精品解析：河南信阳市浉河中学2026-2027学年上学期开学自测试卷九年级数学

九年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在一次中学生运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．则这些运动员成绩的众数和中位数分别是（ ） 成绩 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 15 6. 如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. y随x的增大而减小 D. 不等式的解集是 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 二、填空题（共5小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若m是方程的一个根，则的值为__________． 13. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 14. 6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 三、解答题（共8小题） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 70 171.45 乙 86.3 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为________，第三四分位数为________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可）． 19. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． （1）点在的“逆反函数”图象上，则 ； （2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标； （3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：四边形为矩形 21. 某商店分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 20 30 2800 第二次 30 20 2200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 22. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质：______． （4）根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 23. 正方形中，，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到． （1）如图1，连接，当时，的形状是 ． （2）当点G落在正方形内部时，过G作，分别交、于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由． （3）如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 2. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，解题思路为根据增长率分别表示出二月和三月的产量，再结合三个月的总产量列出方程． 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台， 三月份产量为台 ∵一、二、三月份共生产产品200台， ∴可列方程． 3. 在一次中学生运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．则这些运动员成绩的众数和中位数分别是（ ） 成绩 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求众数与中位数，根据众数与中位数定义即可求解，解题的关键时正确理解众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：因为出现的次数最多为次，所以众数是， 由题意知共个数据，数据按从小到大排列顺序位于第位的是，所以中位数是， 故选：． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误； B、，计算正确； C、，计算错误； D、，计算错误． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，若已知，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据中垂线的性质，得到，即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴的周长为． 6. 如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行四边形的对边平行且相等． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴点D的坐标为． 7. 数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 8. 如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. y随x的增大而减小 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得：，，，， 则，， 矩形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共5小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 12. 若m是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得到，然后整体代入到即可得解． 【详解】解：是方程的一个根， ，, 则 , 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，采用整体代换思想是解题关键． 13. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 【答案】 【解析】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 14. 6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用正方形的性质证出，利用全等的性质证出，利用勾股定理求出的长，即可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 17. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 18. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 70 171.45 乙 86.3 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为________，第三四分位数为________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1）84.8，90，92 （2）70，98 （3）乙组学生的竞赛成绩比甲组好，理由：乙组的平均数比甲组高，方差比甲小，所以乙组学生的竞赛成绩比甲组好（答案不唯一） 【解析】 【小问1详解】 甲组平均数， 甲组中位数， 乙组众数； 【小问2详解】 将甲组数据按从小到大的顺序排序为：60，70，70，80，89，91，92，98，98，100， 方法一：甲组学生竞赛成绩的前5个数据的中位数即第一四分位数为70，后5个数据的中位数即第三四分位数为； 方法二：，第3个数即第一四分位数为70，，第8个数即第三四分位数为； 【小问3详解】 略 19. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． （1）点在的“逆反函数”图象上，则 ； （2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标； （3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把代入即可求得； （2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得； （3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“逆反函数”为， ∵点在的“逆反函数”图象上， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴的“逆反函数”为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴， 解得： ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴它的“逆反函数”为， ∴两函数与轴的交点分别为，， 由，解得：， ∴两函数的交点为， ∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：四边形为矩形 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 证明： ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂线，菱形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意完成尺规作图即可； （2）根据作图可得，根据四边形是菱形，证明四边形为平行四边形，进而得出，证明，根据矩形的判定定理，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某商店分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 20 30 2800 第二次 30 20 2200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】（1）A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元；（2）a=800时，m的最大值为12000元． 【解析】 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2））设A商品a件，B商品（1000﹣a）件，利润为m元，根据题意列出不等式组，解之即可得出a的取值范围，根据总利润=单件利润×购进数量，可得出m和a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元 根据题意得： 解得： 答A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元． （2）设A商品a件，B商品（1000﹣a）件，利润为m元． 根据题意得： 解得：800≤a＜1000 m=（30﹣20）a+（100﹣80）（1000﹣a）=20000﹣10a ∵k=﹣10＜0 ∴m随a的增大而减小 ∴a=800时，m的最大值为12000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出m与a之间的函数关系式． 22. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质：______． （4）根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 根据表格描点、连线，如图所示： （3）函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） （4）①2；②；③ 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【小问1详解】 解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； 【小问4详解】 解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 23. 正方形中，，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到． （1）如图1，连接，当时，的形状是 ． （2）当点G落在正方形内部时，过G作，分别交、于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由． （3）如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长． 【答案】（1）等边三角形； （2） 解：为等腰三角形，理由如下： 把沿着翻折，得到， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）本题根据翻折的性质得到，推出，，再根据正方形性质和等量代换得到，，即可解题． （2）本题根据，利用全等三角形的性质和矩形的性质证明，得到，根据平行线的性质和等量代换得到，即可解题． （3）本题根据点H在射线上运动，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，②当在线段的延长线上时，根据以上两种情况分析，并结合勾股定理建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：把沿着翻折，得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在线段上时，连接，设， 由（2）知，，， ，， 正方形的边长为6， ， ， ， ， ， ，整理得，解得， ②当在线段的延长线上时，连接，设，如图所示： 由（2）同理可得，，， ，， 正方形的边长为6， ， ， ， ， ， ，整理得，解得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、平行线性质、勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造三角形全等，灵活运用全等的性质，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $