3.4.2 相似三角形的性质(2) 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形周长与面积性质，通过复习相似三角形判定及性质，结合相似比为1:2、1:3的实例，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究周长比与面积比的规律。 以“操作—观察—探索—说理”为主线，通过猜想、证明发展推理意识，从三角形拓展到多边形培养抽象能力，典例与分层练习提升应用意识，助力学生深化理解，为教师提供可操作的探究式教学方案。

分课时教学设计 第10课时《3.4.2 相似三角形的性质(2) 》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 这节课是在学会相似三角形的判定方法及相似的应用的基础上学习相似三角形的周长与面积的性质，使学生进一步体会图形相似的应用价值。相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似图形的一些重要性质，不仅可以使学生更好的认识和描述物体的形状，体会图形相似性质在现实世界中的作用，还可以提高学生应用数学的能力。 学习者分析 初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 教学目标 1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系． 2.能用三角形的性质解决简单的问题． 3.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识. 教学重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 教学难点 相似三角形的性质与运用． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 如何证明两个三角形相似？相似三角形具有什么性质？ 探究点一：相似三角形的周长比与面积比 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？ ①与②的相似比=　1∶2　；①与③的相似比=　1∶3　； ①与②的周长比=　1∶2　；①与③的周长比=　1∶3　； ①与②的面积比=　1∶4　；①与③的面积比=　1∶9　． 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，学生思考导入中的问题。 环节二：新知探究 猜一猜：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比吗？ 相似三角形的周长比等于相似比，=k． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，=k2. 证一证：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比吗？ 如图，由已知，得===k，∴==k．分别作出△ABC和△A′B′C′的高CD和C′D′．∵△ABC∽△A′B′C′，∴==k．∴==•=k2. 归纳总结：相似三角形周长的比等于相似比．面积比等于相似比的平方．  已知△ABC与△A′B′C′的相似比为2∶3，则对应边上中线之比为　2∶3　，面积之比为　4∶9　．  如果两个相似三角形的面积之比为1∶9，那么它们的周长的比为　1∶3　． 探究点二：相似多边形的周长比与面积比 如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k． 问题1：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？ ==k． 问题2：连接相应的对角线A1C1，A2C2．所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？ △A1B1C1与△A2B2C2相似，相似比为k．△A1C1D1与△A2C2D2相似，相似比为k． 问题3：=　k2　，=　k2　． 问题4：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？ ==k2. 思考：两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？ 周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 小组交流，引导学生从 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系． 环节三：典例精析 例：如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半。已知BC = 2，求△ABC平移的距离。 解：根据平移的性质可知，EG∥AB。 ∴ ∠GEC = ∠B，∠EGC = ∠A。 ∴ △GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ (相似三角形的面积比等于相似比的平方)， ∴ EC² = 2。 ∴ EC = 。 ∴ BE = BC-EC = 2-，即△ABC平移的距离为2-。 学生活动3： 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，能用三角形的性质解决简单的问题． 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断正误： (1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( ) (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍。( ) 选做题： 2. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB ,AC上,DE//BC,若AD=3BD，△ADE 的周长为3,则△ABC 的周长为 【综合拓展类作业】 3.在□ABCD中，E为AB上一点，BE ＝ 2AE，对角线AC交DE于点F，若S△AEF ＝ 6，求S△CDF。 课堂总结 课堂小结，自我完善 本节课你学到了哪些知识？ 1.相似三角形周长之比等于相似比 2.相似三角形面积之比等于相似比的平方 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 选做题： 2.如图，△ABC∽△ADE，S△ABC:S四边形BDEC=1:3 ，BC=，则DE 的长为_____. 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC 上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形， . 　（1）若AB=4，求线段AD 的长； （2）若△ADE的面积为2，求▱BFED 的面积. 答案： 【课堂练习】 1.√，× 2. 4 3. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠DCA＝∠BAC， 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴△AFE∽△CFD， ∵BE＝2AE，∴  ， ∵CD＝AB，∴  ， ∴  ， ∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54。 【作业设计】 1. C 2.2 3.（1）【解】∵ 点F在边BC上,四边形BFED 是 平行四边形， ∴DE//BC.∴ 易得△ADE∽△ABC . ∴ . 又∵AB=4，∴AD=1 . （2）∵△ADE∽△ABC ， ∴， . ∴ . ∵△ADE的面积为2，∴△ABC 的面积是32. ∵ 四边形BFED是平行四边形，∴EF//AB . ∴ 易得△EFC∽△ABC . ∴ . ∴△EFC 的面积是18. ∴▱BFED的面积=32−18−2=12 . 教学反思 在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，学生在得出相似三角形周长比等于相似比后，就及时提出由相似比如何求面积比，让他们又讨论、探究，最后得出了结论，整个课堂气氛活跃。 学科网（北京）股份有限公司 $