第六章 数列（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以数列核心概念为基础，通过基础计算、综合创新及跨学科融合题型，系统构建从定义应用到复杂情境迁移的知识逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题（填空1-6、选择13-14）|等差等比基本量计算、递推关系求项|从定义出发，通过通项公式、前n项和公式建立量间关系| |综合创新|8题（填空7-12、选择15-16）|新定义（间隔数列）、分类讨论、逻辑推理|结合函数性质、集合思想拓展数列应用边界| |跨学科融合|2题（解答19-20）|立体几何距离、统计概率与数列结合|以数学建模为桥梁，体现数列在空间与现实问题中的工具性|

第六章 数列（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 1011 2. 3. 100 4. 5. 6. 9 7. 84 8 . 9. 10 . 28 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B D A B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．(14分) 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为．(7分) （2） ． 所以．(14分) 18．(14分) 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为(6分) （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为(14分) 19．(14分) 【详解】（1）建立空间直角坐标系：，，，． 则，， 设， 则，其中，且， 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 因为，，依次成等差数列，所以． 即，解得， 设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 由，可知，点的轨迹为线段.(6分) （2）,， 所以当时，取得最小值，最小值为..(10分) （3）因为，点的轨迹为， 所以，即轨迹的长度为..(14分) 20．（18分） 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为..(6分) （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得..(12分) (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效..(18分) 21．（18分） 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”..(6分) （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列..(12分) （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”.(18分) 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 2．已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 3．某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 【答案】100 【详解】设300名参加高考的学生中，选科的人数依次为，则， 用分层抽样的方法从A，B，C三种选科组合的学生分别抽取人数依次为， 依题意，(*)，设抽样比为，则， 将其代入（*），可得， 因，则得，即选科组合为B的学生的人数为100. 4．已知是公差为的等差数列，是其前项和，若，则__________（用表示）． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，首项为，根据等差数列通项公式、前项和公式可得： 代入已知条件化简：，，代入得： ， 即等差数列的第10项. 将代入的公式： . 5．已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. 6．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】9 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 7．若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 【答案】84 【详解】数列共10项，因此共有个相邻差， 每个​只能取或， 由， ， ， ， 相加可得： ， 即所有​的总和为， 设个差中有个1，个，由题意：， 解得，即9个差中恰好有3个1、6个2， 不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2， 因此不同数列个数为组合数： . 即这样的不同数列共有84个. 8．已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 9．在数列中，，，且对任意的，有，则有_____个满足要求的不同数列． 【答案】 【详解】由，可知每一步只有两种选择： 增量（记这类步数为），增量（记这类步数为）， 从到一共经过步，所以①， 初始，最终，总增量为， 所以，即②， 联立①②，解得，， 即14步里要有次，次， 只需从个位置里选出个位置安排（剩下个自动安排）， 组合数为． 10．已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 【答案】28 【详解】由对称轴是，结合题意所以，即； 因为为等差数列，根据等差数列的性质可得， ，设，，统计满足条件的不同有序对. 5 项数列下标1，2，3，4，5，按分组，列出每组乘积、组内有序数对： ，，的情况有，共组； ，，的情况有，共组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，，，共组； ，，的情况有，，，，，，，， ，共 组； ，，的情况有，，， ，共组； ，，的情况有，，， ，共 组； ，，的情况有，共组； ，：的情况有，共 组. 合计：，因为有序对重复一次，所以共计. 综上所述，有序实数对的个数为. 11．设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 12．定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式， 由题意，只需求展开式中的系数即可， 又展开式中项为， 所以所求的展开式中项的系数为． 14．已知数列满足，且对任意，都有.若函数（），记，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列，且公差为2 B．数列是等比数列，且公比为 C．若为数列的前n项和，则的最大值为 D．若为数列的前n项和，则存在，使得 【答案】D 【详解】由，（），得，即， 故是首项为、公差为2的等差数列， 所以，得， 所以， 对于A，因为，不为定值，所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，因为，不为定值，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，因为，前n项和单调递增，所以数列的前n项和无最大值，故C错误； 对于D，因为，所以，所以存在使得，故D正确. 15．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 16．命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．(14分)已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为．(7分) （2） ． 所以．(14分) 18．(14分)已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为(6分) （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为(14分) 19．(14分)如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： (1)点的轨迹； (2)的最小值； (3)该轨迹的长度． 【详解】（1）建立空间直角坐标系：，，，． 则，， 设， 则，其中，且， 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 点到平面的距离为． 因为，，依次成等差数列，所以． 即，解得， 设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 由，可知，点的轨迹为线段.(6分) （2）,， 所以当时，取得最小值，最小值为..(10分) （3）因为，点的轨迹为， 所以，即轨迹的长度为..(14分) 20．（18分）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为..(6分) （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得..(12分) (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效..(18分) 21．（18分）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”..(6分) （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列..(12分) （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”.(18分) 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知是等差数列，，，则___________． 2．已知数列满足：（为正整数），则______. 3．某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 4．已知是公差为的等差数列，是其前项和，若，则__________（用表示）． 5．已知数列满足，若，则__________． 6．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 7．若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 8．已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 9．在数列中，，，且对任意的，有，则有_____个满足要求的不同数列． 10．已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________. 11．设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 12．定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 14．已知数列满足，且对任意，都有.若函数（），记，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列，且公差为2 B．数列是等比数列，且公比为 C．若为数列的前n项和，则的最大值为 D．若为数列的前n项和，则存在，使得 15．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 16．命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．(14分)已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 18．(14分)已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 19．(14分)如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求： (1)点的轨迹； (2)的最小值； (3)该轨迹的长度． 20．（18分）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 21．（18分）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $