第五十九讲 多项式恒等定理及其应用讲义-2026年高中数学竞赛

第五十九讲  多项式恒等定理及其应用

设 ,关于复数 的表达式

①

其中 ( 为某个数集),称为系数在 中的一元多项式,亦可称为 上的一元多项式。

表达式①中的 称为多项式 的次数，记为 。 称为 的首项系数， 称为常数项。 称为零多项式，其次数不予定义。 上的一元多项式全体记为 。

如果对任意的复数 ,多项式 与 的值都相等,那么称 与 恒等。我们给出最常见的多项式恒等定理。

定理 1 两个 中的多项式 与 恒等的充要条件是 , 并且 与 各项系数对应相等。

下面的定理被称为代数基本定理,我们不加证明地给出。

定理 2 任意一个非常数的多项式(即次数不小于 1 的多项式) 至少有一个复根。

依此可推出下面的

定理 3 任意一个 次的多项式恰有 个复根,其中 重根按 个根计算。

定理 4 设 与 是 中两个次数不超过 的多项式,则 与 恒等的充要条件是存在 个不同的复数 ,使得 , 。

例 1 试将多项式 表示为两个不同次数的整系数多项式的

平方差，并求出所有解。

解 如果 是整系数多项式, ,那么 也是解,并且 的最高次数为 2 。所以,不妨设 的首项系数都为正数。

因此,可设 满足条件,其中 是待定系数,且 是整数。于是

所以

由多项式恒等定理, 得方程组

解得 。所以

其余三组解为 。

例 2 已知 是一个 次多项式,且对任意的实数 均有

8 

①

求 。

解 设 的最高次项为 ,那么 的最高次项分别为

9 

因为 ,由①式和多项式恒等定理得

解得 。

于是,可设 。

在①式中令 ,得

所以 。把 代入①式并整理得

由多项式恒等定理, 得

解得 。

因此,所求的多项式 。

说明 多项式恒等定理引出的“待定系数法”在很多地方都有应用, 上述两例中所示的是最常见的用法。

例 3 证明: 整系数多项式 与 相等的充要条件是: 存在 ,使得 ,这里 是大于 及 的所有系数绝对值 2 倍的某个整数。

证明 必要性是显然的。下面证明充分性, 设

若 ,其中 是大于 及 的所有系数的绝对值 2 倍的某个整数, 于是