精品解析：河南郑州外国语中学2026-2027学年上学期九年级数学作业反馈

2026—2027学年上学期九年级数学作业反馈 满分：120分 时间：100分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的分式方程有增根，则这个增根为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 6. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个不同的交点 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 12. 将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____． 15. 如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求解答下列各题： （1）解不等式组． （2）化简：． 17. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ； （2）证明： 19. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 20. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 21. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 （3）若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 23. 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． （1）【初步感知】线段与的数量关系为________． （2）【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． （3）【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期九年级数学作业反馈 满分：120分 时间：100分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 2. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 若关于的分式方程有增根，则这个增根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 分式方程的增根会使分式的分母为，该分式方程的分母为， ∴ 令，解得， ∴这个增根为． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据关于原点位似且位似比为、对应点在第一象限的条件，确定坐标变换规则为原坐标乘，再代入点的坐标计算得到的坐标即可． 【详解】解：∵与关于原点位似，位似比为，且在第一象限， ∴点的对应点的坐标为原坐标乘以​， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 6. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得，，利用菱形的面积公式求得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵该菱形的面积为30， ∴， ∵，， ∴． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个不同的交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 8. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解. 【详解】解：连接  、  ，如图所示， 在  中，  ，  ，  ，  ，  点  分别为  的中点，  是  的中位线，  ， 由题意得，当点  与点  重合时  最大，最大值为 ，  长度的最大值为 ． 9. 如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（ ） A. B. 的大小 C. D. 四边形的周长 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，连接，，， A、点在上运动，点在上运动， 不是定值该选项错误； B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误； C、在矩形中，与交于点， ， ， ，， ， ， 为定值，故该选项正确； D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 12. 将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 14. 在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于H，由B、关于EF对称，推出，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于H， ∵四边形ABCD是菱形，， ， ， ， ， ， ∵B、关于EF对称， ， 当BE的值最小时，AE的值最大， 根据垂线段最短可知，当时，BE的值最小， ∴AE的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的问题，掌握翻折变换、菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识是解题的关键． 15. 如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定，过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决． 【详解】解：过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示， 在中，， ， ， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， 此时； 当D点在E点右侧时， 同理可得：； 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求解答下列各题： （1）解不等式组． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 18. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ； （2）证明： 【答案】（1）菱形，四条边相等的四边形为菱形 （2） 证明：四边形的形状是菱形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的判定与性质解答即可； （2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：由作法可知：， 四边形的形状是菱形， 依据是：四条边相等的四边形为菱形； 故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 略 19. 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 【答案】每张贺年卡应降价0.1元 【解析】 【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出200x÷0.05＝4000x张． （0.3﹣x）（500+4000x）＝180， 整理得400x2﹣70x+3＝0， （40x﹣3）（10x﹣1）＝0， 解得x1＝，x2＝0.1， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝0.1． 答：每张贺年卡应降价0.1元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． 20. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． （3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【答案】（1）④ （2）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ∴四边形是“神奇四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的性质结合题中所给的新定义进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，由可知，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ， ， ∵正方形边长为7， ， ， 由（2）可知：， ， ， ． 21. 某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 （3）若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． （3）当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【解析】 【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． 【小问2详解】 解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． 【小问3详解】 解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【解析】 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 23. 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． （1）【初步感知】线段与的数量关系为________． （2）【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． （3）【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可得结论； （2）连接，同上（1）可得，，再可证明四边形是矩形，可得，证明，即可得结论； （3）由题意可得四边形是正方形，可得，，分点在线段上时，在的延长线上且在边上时，点在的延长线上且在边延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段是线段旋转得到的， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， 如图，当点在线段上， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即； 如图，当点在的延长线上且在边上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 此时，与重合，不符合题意，舍去， ③如图，当点在的延长线上且在边延长线上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $