）如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为______． 【变式3】（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 （1）求证：； （2）若，，求证：四边形是菱形． 【题型 2】矩形中直角三角形相似（K型） 【例题2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明． 【变式1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为__________． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3， ,BC＝10，求BE的长； （3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为MN，若DC，则tan∠AMN＝　 　． 【题型 3】菱形中的相似求值证明 【例题3】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知菱形的顶点在菱形内部，且，若，则菱形的面积为（     ） A． B．20 C． D．24 【变式2】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为__________． 【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证： ； （2）连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 四.题型精析（拓展培优） 【题型 4】正方形与半角模型 【例题4】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． （1）如图1，连接，求证：，并写出的值； （2），如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当为边的三等分点时，求的长度． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是：______．（填序号） 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在正方形中，点是上一个动点，，射线交直线于点F． （1）如图1，点E在线段的延长线上时，请直接写出线段、和的数量关系． （2）如图2，点E在线段上时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点E在线段的延长线上时，交于点H，过点D作于点M，交于点K，，，求线段的长． 【题型 5】折叠背景下的相似与四边形综合 【例题5】（2025·安徽六安·二模）如图，在矩形中（），把沿着对角线折叠，使点落在处，与相交于点，点在上，点在上，与交于点，把沿着折叠，点恰好和点重合. （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）若，，则______. 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【变式3】（山西省大同市云州区两校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）综合与实践 问题情境： 如图（1），矩形纸片的对角线，相交于点，将纸片折叠，使点与点重合，折痕为． 猜想证明： （1）请判断与的数量关系，并加以证明． （2）如图（2），将矩形纸片展开，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，角的两边分别与，的延长线交于点，，请判断与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）在（2）的条件下，当经过点时，如图（3），若，，请直接写出的长． 【题型 6】相似三角形与四边形中的面积问题 【例题6】（2024·陕西西安·二模）问题提出 （1）如图1，在四边形中，，，，与之间的距离为4，则四边形的面积为 ； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，若，，对角线，求四边形的最大面积； 问题解决 （3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知，，，，则是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是30，则四边形的面积为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【变式3】（2026·贵州黔东南·一模）如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【题型 7】旋转背景下的相似与角度计算 【例题7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； （2）知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．以点为圆心作扇形，，当扇形绕点旋转时，线段与交于点，线段与直线交于点． （1） 若于点，则________； （2） 若，则________． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．      （1）知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； （2）知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 【题型 8】四边形中的动点与相似（分类讨论） 【例题8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． （1）如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． （2）如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 六.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，交于点，若，则平行四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 4．（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）如图，在菱形中，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，若，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D．8 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D． 7．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图2，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知E、F分别是平行四边形的边的中点，如果，那么的值为______． 13．（2025·贵州·一模）如图，矩形位于第一象限内，点A坐标为，若，点C到y轴的距离为6，则矩形的面积为______． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在菱形中，、交于点，点为的中点，点在边上，连接、、，若，，，则菱形的边长为________． 15．（2025·浙江·模拟预测）如图是一张菱形纸片，，，点E在边上，且，点F在边上，把沿直线对折，点A的对应点为点．当点落在菱形对角线上时，则______． 16．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则______． 17．（2025·河南漯河·二模）如图，将矩形纸片（）沿过点B的直线折叠，使点A落在边的点E处，折痕为，再沿过点E的直线折叠，使点C落在线段上的点G处．作射线交矩形的边于点P，若，，则线段的长为________． 18．（25-26九年级下·安徽·自主招生）如图，正方形中，，E是中点，上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． （1）猜想四边形的形状是 ，并加以证明； （2）若，，求的值． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，为边上任意一点，先把矩形纸片上下对折，折痕交于点，交于点． （1）如图1，当点恰好落在折痕线上时，得到．“勤学小组”发现，此时是一个特殊角，___________°．如图2，再过点向右折纸片，得到折痕，使交于点，交于点．此时，．请说明理由． （2）如图3，“好问小组”折叠，使得点恰好落在对角线上，发现点为边的中点，请说明理由． （3）“勤学小组”折叠，使得落在矩形纸片内部，若，当是直角三角形时，直接写出的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.11 相似三角形与四边形综合讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.复习目标与重难点 1 【学习目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理解读 2 【知识点一】四边形中相似三角形的构造基础 2 【知识点二】平行四边形中的相似模型 2 【知识点三】矩形中的相似模型 3 【知识点四】菱形与正方形中的相似模型 3 【知识点五】动态几何中的相似 3 三.题型精析（综合提升） 3 【题型 1】平行四边形中相似三角形的判定与计算 3 【题型 2】矩形中直角三角形相似（K型） 8 【题型 3】菱形中的相似求值证明 13 四.题型精析（拓展培优） 19 【题型 4】正方形与半角模型 19 【题型 5】折叠背景下的相似与四边形综合 31 【题型 6】相似三角形与四边形中的面积问题 38 【题型 7】旋转背景下的相似与角度计算 44 【题型 8】四边形中的动点与相似（分类讨论） 50 六.同步检测 56 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 57 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 68 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 79 一.复习目标与重难点 【学习目标】 1. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似三角形判定之间的内在联系，能利用四边形的平行、垂直、相等等性质推导角相等或边成比例。 2. 掌握四边形中常见的相似三角形模型（A字模型、8字模型、十字架模型、一线三等角模型），能从复杂图形中识别并构造相似三角形。 3. 能运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高/中线/角平分线比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）解决四边形中的线段长度、比值和面积计算问题。 4. 掌握动态几何（动点、折叠、旋转）背景下相似三角形的分析方法，能进行简单的分类讨论并建立方程求解。 5. 培养几何直观和逻辑推理能力，提升复杂图形的分解与转化能力。 【重难点】 重点：四边形中相似模型的识别与构造；利用相似三角形性质求线段长度、比值和面积；动点背景下相似的简单分类讨论。 难点：复杂图形中相似三角形的快速定位；折叠/旋转变换中相似关系的发现；动点问题中分类讨论与方程建立。 二.知识梳理解读 【知识点一】四边形中相似三角形的构造基础 平行四边形：对边平行 → 同位角相等、内错角相等 → 构造AA相似；对角线互相平分 → 构造8字相似。 矩形：四个角均为90° → 直角三角形相似；对边平行且相等 → A字、8字相似；对角线相等且互相平分。 菱形：四边相等、对角线互相垂直平分 → 等腰三角形、直角三角形相似；对角线平分内角 → 等角条件。 正方形：兼具矩形和菱形性质，是十字架模型、半角模型、一线三等角模型的常见背景。 【知识点二】平行四边形中的相似模型 1、利用平行四边形对边平行；利用对边平行延长平行四边形的一边与对角线或另一线段相交，从而构造A字模型、8字模型。 【知识点三】矩形中的相似模型 1、 利用矩形四个角为直角构造一线三直角模型； 2、 利用矩形内互相垂直两线段端点在四边上，构造十字架模型； 3、 利用折叠构造相似三角形。 【知识点四】菱形与正方形中的相似模型 1、 利用正方形构造半角模型； 2、 利用菱形、正方形性质构造旋转相似模型。 【知识点五】动态几何中的相似 1. 动点问题：动点问题的基本解题步骤：①用含时间t的代数式表示各线段长度；②根据相似条件列比例方程；③必要时分类讨论相似的对应关系；④求解并检验t的取值范围。 常见分类：在四边形中，当两个三角形有一个公共角或等角时，相似的对应关系通常有两种，需分别讨论。 2. 折叠问题：折叠问题的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。在矩形/正方形折叠中，折叠后常出现直角，利用"一线三等角"构造相似三角形是常用技巧。 3. 旋转问题：旋转问题中，旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。旋转常构造手拉手模型，产生新的相似三角形。正方形中的旋转通常为90°，菱形中的旋转角度与内角相关。 三.题型精析（综合提升） 【题型 1】平行四边形中相似三角形的判定与计算 【例题1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）30 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识． （1）根据平行四边形的性质得到，则，即可证明； （2）证明，则，得到，证明，则，得到，即可得到平行四边形的面积． 解：（1） 略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（    ） A．96 B．48 C．72 D．36 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·周测）如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，由角平分线定义可得，又四边形是平行四边形，所以，，则有，，所以，从而可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 （1）求证：； （2）若，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 解：（1）略 （2）略 【题型 2】矩形中直角三角形相似（K型） 【例题2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明． 【答案】解：相似 证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证． 解：略 【变式1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角相等可得出，从而得出，根据相似三角形的周长比等于对应边的比即可求出结论． 解：设，则， 在中，， ，即， 解得． ， ． 又， ， ． ， ． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，设，可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， 设，则， ∵ ∴，即， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE． （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3， ,BC＝10，求BE的长； （3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为MN，若DC，则tan∠AMN＝　 　． 【答案】（1）见解析；（2）4或6；（3）2 【分析】（1）先用同角的余角相等判断出∠A＝∠EDC，即可得出结论； （2）由（1）知，△ABE∽△ECD，得 ，即 ，代值计算，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出DM，再判断出BN＝CF，FN＝BC＝8，再判断出△MDE∽△EFN，得出比例式，进而求出EF，可得AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10，即可得出结论． 解：（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠A+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠A＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：由（1）知，△ABE∽△ECD， ∴，即， ∴ ， ∴BE＝4或6； （3）解：如图②， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝12， ∵DE＝DC， ∴DE＝4， 设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝8﹣x， 由折叠知，ME＝AM＝8﹣x， 根据勾股定理得，DM2+DE2＝ME2， ∴x2+42＝（8﹣x）5， ∴x＝3， ∴DM＝3， ∴AM＝8﹣3＝5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°， 过点N作NF⊥CD于F，则∠EFN＝90°＝∠B＝∠C， ∴四边形BCFN是矩形， ∴BN＝CF，FN＝BC＝8， ∵∠D＝90°， ∴∠DME+∠DEM＝90°， 由折叠知，∠MEN＝90°， ∴∠DEM+∠NEC＝90°， ∴∠DME＝∠NEC， ∴△MDE∽△EFN， ∴ ， ∴ ， ∴EF＝6 ∴AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10， ∴tan∠AMN＝＝2． 故答案为：2． 【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判断和性质，勾股定理，折叠的性质，求出EF是解本题的关键． 【题型 3】菱形中的相似求值证明 【例题3】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）③；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 解：（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，已知菱形的顶点在菱形内部，且，若，则菱形的面积为（     ） A． B．20 C． D．24 【答案】B 【分析】连接，交于点，连接，易得四点共线，证明，得到，设，在中，勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 解：连接，交于点，连接， ∵菱形和菱形， ∴垂直平分，垂直平分，，， ∴四点共线， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为. 【变式2】（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为__________． 【答案】20 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是正确的作出辅助线．延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据的面积，求出的面积，然后可得出菱形的面积． 解：如图，延长交延长线于点， 点是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 又点是中点， ，， ， 的面积为1， 的面积为5， 菱形的面积为20， 故答案为：20． 【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证： ； （2）连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 点是的中点， ∴，， 点是的中点， ， ； （2）①16；② 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，结合可得，根据点E是的中点可得点M为的中点，据此证明； （2）①根据中点的概念可得，根据菱形以及平行线的性质可得，，证明，得到，结合以及的值可得，据此不难求出菱形的周长； ②连接，记与交点为点G，易得，，根据等腰三角形的性质可得，结合外角的性质可得，已知，则，则，易得，，，则为直角三角形，据此求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）得，点是的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， 菱形的周长为； 如图，连接，记与交点为点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，， ， ． 【点拨】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键． 四.题型精析（拓展培优） 【题型 4】正方形与半角模型 【例题4】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点． （1）如图1，连接，求证：，并写出的值； （2），如图2，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当为边的三等分点时，求的长度． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ，， ， 又， ， ； （2） （3）或 【分析】（1）由题意得，，结合可推出 ，即可求证； （2）作于，可得；根据可推出，进而得，结合即可求解； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，利用平行线分线段成比例即可求解； 解：（1）略 （2）解：如图2，作于， 则， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时， 四边形是正方形， ∴ ， ， ，则， ， ∵ ， ， ， 当时， ， ， ，则， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线分线段成比例等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 【变式1】（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是：______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明． 解：如图，延长至点，使， 正方形中，，， ， ，， 又， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ；故②正确； ∵， ∴ 当时， 又， ，故③不一定正确； ，， 的周长 ，故④正确； 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， 又， ．故⑤正确 故答案为：①②④⑤． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在正方形中，点是上一个动点，，射线交直线于点F． （1）如图1，点E在线段的延长线上时，请直接写出线段、和的数量关系． （2）如图2，点E在线段上时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点E在线段的延长线上时，交于点H，过点D作于点M，交于点K，，，求线段的长． 【答案】（1），理由如下： 理由：如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； （2），理由如下： 将绕着点按顺时针方向旋转，得， 则，，， 四边形是正方形， ， ， ， 、、在一直线上， ， ， 又， ， ， ； （3）． 【分析】（1）在上截取，连接，由可证，可得，，由可证，可得，可得结论； （2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，可得，，，由可证，可得，可得结论； （3）在上取点，使，连接，利用正方形的性质得，，可证明，有，，结合题意得，即可证明，有，则；再证明，求得，设，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）证明：， 如图，在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 则， 即∶； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得即， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，平行线分线段成比例，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【题型 5】折叠背景下的相似与四边形综合 【例题5】（2025·安徽六安·二模）如图，在矩形中（），把沿着对角线折叠，使点落在处，与相交于点，点在上，点在上，与交于点，把沿着折叠，点恰好和点重合. （1）若，则______（用含的式子表示）； （2）若，，则______. 【答案】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由折叠的性质得，即可求出； （2）根据折叠的性质，进一步得出，由可得，设，，由勾股定理和解直角三角形得出，即可求得结果． 解：（1）矩形中，，， ，， 由折叠的性质得，； （2）由折叠的性质：，，， ， ， ，即， ， ， ， 设，， 在中，，，解得， ， ，， ，， ，， . 【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，理解举行的性质和折叠的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，连接，过点作于点，设，，设，，则，由折叠的性质可得：，，，由 ，，共线，，得出，推出，得到，解得：或（舍去），推出，再利用勾股定理求出，可得结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，连接，过点作于点，设，， ， 设，， 点为中点， ， 由折叠的性质可得：，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，，共线，， ， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（山西省大同市云州区两校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）综合与实践 问题情境： 如图（1），矩形纸片的对角线，相交于点，将纸片折叠，使点与点重合，折痕为． 猜想证明： （1）请判断与的数量关系，并加以证明． （2）如图（2），将矩形纸片展开，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，角的两边分别与，的延长线交于点，，请判断与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）在（2）的条件下，当经过点时，如图（3），若，，请直接写出的长． 【答案】（1）， 证明：由折叠可得， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：由旋转可得， ， 即． 由（1）得， ． 在中，是的中点， ， ． 易得， ， ， ，即． 又， ， ， ； （3） 【分析】本题主要考查折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，有矩形的性质证明，得到，根据平行的性质证明，即可得到结论； （2）由旋转可得，证明，即可得到结论； （3）连接，根据题意证明，，由相似三角形的性质得到比例关系即可求出答案． 解：（1） 略 （2） 略 （3）． ，，， ， ． ，， ． 又， ， ，即， ，， ， 如图，连接， 是的中点，是的中点， ，， ， ，即， ， ． 【题型 6】相似三角形与四边形中的面积问题 【例题6】（2024·陕西西安·二模）问题提出 （1）如图1，在四边形中，，，，与之间的距离为4，则四边形的面积为 ； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，若，，对角线，求四边形的最大面积； 问题解决 （3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知，，，，则是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）20；（2）；（3）存在，． 【分析】（1）根据梯形的面积公式进行计算即可求解； （2）如图②中，设交于，过点作于，交于，取的中点，连接．根据可得的最大值为，当的值最大时，点与重合，此时，是等腰直角三角形，，即可得出四边形的面积的最大值； （3）如图③中，延长交的延长线于．根据平行线分线段成比例可得得出，进而得出四边形的面积为，时，的面积最大，根据三角形的面积公式，可得，即可求解． 解：（1）依题意，四边形的面积为； （2）如图②中，设交于，过点作于，交于，取的中点，连接． ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 当的值最大时，点与重合， 此时，是等腰直角三角形，， 四边形的面积的最大值； （3）如图③中，延长交的延长线于． ， ∴， ， ， ， ，，设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为， 四边形的面积为， ，， 时，的面积最大，最大值为， ， ， 的最大值为， 四边形的面积的最大值为． 【点拨】本题考查了梯形的面积公式，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是30，则四边形的面积为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 解：由题意可知：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵阴影部分的面积是30， ∴， ∴， ； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【答案】70 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 【变式3】（2026·贵州黔东南·一模）如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，图形面积的分割计算，函数表达式的确定，熟练运用平行线的性质判定三角形的相似，正确进行图形面积的分割是解题的关键． （1）当时，，则，即可求出答案； （2）证明，则，即，解得，证明，则，解得，利用四边形的面积为梯形的面积的面积即可求出答案； （3）假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，则，即，方程即可得到答案． （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴，即， 解得， ∴当为时，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为梯形的面积的面积 ， 即与之间的函数关系式为. （3）解：假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的， 则，即， 解得或 （舍去）， ∴存在，使四边形的面积是矩形面积的. 【题型 7】旋转背景下的相似与角度计算 【例题7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； （2）知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 【答案】（1）；；（2）证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. （1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，根据题意证明，进而根据相似三角形的性质得出，再判断其他选项，即可求解． 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， ， ， 又是的中点， ∴． ， ． ． ，故A选项不符合题意； ，即． ；故B选项符合题意； ， 不一定等于， 不一定与相似，故选项C不符合题意； ， ，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．以点为圆心作扇形，，当扇形绕点旋转时，线段与交于点，线段与直线交于点． （1） 若于点，则________； （2） 若，则________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质求解即可； （2）首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 解：（1）如图所示， ∵是等腰直角三角形，点O为中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点P是的中点， ∴； 故答案为：； （2）如图所示， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴解得． 故答案为：． 【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．      （1）知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； （2）知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 【答案】（1）①27°；②；（2）证明：，， ， ，即， 又， ， ， 又，， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形” （3） 【分析】（1）①依据和互为“旋转位似图形”，可得，依据相似三角形的对应角相等，即可得到； ②依据，可得，根据，，，即可得出； （2）依据，即可得到，进而得到，再根据，，即可得到，进而得出和互为“旋转位似图形”； （3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 解：（1）①和互为“旋转位似图形”， ， ， 又，， ； ②， ， ，，， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）点为的中点， ， 由题意得：， ， ， ， ， 由勾股定理可得， ， ． 【点拨】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键． 【题型 8】四边形中的动点与相似（分类讨论） 【例题8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，    ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，    ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】.结合函数图象可得当时，点Q运动到点B处，当时，此时点Q在的中点处，分别计算即可解答． 解：由题意，可知当时，点Q运动到点B处， 此时，， 过点B作于点H，如解图1， 则，解得． 当时，点Q运动的路程为， ， 所以此时点Q在的中点处，此时． 过点Q作交的延长线于点M，如解图2， ， ， ， ． ． 的值为． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． （1）如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． （2）如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2） 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 解：（1）略 （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 六.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，交于点，若，则平行四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质推得，，，，再根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方即可得解． 解：四边形是平行四边形， ，，， 是延长线上的一点，交于点，且， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 3．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质，得到，据此列方程求解即可． 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 4．（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）如图，在菱形中，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，若，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段的和差得到，根据菱形的性质得到，，则有，进而得到，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用三线合一作辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理计算的长度，证明，，根据对应边成比例求解即可． 解：过点作于点，如图所示， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．证明，推出，求出，再利用勾股定理求出，可得结论． 解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查中心对称，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，是的中点，连接．动点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，如图2，关于的函数图象的最低点是点，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的转折点确定的长，根据图象最低点确定的长，结合菱形性质、勾股定理及直角三角形斜边中线性质求解． 解：由函数图象可知，当时，图象出现转折，说明点运动到点， ． 四边形是菱形， ，． 当时，线段的长最小，由图象可知，的最小值为． ， ，， ， ， 是的中点， ， ， ． 在中，， ，是的中点， ． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形求出和，由折叠对称性确定到的垂足的位置，发现，将到的距离转化为线段的长，通过线段减法直接求出高． 解：正方形的边长为，，， ，， 在中，， 将沿折叠得到， 为关于的对称点， 连接交于H，由轴对称图形的性质可知于， 在中，， ∴ ， ， ， 于， ， 正方形中， ， 又在中， ， 又 ， ， ， 即， 解得，， ，， ， 点到直线的距离等于到直线的距离， 在上，于， 到直线的距离为， 又 ，在、之间， ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，点在平行四边形的边上，延长交的延长线于点，交于点，若，则________． 【答案】 【分析】根据中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值． 解：在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知E、F分别是平行四边形的边的中点，如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，可证明，，则，再证明△△，得，推导出，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线是解题的关键． 解：延长交的延长线于点， 四边形是平行四边形，、分别是边、的中点， ，，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 13．（2025·贵州·一模）如图，矩形位于第一象限内，点A坐标为，若，点C到y轴的距离为6，则矩形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质，得出，，然后证明，然后代入数值得，，最后运用勾股定理列式计算得，，最后结合面积计算计算，即可作答． 即可作答． 解：过点作轴，如图所示： ∵四边形是矩形 ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点C到y轴的距离为6， ∴， ∴， 在中，， 在中， ∴矩形的面积为， 故答案为：16． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在菱形中，、交于点，点为的中点，点在边上，连接、、，若，，，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．由四边形为菱形可得，又E为的中点，由斜边中线定理可知，故，．延长交的延长线于点G，证明，设，则，由平行可证明，故得，求出y的值，从而得出结果 解：四边形为菱形， ，即， 又点为的中点，由斜边中线定理可知， ， 如图，延长交的延长线于点G， ． 又， ． 设，则， ， ， ， ， ， 由 可得，即， 解得：， ， 故答案为： 15．（2025·浙江·模拟预测）如图是一张菱形纸片，，，点E在边上，且，点F在边上，把沿直线对折，点A的对应点为点．当点落在菱形对角线上时，则______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论．分情况讨论：①当点落在菱形对角线上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明，得到，，进一步求解即可；②当点落在菱形对角线上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知是等边三角形，可得． 解：分情况讨论： 当点落在菱形对角线上时，如图所示： 在菱形中，，， ， ， 是等边三角形， ， 根据折叠，可知，，， ， ， ， ， ∴， 设， ， ， ∴ ， ∴ 解得（舍去）或， （不合题意舍去）； 当点落在菱形对角线上时，如图所示： 在菱形中，， ， 根据折叠可知，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 综上所述，的长为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则______． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·河南漯河·二模）如图，将矩形纸片（）沿过点B的直线折叠，使点A落在边的点E处，折痕为，再沿过点E的直线折叠，使点C落在线段上的点G处．作射线交矩形的边于点P，若，，则线段的长为________． 【答案】或6 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，合理运用分类谈论思想进行解答． 根据是矩形和折叠性质证出四边形为正方形，四边形为矩形，从而得出．设，则，．分两种情况讨论：①点P落在边上，如图1所示，则，证明，根据相似三角形的性质即可解答；②点P落在边上，如图2所示，则，，证明，根据相似三角形的性质即可解答； 解：根据是矩形可得， 根据折叠可得：， ∴四边形为正方形，， ∴四边形为矩形． ． 设，则，． 分两种情况讨论． ①点P落在边上，如图1所示， 则． ， ． ， 即， 解得：（负值已舍去）． 则． ②点P落在边上，如图2所示， 则，． ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）． 则． 综上所述，线段的长为或6． 18．（25-26九年级下·安徽·自主招生）如图，正方形中，，E是中点，上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】如图所示，在上取，连接，，构造，得出，则的最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 解：如图所示，在上取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由翻折的性质可知， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，构造相似三角形转换线段是解题的关键与难点． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 【答案】 【分析】设与相交于点，根据平行线分线段成比例，先求得，的长度．再运用等边三角形的性质，求得的长．最后根据，得，求得结果． 解：如图，设与相交于点， 菱形，点在的延长线上， ，， ， ， ，， ． ， ，． 等边，， ， ， ． ， ， ， ，，， ． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． （1）猜想四边形的形状是 ，并加以证明； （2）若，，求的值． 【答案】（1）菱形 证明：（方法不唯一，合理即可） 将矩形纸片沿着折叠，点对应点 即 ， 由折叠的性质得， ∴四边形是平行四边形 又（或者写） 平行四边形是菱形 （2） 【分析】（1）根据折叠的性质和平行四边形的性质即可解答； （2）连接交于点，根据菱形和矩形的性质，证，再依据相似三角形的性质求解即可． 解：（1）略 （2）解：连接交于点， 平行四边形是菱形 ，， 四边形是矩形 ，，， ，， ，， ∴， ， ． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值． 【答案】（1）当时，；当时，；（2）或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、列代数式、相似三角形的判定和性质． （1）分点在边上和点P在延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列出方程求解即可； 熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法，分类讨论求解是解题的关键． （1）解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点P与点C重合时，则，解得， 当点Q与点D重合时，则， ∵当点Q到达点D时，两点同时停止运动， 当时，， 当时，； （2）当时，如图1，，则，    ∴， ∴，解得； 当时，如图2，，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，为边上任意一点，先把矩形纸片上下对折，折痕交于点，交于点． （1）如图1，当点恰好落在折痕线上时，得到．“勤学小组”发现，此时是一个特殊角，___________°．如图2，再过点向右折纸片，得到折痕，使交于点，交于点．此时，．请说明理由． （2）如图3，“好问小组”折叠，使得点恰好落在对角线上，发现点为边的中点，请说明理由． （3）“勤学小组”折叠，使得落在矩形纸片内部，若，当是直角三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）∵矩形上下对折后，折痕是、的中点的连线， ∴， 由折叠性质知， ∴在中， ∴， ∴， ∵，点恰好落在折痕线上， ∴为的中点，即， ∴， ∴， 由折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）由折叠性质知，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为边的中点； （3）6或 【分析】（1）由折叠的性质得是、的中点的连线，求得中则，进而求出；再根据等角的三角函数值相等，即可求证； （2）由折叠的性质得对应角，对应边相等，结合三角形内角和定理可推出，结合平行线的性质得即可得出答案； （3）分当和两种情况讨论即可得出答案． 解：（1）略 （2）略 （3）解：当，如图： 由折叠性质知， ∴， 即点共线， ∵折痕是、的中点的连线， ∴， ∵， 在中，， 由折叠性质知， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ， 即； 当时，如图： 由折叠性质知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，的长度是6或． 【点拨】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，熟练理解折叠的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $