第一章 二次函数【解答题专项卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

**基本信息** 以“概念-性质-应用-综合”为逻辑主线，分层设计基础巩固、能力提升、拓展突破三级训练，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固篇|28题|概念辨析、性质应用、解析式求解|从定义出发，通过图象与性质构建二次函数认知框架| |能力提升篇|17题|含参讨论、方程不等式转化、实际应用建模|结合参数与实际问题，发展运算能力与推理意识| |拓展突破篇|15题|含参最值探究、几何综合、新定义问题|通过复杂情境综合应用知识，培养创新意识与几何直观|

第一章 二次函数【解答题专项卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 难度层级 知识点专题 题号 题数 难度 第一部分 专题一 二次函数的概念 1 1 ★☆☆ 基础 第一部分 专题二 二次函数的图象与性质 2—10 9 ★☆☆ 基础 第一部分 专题三 二次函数解析式的确定 11—22 12 ★☆☆ 基础 第一部分 专题四 二次函数与一元二次方程 23—25 3 ★☆☆ 基础 第一部分 专题五 二次函数的简单实际应用 26—28 3 ★☆☆ 基础 第二部分 专题六 含参二次函数的图象与性质 29—32 4 ★★☆ 提高 第二部分 专题七 二次函数与方程、不等式 33—35 3 ★★☆ 提高 第二部分 专题八 二次函数的实际应用 36—43 8 ★★☆ 提高 第二部分 专题九 二次函数与简单几何综合 44—45 2 ★★☆ 提高 第三部分 专题十 含参二次函数的最值探究 46—53 8 ★★★ 拓展 第三部分 专题十一 二次函数与几何综合 54—57 4 ★★★ 拓展 第三部分 专题十二 新定义与综合探究 58—60 3 ★★★ 拓展 第一部分 基础巩固篇 A 级·面向全体，夯实二次函数基本概念、图象、性质与解析式的求解 专题一 二次函数的概念 考查重点：二次函数的定义与识别，二次项系数的限制条件，与一次函数的辨析 1. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． （1）根据二次函数的定义得出，即可得出； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 专题二 二次函数的图象与性质 考查重点：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判定；一般式与顶点式的互化；图象的平移与描点画图 2. 【答案】2 【分析】用配方法配方成顶点式，可求二次函数的最大值． 【详解】解： ∵对称轴为直线：x=-1，且开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵， ∴当x=1时，二次函数的最大值为2． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 3. 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 4. 【答案】(1)二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确把二次函数化为顶点式得到二次函数的对称轴和顶点坐标是解题的关键． 5. 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即把一般式转化为顶点式，再根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【详解】（1）解：， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为直线， ∴当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式，求二次函数图象的顶点坐标和对称轴，二次函数的图象和性质．熟知二次函数的顶点式是解题关键． 6. 【答案】根据图象平移的规律，可得答案． 解：答案如图 ． 【点评】本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 【答案】(1) (2)0，3，4，3，0；图象见解析； (3)①；②；③4． 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）先求出各点的纵坐标，完成表格，再描点连线即可； （3）①观察图象可知，当时，x的取值范围为；②当时，；当时，，当时，y有最大值4，据此即可得到答案；③方程变形为方程，当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根，而抛物线的顶点的纵坐标为4，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0，3，4，3，0； 如图， ； （3）①当时，x的取值范围为； 故答案为：； ②当时，； 当时，， 当时，y有最大值4， 当时，y的取值范围为； 故答案为：； ③方程变形为方程， 当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以， 即m的最大值为4． 故答案为：4． 8. 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，；当时，；当时，；当时，； 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 9. 【答案】 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+6 ＝x2﹣4x+4+2 ＝（x﹣2）2+2； （2）∵y＝（x﹣2）2+2，a＝1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2）； （3）∵y＝（x﹣2）2+2，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，2）， ∴x＝2时函数最小值为2， 将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+6得y＝11， ∴当﹣1＜x＜3时，y的取值范围2≤y＜11． 10. 【答案】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定； （2）将x＝6代入y＝（x﹣1）2+2即可． 【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2， 则y＝x2﹣2x+3， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3； （2）y＝（x﹣1）2+2． 当x＝6时，y＝（6﹣1）2+2＝27， 故x＝6时，y＝27； 【点评】本题考查二次函数的解析式顶点式与一般式的互化，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 专题三 二次函数解析式的确定 考查重点：一般式、顶点式、交点式的选择与待定系数法，结合图象或表格信息求解析式 11. 【答案】解：把代入得： ， 解得， 该二次函数的表达式为； 令，则， 解得，， 二次函数图象与轴的交点坐标为和． 【解析】用待定系数法求函数解析式即可； 令，解方程即可． 本题考查抛物线与轴的交点，关键是求出二次函数解析式． 12. 【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）；（2）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5） 【解析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）令x＝0求出相应的y的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到该抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 解：（1）∵抛物线y＝x2＋4x﹣5＝（x＋2）2﹣9， ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）； （2）∵抛物线y＝x2＋4x﹣5＝（x＋5）（x﹣1）， ∴当x＝0时，y＝﹣5， 当y＝0时，x＝﹣5或x＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5）． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13. 【答案】（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a （x﹣2）2+1，然后把（﹣1，﹣8）代入求出a即可； （2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程﹣x2+4x﹣3＝0即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a （x﹣2）2+1， 把（﹣1，﹣8）代入得a•（﹣1﹣2）2+1＝﹣8， 解得a＝﹣1 所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3； （2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝1 所以抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）． 令y＝0，得到x＝﹣3， 所以与y轴交于点（0，﹣3）． 【点评】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型． 14. 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 15. 【答案】（1）把两点代入即可得出p，q的值； （2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案． 解：（1）把A（0，1），B（2，﹣1）代入y＝x2+px+q， 得， 解得， ∴p，q的值分别为﹣3，1； （2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣3x+1，得y＝5， ∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上． 【点评】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 16. 【答案】（1）将A（1，4），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c求解． （2）①由抛物线开口方向及对称轴确定﹣1＜x＜2时，y的取值范围．②将y＝3代入函数解析式求得x的值，然后根据开口方向判断当y≤3时，x的取值范围． 【解答】解：（1）将A（1，4），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3． （2）①∵y＝﹣x2+2x+3开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4为最大值， ∵x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+3＝0， x＝2时，y＝﹣4+4+3＝3， ∴﹣1＜x＜2时，0＜y≤4． ②y＝3时，﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或x＝2， ∵抛物线开口向下， ∴y≤3时，x≤0或x≥2． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与不等式的关系． 17. 【答案】 【解答】解：（1）∵x＝﹣2时，y＝﹣5；x＝1时，y＝4， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2+4x﹣1； （2）当y＝0时，x2+4x﹣1＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（﹣2，0）， 当x＝0时，y＝x2+4x﹣1＝﹣1， ∴C（0，﹣1）． 所以答案为：A（﹣2，0），B（﹣2，0），C（0，﹣1） 18. 【答案】(1)0 (2) (3) 作图如下， 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及作图，掌握对称轴直线的计算，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式及作图方法是解题的关键． （1）根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，则有的函数值与的函数值相等，由此即可求解； （2）根据题意，可得顶点坐标为，运用二次函数的顶点式，待定系数法即可求解； （3）运用描点，连线的方法即可作图． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：0； （2）解：二次函数的对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （3）略 19. 【答案】(1)，， (2) 如图， (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）略 （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、图像的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 【答案】（1）3；（2）y＝﹣x2+2x+3． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点（0，3）； ∴将点（0，3）代入y＝ax2+2x+c（a≠0）得； c＝3． （2）设函数的表达式为y＝ax2+2x+3（a≠0）； ∵函数图象经过点A（3，0）； ∴把点A（3，0）代入y＝ax2+2x+3（a≠0）得； a＝﹣1； ∴函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3． 21. 【答案】解：， 将，和代入得： 解得： 这个二次函数的表达式为：． 点能在该函数图象上， 把代入，得：． 解得：或． 的值是或． 【解析】根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 的对称点为， ， 22. 【答案】（1）二次函数表达式为y＝﹣（x+1）2+3； （2）点A的坐标为（2，﹣6）或（﹣4，﹣6）． 【解答】解：（1）设二次函数表达式为y＝a（x+1）2+3， 将点（1，﹣1）代入得， a×（1+1）2+3＝﹣1， 解得a＝﹣1， 所以二次函数表达式为y＝﹣（x+1）2+3． （2）将y＝﹣6代入函数解析式得， ﹣（x+1）2+3＝﹣6， 解得x＝2或﹣4， 所以点A的坐标为（2，﹣6）或（﹣4，﹣6）． 专题四 二次函数与一元二次方程 考查重点：用判别式判定抛物线与 x 轴交点个数，求交点坐标 23. 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 24. 【答案】解：令，则， ， ， ， ， 方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点； 函数的图象与轴交于点． ， ， 抛物线的解析式为：， ， 当时，， ，， 该函数的图象与轴的交点坐标或． 【解析】令，则，计算判别式即可得出结论． 根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解． 本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可； （2）根据题意，令，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 【详解】（1）证明：令得： ， ， 方程有两个不等的实数根，原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）解：令，则， 所以， 解得， 专题五 二次函数的简单实际应用 考查重点：拱桥、喷泉、铅球等抛物线型实际问题的建模与求解 26. 【答案】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为，过点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， 即这条抛物线的解析式为； 当时，， 货船能顺利通过此桥洞． 【解析】根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过轴上的点，从而可以设出抛物线的顶点式，将点代入求出，进而求得抛物线的解析式； 把代入函数解析式即可得到结论． 本题主要考查二次函数的应用． 27. 【答案】解：， 该二次函数的顶点坐标为， 水流喷出的最大高度是 令，则， 解得或舍去 所以水池的半径至少为，才能使喷出的水流不落在池外． 【解析】求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离； 令，则可以求水池的半径． 本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值． 28. 【答案】抛物线的顶点A的坐标为（6，4）、点B坐标为（14，0），待定系数法求得抛物线的解析式后，求出x＝0时y的值即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，记顶点为A，与x轴交点为B点，与y轴交点为C点， 由题意知抛物线的顶点A（6，4）、点B（14，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4， 将点B（14，0）代入，得：64a+4＝0， 解得：a＝﹣， 则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4， 当x＝0时，y＝﹣×36+4＝， 即点C（0，）， 答：铅球出手时距地面的高度是m． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系利用待定系数法求得其函数解析式． 第二部分 能力提升篇 B 级·含参讨论、图象信息转化、实际应用建模与初等综合 专题六 含参二次函数的图象与性质 考查重点：含字母系数时的对称轴、增减性与最值分析，参数取值范围的确定 29. 【答案】证明：判别式， 又， ， 二次函数与轴有两个交点． 解：二次函数的对称轴为，开口向上， 又随的增大而增大， ， 解得：， 当时，随的增大而增大，的取值范围是． 【解析】首先根据二次函数与轴有两个交点可证明结论； 根据二次函数的对称轴及开口方向可求出的取值范围． 此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数与轴有两个交点的条件，以及为此函数的对称性及增减性． 30. 【答案】解：当时，， 当时，即， 解得，， 二次函数图象与轴交于和 ； 证明：若二次函数有最小值， ， 对称轴为直线， 在对称轴的左侧，开口向上，随的增大而减小； 解：， ，， 的取值范围为． 【解析】当时，，解方程即可得到结论； 根据若二次函数有最小值，得到，根据二次函数的性质即可得到结论； 根据顶点坐标公式即可得到结论． 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的图象与轴的交点，正确地求得方程和不等式的解或解集是解题的关键． 31. 【答案】（1）y＝2x2+8x+6； （2）y＝﹣x2﹣x； （3）． 【解答】解：（1）二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）． 将a＝2代入二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）中， 得y＝（x+1）（2x+2×2+2）＝2x2+8x+6． （2）∵当x＝﹣1时，y＝（x+1）（ax+2a+2）＝0≠1， 当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3， ∴二次函数图象只经过点（1，﹣2）， ∴将点（1，﹣2）代入二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）中， 得：y＝（1+1）（a+2a+2）＝2（3a+2）＝﹣2， 解得a＝﹣1． ∴二次函数y＝（x+1）（﹣x﹣2+2）＝﹣x2﹣x． （3）∵二次函数的对称轴，且二次函数的开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵x＜m时，y随x的增大而增大， ∴． 32. 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为， (2)的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与轴交点等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据当时，可有，可得抛物线与轴交点的坐标；根据点，在抛物线上，且，易知点，关于对称轴对称，即可求得该抛物线的对称轴； （2）将点，代入抛物线解析式，结合可得，进一步解得，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， ∵点，在抛物线上，， ∴点，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即． 专题七 二次函数与方程、不等式 考查重点：函数图象与方程、不等式的互化，利用图象解方程与不等式，新定义初步 33. 【答案】（1）a＝4，b＝﹣2； （2）﹣2＜x＜3． 【解答】解：（1）将（3，a）代入y1＝2x﹣2得a＝6﹣2＝4， 将（b，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2b﹣2， 解得b＝﹣2； （2）由（1）知，抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6）， 由图象可得：当﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方， ∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3． 34. 【答案】（1）利用“图象数”的定义求解； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1，然后根据判别式的意义得到△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0，从而解m的方程即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为[，﹣1，﹣1]； 故答案为[，﹣1，﹣1]； （2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1， 根据题意得△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 35. 【答案】（1）AD； （2）填表如下： x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1 ﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1； （3）方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0． 【解答】解：（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想， 故答案为：AD； （2）填表如下： x的值 ﹣2 ﹣1 0 1 3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1 根据上表可得﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1； （3）∵y＝ax2+bx+2， ∴当x＝0时，y＝2， 又∵a＜0， ∴方程ax2+bx＝﹣2有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0． 专题八 二次函数的实际应用 考查重点：利润最大、面积最大、方案决策与分段函数建模 36. 【答案】解：在矩形中，，，， ， ，， ≌，≌， 所以． ． 所以当时，的值最大，最大值为． 【解析】利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到与的函数关系． 通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值． 本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键． 37. 【答案】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案； （3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可． 解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110， 故答案为：y＝﹣x+110； （2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90， ∴90×200＝18000（元）， 答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元； （3）分两种情况： ①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5， ∵批发件数x为10的正整数倍， ∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800； ②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x， 当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600， ∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键． 38. 【答案】解：当时，万元， 答：将万元资金投入项目，一年后获得的收益是万元； 由题意得：当时，， ，舍去， ； 设投入项目的资金是万元，投入项目的资金，一年后获利为万元， 由题意得， ， 当时，最大， ， 投入项目的资金是万元，投入项目的资金万元时，一年后获利最大．最大值是万元． 【解析】把代入，从而求得结果； 当时，，，从而求得结果； 设投入项目的资金是万元，投入项目的资金，一年后获利为万元，列出关系式，进一步得出结果． 本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式． 39. 【答案】（1）y＝8x+100，（0≤x≤20，x为整数）； （2）W＝﹣8x2+60x+2000； （3）定价56元，最大利润2112元． 【解答】解：（1）y＝8x+100，且0≤x≤20； （2）W＝（60﹣40﹣x）（8x+100）＝﹣8x2+60x+2000； （3）， ∵﹣8＜0，且x为整数， ∴当x＝4时，最大值为2112， 此时定价为60﹣4＝56． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 40. 【答案】 【解析】解：矩形分割成三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等， ，，， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， 由矩形的面积公式得：， 即， 解得：，， 或， 长为或； ，， ， ， 当时，围成的花圃的面积最大，此时，， 当围成的花圃的面积最大时，长为． 由矩形的性质得出，，，即可得出答案； 由矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； 由，当时，围成的花圃的面积最大，此时，． 本题考查了矩形的性质、矩形的面积公式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． 41. 【答案】（1），； （2）两个位置之间的距离9.6km． 【解答】解：（1）∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ∴抛物线y＝ax2+x和直线均经过点（9，3.6）， ∴3.6＝81a+9，， 解得，b＝6.6， ∴函数解析式分别为：，； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，则： ， ∴最大值， 当时，则， 解得x1＝12，x2＝3， 又∵x＝9时，y＝3.6＞2.4， ∴当y＝2.4km时，则． 解得x＝12.6， 12.6﹣3＝9.6（km）， ∴这两个位置之间的距离9.6km． 42. 【答案】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门． （2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3； 当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44， ∴球不能射进球门． （2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3， 把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3， 解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 43. 【答案】解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达， ，， 解得，，， 即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时、的值分别是； ，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上， 此时抛物线的对称轴为，， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是米； 的顶点为在直线上，， ， 解得，， 抛物线， 当时，， 解得，，， ， 若，，则喷出的抛物线水线能达到岸边， 即若，，喷出的抛物线水线能达到岸边． 【解析】根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得，的值； 根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； 根据，，抛物线的顶点在直线上，抛物线为，可以求得的值，然后令代入抛物线的解析式，求得的值，然后与作比较即可解答本题． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 专题九 二次函数与简单几何综合 考查重点：抛物线与三角形面积、简单几何图形的结合 44. 【答案】（1）把（1，8），（﹣1，0）（0，5），分别代入二次函数，列成方程组求出a、b、c的值； （2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，先把二次函数配成顶点式求出M（2，9），B（5，0），再求出直线BC：y＝﹣x+5，根据MD∥y轴性质求出D点坐标，根据△MCB的面积＝△MCD的面积+△MDB的面积求出结果． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（﹣1，0）， ∴c＝5， 把（1，8），（﹣1，0）分别代入二次函数，得 ， 解得a＝﹣1，b＝4， ∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5； （2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示： ∵y＝﹣x2+4x+5 ＝﹣（x﹣2）2+9； ∴M（2，9），B（5，0）， 设直线BC：y＝kx+b， 把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得 ， 解得k＝﹣1， ∴直线BC：y＝﹣x+5， ∵ME⊥x轴， ∴MD∥y轴， ∴把x＝2代入y＝﹣x+5， 得y＝3， ∴D（2，3）， ∴MD＝6， ∴△MCB的面积＝ ＝×5 ＝15． 【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数的图象与x轴有交点，掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，用割补法求三角形的面积是解题关键． 45. 【答案】（1）①把（0，﹣1）和（2，7）代入二次函数解析式即可求出； ②把x＝﹣5代入解析式求出y1再根据y1+y2＝28进行计算，求出y2，把y2代入解析式即可求出； （2）先根据图象经过点A（2，7），求出a，b之间的关系，再代入2a+b2，用二次函数的性质求最值． 【解答】解：（1）①把B（﹣1，﹣2）和A（2，7）分别代入y＝ax2+bx﹣1可得： ， 解得：， ∴函数的表达式为y＝x2+2x﹣1； ②把x＝﹣5代入二次函数得：y1＝25﹣10﹣1＝14， ∵y1+y2＝28， ∴y2＝14， 把y＝14代入二次函数得：x2+2x﹣1＝14， 解得：x1＝﹣5，x2＝3， ∵点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上两个不同的点， ∴m＝3； （2）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）， ∴4a+2b﹣1＝7， ∴2a＝4﹣b， ∴2a+b2＝b2﹣b+4＝（b﹣）2+， ∵1＞0， ∴2a+b2的最小值为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数求最值，解答问题的关键是熟练掌握二次函数的知识，难度不大． 第三部分 拓展突破篇 C 级·含参最值探究、动点与存在性、新定义压轴，供学有余力的学生挑战 专题十 含参二次函数的最值探究 考查重点：闭区间最值、参数分类讨论、增减性区间与图象翻折 46. 【答案】（1）（0，1）； （2）①a＝2；②见解析． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝1， ∴函数图象过定点（0，1）； （2）①由题意可得： ∴函数图象对称轴为直线x＝1，即顶点坐标为（1，﹣1）， ∴， ∴a＝2， ②证明：函数图象顶点为（1，﹣a+1）， 若a＞0，当x＝0时，y取最大值为1，x＝1时，y取最小值为﹣a+1， ∴1﹣（﹣a+1）＝a＝|a|． 若a＜0，x＝1时，y取最大值为﹣a+1，x＝0时，y取最小值为1， ∴（﹣a+1）﹣1＝﹣a＝|a|， ∴函数最大值与最小值的差为|a|． 47. 【答案】(1)当时，函数的最小值是 (2)n的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数增减性，最值的计算方法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式可知，当时函数有最大值为4，再求出函数值为0时的值，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：二次函数，， ∴函数图象的开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线距离越远，值越小， ∴当时，函数值最小，最小值为， ∴当时，函数的最小值是； （2）解：， 当时，函数有最大值为4， 令，则， 解得：，， 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 综上所述，n的值为或． 48. 【答案】 【解答】解：（1）①当t＝0时，A（8，0）， 把A（8，0）、O（0，0）代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为4； ②∵x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等， ∴， 整理得，a2﹣8a+12＝0， 解得a＝2（不合题意，舍去）或a＝6， ∴a的值为6； （2）∵二次函数的图象经过原点O， ∴c＝0， ∴二次函数， ∴对称轴为直线x＝2b， ∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0）， ∴， 当t≤8时，对称轴为直线x＝2b≤8， ∵0≤x≤8， ∴x＝2b时，y有最大值18， 即， 整理得，b2＝18， ∴或， ∵4＜2b≤8 ∴2＜b≤4， ∴或不合，舍去； 当t＞8时，对称轴为直线x＝2b＞8， ∵， ∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大， ∵0≤x≤8， ∴当x＝8时，y有最大值18， 即， 解得， ∴， ∴t＝9； 综上，t＝9，x＝8． 49. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与不等式、方程的综合应用． （1）由得，再根据得，进而可得的最大值； （2）由在内恒成立，得到，整理得到在内恒成立，据此分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴当时有最小值，当时有最大值， ， ∴， ∴的最大值是7； （2）解：∵在内恒成立， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意； 当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意； 当时，即，从而，解得， 所以，此时， 所以； 当时，即， 从而，解得， 所以， 此时， 所以； 综上所述：的取值范围是． 50. 【答案】（1）依据题意，根据图象与x轴有两个交点，进而利用△≥0进行计算可以得解； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为； （3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+3的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝4t2﹣12≥0． ∴t≥或t≤﹣． （2）由题意得，抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t． 若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值， ∴t2﹣2t2+3＝﹣2， 解得t＝； 若t＞3，当x＝3时函数取最小值， ∴9﹣6t+3＝﹣2， 解得t＝ （不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为． （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 51. 【答案】（1）把（1，0）点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向下得m＜0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 解：（1）把（1，0）代入函数解析式得，m+2m+3＝0， ∴m＝﹣1， ∴函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线开口方向向下， ∴m＜0， ∵y＝mx2+2mx+3＝m（x+1）2+3﹣m， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，3﹣m），即最高点M（﹣1，3﹣m）， ∵点M的纵坐标为5， ∴3﹣m＝5， 解得m＝﹣2， ∴M（﹣1，5），y＝﹣2x2﹣4x+3， ∵﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， ∴最低点N的横坐标为2，此时y＝﹣2×22﹣4×2+3＝﹣13， ∴N（2，﹣13）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤﹣1时，y随x增大而减小， 当x≥﹣1时，y随x增大而增大， ∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤﹣1， ∴a≤﹣3， ②当m＜0时， 则有当x≤﹣1时，y随x增大而增大， 当x≥﹣1时，y随x增大而减小， ∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥﹣1， 综上，当m＞0时a≤﹣3；当m＜0时，a≥﹣1． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． 52. 【答案】（1）用待定系数法可得答案； （2）分三种情况讨论即可； （3）由m＞2a，可得|a﹣0|＜|a﹣m|，即知yx＝0＜yx＝m，故a2+a﹣1＜n，从而可得n＞﹣． 解：（1）把（1，2）代入y＝（x﹣a）2+a﹣1得： 2＝（1﹣a）2+a﹣1， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴函数y的表达式为y＝（x﹣2）2+1或y＝（x+1）2﹣2； （2）抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1开口向上，对称轴是直线x＝a， 当a＜1时，x＝1时y取最小值2， ∴（1﹣a）2+a﹣1＝2， 解得a＝2（舍去）或a＝﹣1； 当1≤a≤4时，x＝a时y取最小值2， ∴a﹣1＝2， 解得a＝3， 当a＞4时，x＝4时y取最小值2， ∴（4﹣a）2+a﹣1＝2， 方程无实数解， 综上所述，二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，a的值为﹣1或3； （3）∵m＞2a， ∴＞a， ∴|a﹣0|＜|a﹣m|， ∴yx＝0＜yx＝m， ∴a2+a﹣1＜n， ∴n＞（a+）2﹣， ∵（a+）2﹣≥﹣， ∴n＞﹣． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，灵活运用二次函数的性质是本题的关键． 53. 【答案】解：（1）对于函数y＝﹣x2+2ax+2，函数开口向下，对称轴为直线x＝a， ∴当x≤a时，y随x的增大而增大， ∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a≥1， 故答案为：a≥1． （2）当x≤2a时， ①若a≥0时，则a＜2a， ∴当x≤a时，y随x的增大而增大，当a＜x≤2a时，y随x的增大而减小， ∴函数的最高点为（a，a2+2）， 由题意可知，a2+2＝4a，解得a＝2+或a＝2﹣； ②若a＜0，则2a＜a＜0， ∴当x≤2a时，y随x的增大而增大， ∴函数的最高点为（2a，2）， 由题意可知，2＝﹣8a，解得a＝﹣； 综上，a的值为2+或2﹣或﹣； （3）当a≤﹣1时，函数在﹣1＜x＜2上，y随x的增大而减小， ∴﹣1﹣2a+2≤4， ∴a≥﹣； ∴﹣≤a≤﹣1； 当﹣1＜a＜2时，函数在﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大；当a≤x＜2上，y随x的增大而减小， ∴a2+2＜4， ∴﹣＜a＜， ∴﹣1＜a＜； 当a≥2，函数在﹣1＜x＜2上，y随x的增大而增大， ∴﹣4+4a+2≤4， ∴a≤； 综上，a的取值范围为：﹣≤a≤． （4）令x＝0，则y＝2， ∴M（0，2）， 令y＝2，则x＝0或x＝2a， ∴直线l与抛物线交于点（0，2），（2a，2）； 函数y＝﹣x2+2ax+2，沿直线l：y＝2翻折后的解析式为y＝（x﹣a）2﹣a2+2； ①当a＞0时，若0＜a＜2a， 若a+1＞2a，即0＜a＜1时，最高点A（2a+1，2a+3），最低点为B（a+1，﹣a2+3）， ∴2a+3﹣（﹣a2+3）＝2， 解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）； 当a+1＜2a时，即a＞1时，最低点为（2a，2）， 且当1＜a＜2时，最高点为A（2a+1，2a+3）， ∴2a+3﹣2＝2， 解得a＝（舍） 当a＞2时，最高点为B（a+1，a2+1）， ∴a2+1﹣2＝2， 解得a＝﹣（舍）或a＝（舍）； ②当a＜0时，若2a＜a＜0， 若2a+1＞0，即﹣＜a＜0时，最高点为B（a+1，﹣a2+3），最低点A（2a+1，2a+3）， ∴﹣a2+3﹣（2a+3）＝2，无解； 当2a+1＜0＜a+1，即﹣1＜a＜﹣时，最低点为（0，2），B（a+1，﹣a2+3），A（2a+1，﹣2a+1）， ∴﹣2a+1﹣2＝2或﹣a2+3﹣2＝2， 解得a＝﹣（舍）或无解； 当2a+1＜a+1＜0，即a＜﹣1时，A（2a+1，﹣2a+1），B（a+1，a2+1），最高点为（a，a2+2） 当﹣2＜a＜﹣1时，最低点为B（a+1，a2+1）， ∴a2+2﹣（a2+1）＝2，无解； 当a＜﹣2时，最低点为A（2a+1，﹣2a+1）， ∴a2+2﹣（﹣2a+1）＝2， 解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣． 综上，a的值为﹣1+或﹣1﹣． 专题十一 二次函数与几何综合 考查重点：动点与线段最值、等腰三角形存在性、全等构造与坐标几何 54. 【答案】解：二次函数的图象与轴的负半轴交于点， ， 解得，， ， 即二次函数的解析式为； ， 当时，， 点的坐标为， 设过点，的直线解析式为， ，得， 即直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， ， 当时，线段取得最大值，此时， 即线段长度的最大值是． 【解析】根据二次函数的图象与轴的负半轴交于点，可以求得的值，从而可以得到该抛物线的解析式； 先求出点的坐标，然后根据点和点的坐标，可以求得直线的解析式，然后设出点的坐标，根据点和点的纵坐标相等，可以得到点的坐标，然后利用二次函数的性质，即可得到线段的最大值，本题得以解决． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 55. 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）x≤﹣3或x≥0； （3）P（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣1，3）或（﹣1，3）． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，﹣3）代入得﹣3＝﹣3a， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝（x+3）（x﹣1）， 即y＝x2+2x﹣3； （2）由函数图象可知，当抛物线不在直线AC上方时，x≤﹣3或x≥0， ∴ax2+bx+c≥mx+n的解集为x≤﹣3或x≥0； （3）设P（m，m2+2m﹣3）， ∵三角形ABP的面积为6， ∴6， 解得m＝0或﹣2或﹣1或﹣1， ∴P（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣1，3）或（﹣1，3）． 56. 【答案】解：将点，点代入， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 点，点， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， ， ， 解得： ； 由抛物线的表达式知，， 轴， ， 设， 如图：过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，， 解得：， 或 【解析】用待定系数法求函数的解析式即可； 设，则，，则，由列出等式，即可求解； 设，过点作轴交于点，通过证明≌，求出，再求直线的解析式，进而求解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键． 57. 【答案】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x＝﹣求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x＝0，可求出点C坐标；令y＝0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， ∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0， 解得：b＝， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+x+4， ∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+， ∴对称轴方程为：x＝3． （2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0， 解得：x＝8或x＝﹣2， ∴B（8，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4． （3）存在， 理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3， 可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴AC＝2，AQ＝，CQ＝． ①当AQ＝CQ时， 有＝， 25+t2＝t2﹣8t+16+9， 解得t＝0， ∴Q1（3，0）； ②当AC＝AQ时， 有2＝， ∴t2＝﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； ③当AC＝CQ时， 有2＝， 整理得：t2﹣8t+5＝0， 解得：t＝4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论． 专题十二 新定义与综合探究 考查重点：新定义阅读理解、整点问题、直线与抛物线的综合探究 58. 【答案】解：（1）①中a＝3，b＝2，c＝2， ∴（a+b）2＝25，4ac＝24， ∵25≠24， ∴①符合题意； ②中a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴（a+b）2＝0，4ac＝0， ∵0＝0， ∴②不符合题意； ③中a＝1，b＝0，c＝1， ∴（a+b）2＝1，4ac＝0， ∵0≠1， ∴③符合题意； 故答案为：①③； （2）∵抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”为直线y＝ax+1， ∴（1+a）2＝4ac，即c＝． ∵直线y＝ax+1与反比例函数的图象只有一个交点， ∴联立直线y＝ax+1与反比例函数的方程只有一个解， 令ax+1＝﹣，整理得ax2+x+4c＝0， 把c＝代入得，ax2+x+＝0， ∴12﹣4a•＝0， 解得a＝﹣或a＝﹣． ∴c＝﹣或c＝﹣． （3）是定值，理由如下： 根据题意画出如下图象，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q， ∵“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点， ∴令ax2+bx+c＝ax+2a+b， 整理得ax2+（b﹣a）x+（c﹣2a﹣b）＝0， ∴xA﹣xB＝﹣，xA•xB＝． ∴|xA﹣xB|＝＝． ∵（a+b）2＝4ac， ∴|xA﹣xB|＝2， ∵y＝ax+2a+b可以看作由y＝ax+b向上移动2a个单位得到， ∴PQ＝2a， ∴S＝PQ•|xA﹣xB|＝2a， ∴＝2， ∴的值是定值，该定值为2． 59. 【答案】（1）求出点A坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式即可． （2）利用配方法求出顶点坐标，代入直线解析式即可． （3）①利用配方法，即可解决问题． ②分三种情形：当﹣≤﹣3时．当﹣3＜﹣≤0时．当﹣＞0时，分别列出方程即可解决． 【解答】解：（1）∵点A坐标（﹣3，0）代入抛物线y＝x2+mx+n，得9﹣3m+n＝0， ∴n＝3m﹣9． 故答案为3m﹣9． （2）∵抛物线为y＝x2+mx+3m﹣9＝（x+）2﹣+3m﹣9， ∴顶点为（﹣，﹣+3m﹣9）， ∴﹣+3m﹣9＝﹣3， 整理得m2﹣10m+24＝0， ∴m＝4或6（舍弃）． ∴m＝4，n＝3． （3）①∵y＝x2﹣2x﹣15＝（x﹣1）2﹣16， ∵﹣3≤x≤0， ∴x＝0时，y的最小值为﹣15． ②∵﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，y＝x2+mx+3m﹣9＝（x+）2﹣+3m﹣9， 当﹣≤﹣3时，x＝﹣3时，y＝﹣4， ∴9﹣3m+3m﹣9＝﹣4， 无解不合题意． 当﹣3＜﹣≤0时，x＝﹣时，y＝﹣4， ∴﹣+3m﹣9＝﹣4， ∴m＝2或10（舍弃） ∴m＝2． 当﹣＞0时，x＝O时，y＝﹣4， ∴3m﹣9＝﹣4， ∴m＝不合题意舍弃． 综上所述m＝2． 【点评】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 60. 【答案】（1）顶点P的坐标为（1，﹣4a）； （2）①； ②（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）； （3）a的取值范围为或． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为P，且y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴P（1，﹣4a）； （2）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3），代入得： 3＝a﹣2a﹣3a， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A（﹣1，0），点B（3，0）． 当x＝0时，得：， ∴（0，1），（0，2）两个整点在“U区域”； 当x＝1时，得：， ∴（1，1），（1，2）两个整点在“U区域”； 当x＝2时，， ∴（2，1），（2，2）两个整点在“U区域”； （3）a的取值范围为或．理由如下： 当x＝0时，得：y＝﹣3a， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）． 当a＜0时，如图1， 此时， 解得； 当a＞0时，如图2， 此时， 解得：； 综上所述，如果“U区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【解答题专项卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 难度层级 知识点专题 题号 题数 难度 第一部分 专题一 二次函数的概念 1 1 ★☆☆ 基础 第一部分 专题二 二次函数的图象与性质 2—10 9 ★☆☆ 基础 第一部分 专题三 二次函数解析式的确定 11—22 12 ★☆☆ 基础 第一部分 专题四 二次函数与一元二次方程 23—25 3 ★☆☆ 基础 第一部分 专题五 二次函数的简单实际应用 26—28 3 ★☆☆ 基础 第二部分 专题六 含参二次函数的图象与性质 29—32 4 ★★☆ 提高 第二部分 专题七 二次函数与方程、不等式 33—35 3 ★★☆ 提高 第二部分 专题八 二次函数的实际应用 36—43 8 ★★☆ 提高 第二部分 专题九 二次函数与简单几何综合 44—45 2 ★★☆ 提高 第三部分 专题十 含参二次函数的最值探究 46—53 8 ★★★ 拓展 第三部分 专题十一 二次函数与几何综合 54—57 4 ★★★ 拓展 第三部分 专题十二 新定义与综合探究 58—60 3 ★★★ 拓展 第一部分 基础巩固篇 A 级·面向全体，夯实二次函数基本概念、图象、性质与解析式的求解 专题一 二次函数的概念 考查重点：二次函数的定义与识别，二次项系数的限制条件，与一次函数的辨析 1. 已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 专题二 二次函数的图象与性质 考查重点：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判定；一般式与顶点式的互化；图象的平移与描点画图 2. 当时，求二次函数的最大值． 3. 下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 4. 已知二次函数． (1)确定该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 5. 已知二次函数． (1)把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 6. 已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象． 7. 已知：二次函数 (1)将函数解析式化为的形式； (2)补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … (3)结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 8. 已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 9. 已知二次函数y＝x2﹣4x+6． （1）将y＝x2﹣4x+6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当﹣1＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围． 10. 已知二次函数y＝（x﹣1）2+2． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值； （2）当x＝6时，求y的值． 专题三 二次函数解析式的确定 考查重点：一般式、顶点式、交点式的选择与待定系数法，结合图象或表格信息求解析式 11. 已知二次函数的图象过点． 求该二次函数的表达式． 求该二次函数图象与轴的交点坐标． 12.已知抛物线y＝x2＋4x﹣5； （1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 13. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且经过点（﹣1，﹣8）． （1）求抛物线的解析式； （2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标． 14. 如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 15. 已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点． （1）求p，q的值． （2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上． 16. 已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过A（1，4），C（0，3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数图象直接写出： ①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围； ②当y≤3时，x的取值范围． 17. 已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4． （1）求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； （2）此函数图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标． 18. 已知二次函数中的满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … (1)的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式． (3)画出这个二次函数的图象． 19. 已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 20. 已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象如图所示． （1）写出c的值； （2）求出函数的表达式． 21. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表： 直接写出的值，并求该二次函数的表达式； 点能否在该函数图象上？若能，请求出的值，若不能，请说明理由． 22. 已知二次函数图象的顶点坐标（﹣1，3），且经过点（1，﹣1）． （1）求这个二次函数表达式； （2）若点A（m，﹣6）在该函数图象上，求点A的坐标． 专题四 二次函数与一元二次方程 考查重点：用判别式判定抛物线与 x 轴交点个数，求交点坐标 23. 已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 24.已知二次函数． 求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点； 若该函数图象与轴交于点，求该函数的图象与轴的交点坐标． 25. 已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 专题五 二次函数的简单实际应用 考查重点：拱桥、喷泉、铅球等抛物线型实际问题的建模与求解 26. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． 求这条抛物线的解析式． 一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？ 27. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． 水流喷出的最大高度是多少？ 若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 28. 一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系，求铅球出手时距地面的高度． 第二部分 能力提升篇 B 级·含参讨论、图象信息转化、实际应用建模与初等综合 专题六 含参二次函数的图象与性质 考查重点：含字母系数时的对称轴、增减性与最值分析，参数取值范围的确定 29.已知二次函数为常数． 求证：函数与轴有两个交点； 若当时，随的增大而增大，求的取值范围． 30.已知二次函数为非零实数． 当时，求二次函数图象与轴的交点坐标； 若二次函数有最小值． 求证：当时，随的增大而减小； 求的取值范围． 31. 设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）． （1）若a＝2，求该函数解析式； （2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围． 32. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，直接写出抛物线与轴交点的坐标及的值； (2)若，求的取值范围． 专题七 二次函数与方程、不等式 考查重点：函数图象与方程、不等式的互化，利用图象解方程与不等式，新定义初步 33. 已知一次函数y1＝2x﹣2与二次函数相交于A（3，a）、B（b，﹣6）两点． （1）求a、b的值； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围． 34. 新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3] （1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 　　． （2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 35. 下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解． 例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察如图，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6． 【任务】（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是（ ） ．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成如表，并判断：方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 ﹣2 ﹣1 0 3x2﹣x﹣1的值 （3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况． 专题八 二次函数的实际应用 考查重点：利润最大、面积最大、方案决策与分段函数建模 36. 如图，在矩形中，，，，，，四点依次是边，，，上一点不与各顶点重合，且，记四边形面积为图中阴影，． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 求为何值时，的值最大，并写出的最大值． 37. 某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍． （1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 　． （2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？ （3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？ 38.某企业准备对，两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：，投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：． 若将万元资金投入项目，一年后获得的收益是多少？ 若对，两个项目投入相同的资金万元，一年后两者获得的收益相等，则的值是多少？ 年，我国对小微企业施行所得税优惠政策该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计万元，全部投入到，两个项目中，当，两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 39. 亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． （1）写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； （3）零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 40. 如图，某小区准备用总长的篱笆围成一块矩形花圃为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆与将矩形分割成三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设． 填空： ______ 用含的代数式表示 当矩形区域的面积为时，求长． 当围成的花圃的面积最大时，求长． 41. 某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线y＝ax2+x，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． （1）求两段路径所在函数解析式； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． 42. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 43. 音乐喷泉图可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线图，这组抛物线的统一形式为． 若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值； 若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ 若，，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 专题九 二次函数与简单几何综合 考查重点：抛物线与三角形面积、简单几何图形的结合 44. 已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积． 45. 二次函数y＝ax2+bx﹣1（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（2，7）． （1）若该函数图象经过点B（﹣1，﹣2）， ①求函数的表达式． ②若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值． （2）求2a+b2的最小值． 第三部分 拓展突破篇 C 级·含参最值探究、动点与存在性、新定义压轴，供学有余力的学生挑战 专题十 含参二次函数的最值探究 考查重点：闭区间最值、参数分类讨论、增减性区间与图象翻折 46. 已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数）． （1）求二次函数图象经过的定点的坐标； （2）已知函数图象过（2，1）． ①若函数图象与直线y＝﹣1只有一个公共点，求a的值； ②求证：当0≤x＜t，且1＜t≤2时，函数最大值与最小值的差为|a|． 47. 已知二次函数． (1)当时，函数的最小值是多少？ (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 48. 已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ ②当x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，求a的值． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值． 49. 已知a，b为实数，函数，其中． (1)若，求y的最大值； (2)若在内恒成立，求的取值范围． 50. 在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象与x轴有两个交点，求t的取值范围； （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．请直接写出m的取值范围． 51. 已知二次函数y＝mx2+2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向下，当﹣2≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 52. 在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）． （1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式． （2）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值． （3）已知（m，n）（m＞0）在函数y的图象上，当m＞2a时，求证：n＞﹣． 53. 在平面直角坐标系中，已知函数y＝﹣x2+2ax+2（a为常数）． （1）当x≤1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 　； （2）当x≤2a，且对应函数图象的最高点到x轴的距离是其到y轴距离的4倍时，求a的值． （3）函数y＝﹣x2+2ax+2，若﹣1＜x＜2时，y＜4恒成立，直接写出a的取值范围． （4）设此函数与y轴的交点为M，过点M作y轴的垂线l，原函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，得到的新图象与原函数未翻折的部分图象合在一起称为图象G，在图象G上有A、B两点，其中A（2a+1，m），B（a+1，n），若在A、B两点间部分（包括A、B两点）的图象的最高点与最低点的差为2时，直接写出a的值． 专题十一 二次函数与几何综合 考查重点：动点与线段最值、等腰三角形存在性、全等构造与坐标几何 54. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． 求二次函数的解析式； 若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 55. 已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一直线l：y＝mx+n经过点A、C，直接写出不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集； （3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，请直接写出P点的坐标． 56. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点． 求抛物线的解析式； 如图，当线段长度是线段长度的倍时，求点的横坐标； 如图，当点运动到抛物线顶点时，点是轴上的动点，连接，过点作直线，连接并延长交直线于点，当时，请直接写出点的坐标． 57. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 专题十二 新定义与综合探究 考查重点：新定义阅读理解、整点问题、直线与抛物线的综合探究 58. 若抛物线M：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线m：y＝ax+b满足（a+b）2＝4ac，则称抛物线M与直线m具有“至青”关系．此时，直线m叫做抛物线M的“至善线”，抛物线M叫做直线m的“青一线”． （1）下列各组抛物线与直线中，不具有“至青”关系的是 　 　（只填序号）； ①y＝3x2+2x+2与y＝3x+2； ②y＝x2﹣x与y＝x﹣1； ③y＝x2+1与y＝x+1 （2）若抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”与反比例函数的图象只有一个交点，求c的值； （3）已知“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与它的“至善线”交于点P，与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，记△ABP的面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 59. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上． （1）n＝　　（用含m的代数式表示）； （2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值； （3）①设m＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y＝x2+mx+n的最小值； ②若﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m的值． 60. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． （1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过点（1，3）． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $