第五十三讲 阶的概念及其应用讲义-2026年高中数学竞赛

阶的概念及其应用 设 ,且 ,称使得同余式 成立的最小正整数 为 对模 的阶,记为 (记为 也很常见)。 注意 的存在性可由欧拉定理结合最小数原理得到。阶又被翻译为指数,本书中采用“阶”这个称谓。 阶具有许多有趣而实用的性质 (后述性质中,总是假定 ,且 , 。 性质 1 设 ,则 。 证明 设 。若 ，则 这与 的定义矛盾,故 ,即 。 性质 ,这里 是 对模 的数论倒数。 性质 的充要条件是 。 证明 必要性。由 及 ,可知 再利用 及性质 1 可知 。故 。 充分性。由 ,结合性质 1 可知 ,利用 ,可知 。同理可证: 。于是 。而 是显然的, 故 ,充分性获证。 性质 4 (1)若 ，则 。 (2) 若 ，则 。 证明 (1) 是性质 1 的直接推论。 (3) 由(1)可知 ， ，另一方面，显然 (注意: 这里用到 ,故 。 上述性质中最基本而又用得最多的性质是性质 1 , 在用阶的性质处理数论问题时, 往往需要结合欧拉定理或费马小定理一同使用。 例 1 设 为奇素数， 为 的素因数。证明: (1) ； (2) 。 证明 由 ，可知 。而 为素数，故 。 另一方面,由费马小定理可知 ,于是 ,即 。 而 是显然的,于是 ,所以 (2) 成立。(1)是(2)的直接推论。 说明 这里刻画了梅森数 为素数 形式的数) 的素因数应具有的性质, 从而在断定 是否为素数时,大大减轻了工作量 (注意: 是否存在无穷多个梅森数为素数? 这是一个尚未解决的世界难题)。 例 2 设 为数 (这一形式的数称为费马数) 的素因数,这里 1。证明: 。 证明 先证一个引理: 若 ,而 是 的奇素因数,则 。 事实上,由 ,可知 ,于是 。可设 。如果 ,那么 ,矛盾。故 ,即 。 另一方面,由费马小定理,可知 ,于是 ,即 ,引理获证。 回到原题的证明,记 ,则当 时, 而 ,于是 。 利用引理的结论,可知 。 说明 利用引理证明的方法,只能得到 ,这与要证明的结论还差一步,建立 与 之间的同余式 是又一个关键。 例 3 求所有的正整数 ,使得 。 解 当 时,同余式成立。 下面证明: 当 时,均有 。 显然,当 为偶数时, ,考虑 为正奇数的情形。 如果存在奇数 ,使得 。设 为 的任意素因数, ,那么由 ,可知 利用费马小定理,可知 ,我们设 ,这里 为非负实数, 为正奇数。由阶的性质 1 及上面的结论可知 于是,可知 ,即 。 由于 为 的任意素因数，所以，由 ，可知 ，这与 矛盾。 所以, 为大于 1 的奇数时,亦有 ,从而,符合条件的 只有一个,即 。 说明 这里利用阶的性质,在确定阶的特性 (此处考虑的是其所含的 2 的幂次) 后,对 的素因数分解式中 2 的幂次作分析,导出矛盾。在用阶处理数论问题时, 总是:先确定阶(或者它的某些特性)，再结合费马小定理来处理。 例 4 设 为素数， ， 均为大于 1 的正整数，并且 。证明:数 与 不互素。 证明 若 。设 为素数， , ,并设 。 用 表示 对模 的阶 ,则由 结合阶的性质,可知 。而 (否则, 与 不互素,与反设矛盾),故 1 (用到阶的性质)。所以, 。 现设 ,若 ,则 (因为 ),由 ,知 1),于是, ,结合 ,就有 ,矛盾。因此, 。这表明: 对 ,均有 。 由费马小定理,知 ,且 ,于是,有 ,即 ,从而 与 矛盾。 综上可知,命题成立。 例 5 求所有的素数 ,使得 。 解 不妨设 。 若 ,则 满足条件; 当 时, 为奇素数,由 ,可知 。于是 而由费马小定理, ,所以 ,从而 。于是,这时,有两组解 和 。 若 ,由费马小定理 ,结合条件 ,可知 故 ,进而 ,所以 但 。这样,设 为奇数, 。则 , 这里 为 的某个约数。再由 ,可知 这表明 与 的素因数分解式中, 中 2 的幂次高于 中 2 的幂次。但是,用 取代 的地位重复上述讨论,又应有 中 2 的幂次高于 中 2 的幂次, 矛盾。所以 时,无解。 综上所述，满足条件的 只能为 ， 或 。 说明 这里巧妙地结合费马小定理和阶的基本性质,在 时,通过比较 与 的素因数分解式中 2 的幂次之间的关系来得到矛盾。在这一过程中, (和 ) 起了一个桥梁的作用。 例 6 (1)设 。证明:存在无穷多个 ，使得 (2) 问:是否命题对 也成立呢? 解(1)首先, 满足条件。 其次,若 ,我们证明: ,这里 (注意: ,故 )。 事实上,设 ,由因式分解可知 ,故 。 由此递推构造,可知(1)成立。 (3) 我们证明:当 时， 。 事实上,若存在 ,使 ,设 为 的最小素因数,则由 , 可知 ,于是 。而由费马小定理,可知 ,所以 。故 这表明 是比 更小的 的正约数,于是,只能是 ,但这导致 。产生矛盾。 说明(1)中的递推关系能得到无穷多个数使 的根源在于 ，显然， 当 时，从 出发，不能依上述递推得到任何一个大于 1 的 ，使 ，这引导我们去证明: 当 时,均有 。 例 7 设 为素数,且存在 ,使得 。证明: 。 证明 记 为 2 对模 的阶。 先证: 。 若否,设 ,则对任意 ,若 ,有 ,进而,有 ,于是, 。这与条件冲突。 其次证: 若对 ,有 ,则 。 事实上,由 ,结合阶的性质,可设 ,这里 。并设 ,由前所证,知 。于是 同余关系的得到用了二项式定理。 现在, ,故 ,因此, ,故 。 最后,由费马小定理,知 ,而 ,结合前面所证,就有 1,即 。 命题获证。 说明 要找到一个奇素数 ,使得 相对容易,但要找一个素数 ,使得 却很困难。第一个满足 的素数是 1093,在手算时代就找到了这个数是很了不起的。其实即使去证 也不容易,请读者试试。 例 8 利用阶的性质 1 及欧拉定理,可知 。若 , ,且满足 ,则称 为模 的原根。 设 为奇素数。证明:模 的原根存在。 本题的证明过程中,需用到下面两个引理。 引理 1: 设 为非负整数, 是与 互素的整数,则 证明: 由阶的定义可知 ,所以 从而 (用到, , 。 另一方面,由 ,可知 ,故 所以，引理 1 获证。 引理 2: 设 是与 互素的整数,则存在 ,使得 证明: 设 ,并设 ,这里 ,则 利用引理 1,可知 。而 ,又 1,从而利用性质 3,可知 。引理 2 获证。 例 8 的证明 由引理 2 可知,存在 ,使得 于是,对 均有 ,这表明同余方程 有 个解 。由拉格朗日定理,可知 。 另一方面，由费马小定理，可知 ，所以，有 ，即 为模 的原根。 说明 原根是数论中的一个重要概念,可以证明: 若 ,则关于模 的原根存在的充要条件是 ,这里 为奇素数, 。 本题的结论经常用到,我们把它从原根存在定理中抽出来是因为它比定理本身应用更方便些。此外, 对一个素数而言, 找到其原根是不容易的 (比较小时可以查原根表), 反过来, 有一个著名的猜想: 2 是无穷多个素数的原根。依然在挑战人类的智慧。 学科网（北京）股份有限公司 $