26.2.2二次函数y=ax²的图象和性质 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²的图象和性质核心知识点，系统梳理抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标等图象特征，以及开口大小、增减性、最值等性质，构建二次函数学习的基础支架，为后续复杂形式学习奠定基础。 资料亮点在于典例精析分题型点拨，如图象识别紧扣a值判断开口方向，点与抛物线关系强调代入检验，分层训练覆盖基础到综合。通过题型辨析培养推理能力，图象分析发展几何直观，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

初中数学（RJ）九年级上册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会画出的图象，掌握开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.图象：以原点为顶点、轴为对称轴的抛物线；开口向上，开口向下。 2.开口大小：越大抛物线越瘦（开口越窄），越小越胖（开口越宽）。 3.对称性：关于轴对称；顶点 (0,0) 既是最高点（）也是最低点（） 4.增减性：时递减、递增；时相反 三、典例精析 题型 1 　图象识别与性质辨析 ★ 点拨　紧扣 a 确定开口方向，越大，图象的开口越小 1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 题型 2 　点与抛物线的关系　 ★ 点拨　代入检验；已知求解方程 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）点在抛物线上，且点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】将点的横坐标代入解析式求纵坐标，即求得点的坐标． 【详解】将 代入 得： ， ∴． 题型 3 　比较函数值大小　 ★ 点拨　直接代入计算，或比较各点与对称轴的距离并结合开口方向 1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 2．（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 题型 4 　增减性与二次函数定义求参数 ★ 点拨　先定开口与对称轴，二次项系数不为0，未知数最高次数为2 1．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 题型 5 　值域与最值（区间分类讨论） ★ 点拨　画草图；判断对称轴是否在区间内，在区间内取顶点值，否则取端点值 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，；当时，；当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 【答案】； 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得，解得； 故答案为：； （2）由题意可得二次函数的解析式为， 当时，有最大值为0， 当时，，当时，， ∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则， 故答案为：． 题型 6 　图象的对称与变换 ★ 点拨　由对称性将图形对称，形成可求面积的图形 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，圆的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性和圆的面积公式，解题关键是正确转化阴影部分面积． 根据二次函数的对称性得出图中阴影部分面积即为半圆的面积，直接利用公式求面积即可． 【详解】解：图中阴影部分面积即为半圆的面积， ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 四、分层训练 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 7．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）已知抛物线经过点，则时，图象上最高点的坐标为______． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 11．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 12．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 13．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）解答下列各题 (1)在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④． (2)观察（1）中所画的图象，填空： ①所画图象的形状都是______，对称轴都是______，顶点坐标都是______． ②这四条抛物线中，开口向上的有______，开口向下的有_____（填序号）；抛物线的开口大小与有关，越大，开口______；越小，开口______． ③抛物线与抛物线______的形状相同，且它们关于______对称． ④抛物线的顶点是它的最______点，当______时，y随x的增大而增大；当______时，y随x的增大而减小． 15．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 16．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 17．（2025·陕西商洛·一模） 已知二次函数的图像经过． (1)求这个二次函数的解析式； (2)请写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴和开口方向． 18．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会画出的图象，掌握开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性；能由图象读出对称轴、顶点、最值、开口方向、与坐标轴交点。 二、知识梳理 知识点 1 　二次函数的图象与性质 1.图象：以原点为顶点、轴为对称轴的抛物线；开口向上，开口向下。 2.开口大小：越大抛物线越瘦（开口越窄），越小越胖（开口越宽）。 3.对称性：关于轴对称；顶点 (0,0) 既是最高点（）也是最低点（） 4.增减性：时递减、递增；时相反 三、典例精析 题型 1 　图象识别与性质辨析 ★ 点拨　紧扣 a 确定开口方向，越大，图象的开口越小 1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 题型 2 　点与抛物线的关系　 ★ 点拨　代入检验；已知求解方程 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）点在抛物线上，且点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】将点的横坐标代入解析式求纵坐标，即求得点的坐标． 【详解】将 代入 得： ， ∴． 题型 3 　比较函数值大小　 ★ 点拨　直接代入计算，或比较各点与对称轴的距离并结合开口方向 1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 2．（21-22九年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 题型 4 　增减性与二次函数定义求参数 ★ 点拨　先定开口与对称轴，二次项系数不为0，未知数最高次数为2 1．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 题型 5 　值域与最值（区间分类讨论） ★ 点拨　画草图；判断对称轴是否在区间内，在区间内取顶点值，否则取端点值 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，；当时，；当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 【答案】； 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得，解得； 故答案为：； （2）由题意可得二次函数的解析式为， 当时，有最大值为0， 当时，，当时，， ∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则， 故答案为：． 题型 6 　图象的对称与变换 ★ 点拨　由对称性将图形对称，形成可求面积的图形 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，圆的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性和圆的面积公式，解题关键是正确转化阴影部分面积． 根据二次函数的对称性得出图中阴影部分面积即为半圆的面积，直接利用公式求面积即可． 【详解】解：图中阴影部分面积即为半圆的面积， ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 四、分层训练 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数，解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是熟练运用二次函数的定义以及性质．根据二次函数的定义以及性质，求解即可； 【详解】∵ 是二次函数， ∴ ，解得或， 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下，即， ， ， 故答案为：． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】向上；轴； 【分析】利用的图像和性质求解即可． 【详解】解：， 开口向上； 型对称轴为轴，顶点为， 对称轴为轴，顶点为． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 7．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴，解得． 故答案为： 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）已知抛物线经过点，则时，图象上最高点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先把点代入抛物线求出的值，可得抛物线的解析式为，可知抛物线开口向上，分别计算出当时和当时的值，比较得出最高点的坐标即可． 【详解】解：抛物线经过点， ， ，抛物线为， ， 抛物线开口向上， 在范围内， 当时，，当时，， ， 时，图象上最高点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上；(2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即，解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 ，解得. 11．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得解析式后，将代入后可判断； （2）由条件可知、两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小． 【详解】(1)解：将代入，得， 这个函数的表达式为． 当时，， 点不在此抛物线上． (2)解：当时，函数值随的增大而增大， 又∵， ． 12．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)4；(2)16 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ，解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 13．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)；(2)点B不在此抛物线中；(3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ，此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：，， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）解答下列各题 (1)在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④． (2)观察（1）中所画的图象，填空： ①所画图象的形状都是______，对称轴都是______，顶点坐标都是______． ②这四条抛物线中，开口向上的有______，开口向下的有_____（填序号）；抛物线的开口大小与有关，越大，开口______；越小，开口______． ③抛物线与抛物线______的形状相同，且它们关于______对称． ④抛物线的顶点是它的最______点，当______时，y随x的增大而增大；当______时，y随x的增大而减小． 【答案】见详解 【详解】(1) (2)①：抛物线；y轴；；②：①②；③④；越小；越大；③：；x轴；④：高；； 15．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或；(2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小；(3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴，解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 16．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为，最小值为0 【分析】（1）先求出点的纵坐标，再求出二次函数的解析式； （2）根据（1）中求得的二次函数解析式，得出开口方向与对称轴，再确定增减性； （3）根据（1）中求得的二次函数解析式，在范围内求出二次函数值y的最大值和最小值． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 又二次函数的图像与直线交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）∵二次函数， ∴开口向上，对称轴为轴， ∴当时，二次函数值y随x的增大而减小； （3）二次函数， 当时，； 当时，； 当时，， 所以当时，求二次函数值y的最大值为，最小值为0． 17．（2025·陕西商洛·一模） 已知二次函数的图像经过． (1)求这个二次函数的解析式； (2)请写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴和开口方向． 【答案】(1)；(2)顶点坐标为，对称轴为y轴，开口方向向下 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质． （1）根据二次函数的图像经过，可得a的值，进而得出二次函数的解析式； （2）根据二次函数的解析式为即可得到顶点坐标、对称轴和开口方向． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为y轴，开口方向向下． 18．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴；(2)；(3)图见详解，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴，解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 根据图象可知： 当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $