26.3二次函数与一元二次方程【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“二次函数与一元二次方程”核心知识点，系统梳理二次函数图象与x轴交点情况（无交点、一个交点、两个交点）与一元二次方程根的判别式（Δ<0、Δ=0、Δ>0）的对应关系，构建从函数图象到方程求解的学习支架，衔接交点距离公式及与不等式的关系。 资料以“数形结合”思想为主线，通过图象法探究方程根的情况培养几何直观，借助逐步逼近法求近似根发展推理能力，分10类题型解析并设基础、拔高、拓展分层训练，课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

26.3二次函数与一元二次方程 学习目标和重难点 1、经历从图象到方程的探究过程，理解二次函数与一元二次方程的内在联系，体会“数形结合”与“函数与方程互相转化”的数学思想。 2、掌握抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程根的判别式之间的对应关系，并能利用图象法（逼近法）求一元二次方程的近似根。 教学重点 1、掌握二次函数图象与x轴的交点情况（无交点、一个交点、两个交点）与对应一元二次方程根的三种情况（无实数根、两个相等实数根、两个不等实数根）之间的对应关系。 2、运用判别式Δ快速判断抛物线与x轴的交点个数及方程根的情况。 教学难点 1、深刻理解“当函数值y=0时，自变量x的值即为方程的根”这一数形转化逻辑。 2、掌握利用二次函数图象结合“逐步逼近”的思想，求一元二次方程近似根的方法。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 题型02 求抛物线与y轴的交点坐标 题型03 抛物线与坐标轴交点个数 题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 题型05 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型06 图像法求一元二次方程近似解 题型07求x轴与抛物线的截线长 题型08 图像法解一元一次不等式 题型09 二次函数与直线的交点问题 题型10 抛物线与x轴交点上的四点问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【针对训练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．抛物线与轴交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为轴 B．当时，的值随值的增大而增大 C．一元二次方程的两个根均为正数 D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【针对训练】 1．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【针对训练】 1．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C．或 D．或 2．已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 3．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 题型解析◆精准备考 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例1】抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 题型02 求抛物线与y轴的交点坐标 【典例1】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（   ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 题型03 抛物线与坐标轴交点个数 【典例1】二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【变式1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 【典例1】已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 【变式1】若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 题型05 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【典例1】点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型06 图像法求一元二次方程近似解 【典例1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型07求x轴与抛物线的截线长 【典例1】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 题型08 图像法解一元一次不等式 【典例1】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 题型09 二次函数与直线的交点问题 【典例1】已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式1】一次函数与抛物线的交点个数为______个． 题型10 抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例1】将抛物线位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，原抛物线在x轴下方的部分与翻折后所得图象共同组成的新图象与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 3．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 4．下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 6．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 9．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 10．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 11．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． ③ 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 12．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 14．如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 15．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 16．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 17．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 18．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 19．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 20．已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　　） A． B． C． D． 21．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 23．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 24．若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 25．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 26．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 27．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 28．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 29．如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程 学习目标和重难点 1、经历从图象到方程的探究过程，理解二次函数与一元二次方程的内在联系，体会“数形结合”与“函数与方程互相转化”的数学思想。 2、掌握抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程根的判别式之间的对应关系，并能利用图象法（逼近法）求一元二次方程的近似根。 教学重点 1、掌握二次函数图象与x轴的交点情况（无交点、一个交点、两个交点）与对应一元二次方程根的三种情况（无实数根、两个相等实数根、两个不等实数根）之间的对应关系。 2、运用判别式Δ快速判断抛物线与x轴的交点个数及方程根的情况。 教学难点 1、深刻理解“当函数值y=0时，自变量x的值即为方程的根”这一数形转化逻辑。 2、掌握利用二次函数图象结合“逐步逼近”的思想，求一元二次方程近似根的方法。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 题型02 求抛物线与y轴的交点坐标 题型03 抛物线与坐标轴交点个数 题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 题型05 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型06 图像法求一元二次方程近似解 题型07求x轴与抛物线的截线长 题型08 图像法解一元一次不等式 题型09 二次函数与直线的交点问题 题型10 抛物线与x轴交点上的四点问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【针对训练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，其中，， ∵ ∴抛物线开口向上，故选项A错误． ∵对称轴为直线 ∴选项B错误． ∵当时，，即抛物线与轴交点为，而与轴交点需满足，故选项C错误． ∵将解析式配方得 ∴顶点坐标为，故选项D正确． 2．抛物线与轴交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为轴 B．当时，的值随值的增大而增大 C．一元二次方程的两个根均为正数 D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． 根据二次函数解析式可求解对称轴可判断A选项，根据函数的对称轴可判断函数的增减性可判断B选项，根据二次函数的图象与x轴的交点可判断CD选项． 【详解】解：A选项，二次函数为， ∴对称轴为，不是轴，故错误； B选项，当时，的值随值的增大而增大， 而，故错误； C选项，一元二次方程的两个根即为二次函数与x轴的交点， 由图象可知，该函数与x轴的交点一正一负， ∴一元二次方程的两个根一正一负，故错误； D选项，根据图象可知，二次函数与x轴正半轴的交点位于3和3.5之间， ∴一元二次方程的一个根在3和3.5之间，故正确 ． 故选：D ． 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【针对训练】 1．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，抛物线与x轴有两个交点等价于一元二次方程的判别式大于零，据此求解k的范围并对比选项，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 则， 解得 ， 结合四个选项，唯有A选项，即A选项符合题意； 故选：A． 2．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）令，求出点和点的坐标即可解决问题． （3）根据函数图像即可直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题知，将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）令得， ， 解得，． 则． 所以的长为． （3）由图像可知：当时，或， 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【针对训练】 1．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 2．已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集是解题的关键．先把代入得，所以，整理得，由于任意实数x，不等式都成立，则把问题转化为抛物线不在x轴下方，即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点，利用根的判别式的意义得到，所以，然后利用非负数的性质确定． 【详解】解：把代入得，， ， ， 整理得， 对于任意实数x，都有， ∴抛物线不在x轴下方， 即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点， ， 即， 整理得， ， 即． 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 题型解析◆精准备考 题型01 求抛物线与x轴的交点坐标 【典例1】抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 【变式1】二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 题型02 求抛物线与y轴的交点坐标 【典例1】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 故选：A． 【变式1】二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（   ） x … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为直线，故B正确； ∵当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A正确； 当时，，即，故C正确； 由表格可知，当时，随增大而减小，故D错误， 故选：D． 题型03 抛物线与坐标轴交点个数 【典例1】二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 【变式1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 当时，， ∴， ∴方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点； 综上，抛物线与坐标轴共有两个交点； 故选：C． 题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数 【典例1】已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题关键是一元二次方程根的判别式的应用，需注意抛物线的二次项系数不能为(否则为一次函数，不满足抛物线的定义)．首先明确抛物线与轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式；然后代入判别式公式建立关于的方程，求解后验证不为0即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴对应的一元二次方程有两个相等的实数根，且， 对于一元二次方程， 判别式，解得，且符合抛物线的条件； 故答案为：． 【变式1】若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，即二次方程 有实数根． 其中 , , ． ∴． 解得 ． 故答案为 ． 题型05 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【典例1】点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得． 【详解】解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， ∴点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， ∴关于的一元二次方程的两个解为，， 即关于的一元二次方程的解是，， 故选：C． 【变式1】如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程,掌握知识点是解题的关键。 根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象与x轴的交点坐标为和点， ∴关于x的方程的解为； 故选B． 题型06 图像法求一元二次方程近似解 【典例1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【变式1】如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 题型07求x轴与抛物线的截线长 【典例1】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 题型08 图像法解一元一次不等式 【典例1】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 【变式1】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 题型09 二次函数与直线的交点问题 【典例1】已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】C 【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数． 【详解】解：∵直线过一、二、三象限， ∴． 由题意得：， 即， ∵△， ∴此方程有两个不相等的实数解． ∴直线与抛物线的交点个数为2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键． 【变式1】一次函数与抛物线的交点个数为______个． 【答案】2（或“两”） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键． 【详解】解：联立方程组， 化简得， ∴， ∴方程有2个不等的实数根， ∴一次函数与抛物线的交点个数为2个， 故答案为：2． 题型10 抛物线与x轴交点上的四点问题 【典例1】将抛物线位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，原抛物线在x轴下方的部分与翻折后所得图象共同组成的新图象与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的基本性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据二次函数的性质求出对称轴和顶点纵坐标，确定m的范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：由得，对称轴为直线，则顶点纵坐标为， ∴m的范围为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 将抛物线沿x轴翻折后，解析式变为， 直线与抛物线的交点横坐标满足方程， 即， ∴； 直线与抛物线的交点横坐标满足方程， 即， ∴； 则， ∵， ∴， ∴t的范围为． 故选：A． 【变式1】二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分情况讨论． 首先求出对称轴为直线，然后根据题意分和两种情况讨论，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴为直线 ①当时，抛物线开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故A正确，B错误； ②当时，抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故C，D均错误． 故选：A． 1．若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 3．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 4．下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 6．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 7．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 【答案】 0和4 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，理解两者的关系是解题关键． 将看作一个整体，通过整体换元，由方程的解确定换元后的抛物线与x轴的交点，再代换求解即可． 【详解】解：令， 则抛物线 ， ∵关于x的方程 的解为 ，， ∴方程的解为，， ∴，或， 解得或， 故抛物线 与x轴的交点的横坐标为0和4， 故答案为：0和4． 8．已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 9．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 10．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 11．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，x的取值范围是______； ②当时，y的取值范围是______． ③ 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】(1) 如图所示. (2)①；②；③ 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据列表，描点，连线可得图象； 对于（2），①观察图象在x轴下方的部分符合题意；②观察图象可知函数的最小值在取值范围内，最大值小于3，可得答案；③一元二次方程有实数根，即为二次函数与直线有交点符合题意. 【详解】（1）解： 列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 （2）解：①当时，； ②当时，； ③一元二次方程有实数根，则m的取值范围是. 故答案为：；；. 12．函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 【详解】如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 在一元二次方程中，，，，可得 ． 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以函数与轴的交点为个． 故选：C 13．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 利用和所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵时，，即； 时，，即， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：D． 14．如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】利用数形结合的思想判断选择即可． 本题考查了抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的交点，数形结合思想，熟练掌握抛物线与一元二次方程的交点，最值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点的纵坐标为3， ∴二次函数的图象与直线只有1个交点， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 15．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 16．已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 17．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 18．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与二次不等式，运用数形结合思想是解题关键． 将不等式转化为二次函数与一次函数之间的大小比较，并结合函数的图象确定解集． 【详解】解：不等式的解集可以看作一次函数的图象不低于二次函数的图象的时对应的自变量的取值， 结合图象可知，点以及点的左侧，点以及点的右侧，符合题意， ∴关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 19．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 20．已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意，得到，对称轴与轴的交点的横坐标，进行求解即可. 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小， ∴， 解得. 21．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 22．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 23．如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方， ∵， ∴当时，则， 故选：C 24．若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 【答案】或 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 25．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 26．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 27．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 28．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1) 证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． (2) (3) 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求x轴与抛物线的截线长、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 29．如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为 (2)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可； （2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得：， ， ∵直线经过点 B， C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点， ∴不等式的解集是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $