第四十讲 单位根及其应用 讲义-2026年高中数学竞赛

第四十讲单位根及其应用 1.n次单位根的性质 我们从一道例题谈起。 例1设有由n22个互不相同的非零复数组成的集合S=a,a1,…, a,-。如果对任意的k、pk,p=0,1,n-1,都有a0,∈S,试确定集合s 解由题设条件，a,aa1,a0a2,…,aan-1∈S。由于a0,a1,…,an-1都不为 0且各不相同，则，aa1,…,aQn-1也各不相同。于是 S=a6,aa1,",aan-i。 所以aaa,-aa,=a,a-0,1从而a=1。同理 ak=1k=1,2,…,n-1。 可见，S由1的n个n次方根组成，这n个根是 c0s2+isin2k=0,1,,n-1。 n n 1的每一个nn∈N,次方根，称为n次单位根或简称为单位根。记这n 个单位根为 e0,81,“,en-1，其 中 =1.coibinco n n n 于是，所有n次单位根又可以表示为1，e1,e,",ε11。 易知，当n为奇数时，除1以外，其余的n次单位根都为虚数；当n为偶 数时，除±1外，其余的单位根都为虚数，并且n个单位根在复平面上对应于一个 内接于单位圆的正n边形的顶点。 又由于x0-1=x-1x0-1+x0-2+…+1,所以 x0-1+x0-2+…+1=x-e1x-e2(x-en- =x-e1x-e}-x-ε。 一般地，对任意的k∈乙，记E=cos2+sm2,则由三角函数的周期性， n n 可知ek=e,,这里r∈{0,1，…，n-1},并且k=rmodn。 在做上述推广后，我们列出单位根的主要性质： 性质1两个n次单位根e;、ek的乘积仍是一个n次单位根，且 ￡，4=e-k这里、k是任意整数。 从例1的讨论可见，性质1刻画了n次单位根的结构。 性质2对任何整数m,e装=￡k。 性质3设m是整数，且n≠1，n∈N,,则 1+e+e++e1= n,当m是n的倍数时， 0,当m不是n的倍数时。 特别地，1+e1+E2+…+en-1=0。 例2集合A=z|z8=1和B=w|w8=1都是1的复数根的集合，集合 C={zw|2∈A,w∈B}也是一个1的复数根的集合。集合C中有多少个不 同的元素？ 解注意到18与48的最小公倍数是144，故(zw14=1。又 品- 所以，集合C中有144个元素。 例3设n为大于1的正整数，求下式的最简表示：，门(e,,这里 1≤i<k≤n-1 e,=cos2m+icos2匹，1sj≤n-1。 n 解记fx=x-ex-e2小…x-en-,则 fx=x-1+x0-2++1。 对比上述两式x的各次方的系数，结合单位根的性质可知，对任意的j∈{1 2n-有ie,-1-e=1mg-ne Hille-ciie 于是(e,-e小= -1 1≤k≤n-1 1=1 1三1 =n”--1n- -=nn-2 -1-1.n (n-1(n-2 从而所求代数式为，几，e,-=-11e,- 1<i<k<n-1 j≠k 1≤j,k≤n-1 (n-1j(n-2) =-12nn-2。 2单位根在代数问题中的应用 单位根经常被应用于求代数式（特别是三角求和）的值、对多项式进行因式 分解、多项式之间的整除等方面。 例4设m、n为正整数，fx=x3m+1+x3m+2+1。求证： x+x+1fx)o 证明因为x+x+1=x-⊙x-o2,又 fo=03m+1+03n+2+1=0+a2+1=0, f02=a23m÷+1+o23m+2+1=02+0+1=0, 于是x-ox-o21fx,即x2+x+1|fx。 例5设zkk=0,1,…,n-1是z”-1=0的n个根，定义 f(x=amx+am-1xm++ax+do 其中m为小于n的正整数求证公，F,· n k=0 i证明令Z4=cos2+sin2=zk=0,1,,n-1,由1<n,Z≠1,2=1，知 n n 4生05a 1-z11-21 n k=0 例6设Px、Qx、Rx及Sx都是多项式，且 P(x+xQx+xR(x=x+x+x2+x+1S(x). 求证：x-1是Px、Qx、Rx及Sx的公因式。 证明设e1、e2、e3、e4是4个五次单位虚根，则 x4+x3+x2+x+1=x-e1X-e2x-e3x-e4。 把e1、e2、￡3代入题设等式，得 P1+e1Q1+eR|1=0, P|1+e2Q1+ε2R1=0, P(1+e3Q1+e3R1=0。 这表明二次方程xR1+xQ1+P1=0有3个不同的根e1、e2、￡3。 所以 P1=Q1=R1=0。 再把x=1代入题设等式，又得S1=0。于是，由因式定理，-1是 Px、Qx、Rx及Sx的公因式。 例7求所有的正整数n,使得存在三个1的n次单位根（可以相同），其 和为1。 解设日=2π。 n 若存在三个1的单位根e、e、eca,b,c∈{1,2，"，n}》满足 eiaoeiboeic-1, ea0=cosa+cosbisin a+sin b)=2cos a-boje 2 1--1-cos -isinc=2sim e 故 a+b9=c0-+kr(k∈Z→a+b-c0=2k-1n 2 22 →a+h-c=2k1n_2k,1n(整数) 2π 2 n 所以n为偶数。 当n为偶数时，-1是1的n次单位根。取三个单位根1、1、-1即可。 例8设n为正整数。证明：对任意的k∈{1,3，…，2n-1},均有 π co52n+1】 ow2a k + ① 证明由于k为奇数，所以 2n+1 又由于cos 2jn =COS 4n+2-21π，从而，有 2n+1 2n+1 2n/ 于是，要证明①成立，只需证明：S=-1。 为此，令e=cos 2n,+isin,2n(e为2n+1次单位根)，则由单位根的性 2n+1 2n+1 质，结合二项式定理，得 se-24旷2e*e 2会 2-1. 注意，上式最后一步用到k为奇数，且1≤k≤2n-1,从而e21-k≠1也 是一个2n+1次单位根。故 e2=0,2e-=-1 i=0 综上所述可知，命题成立。 3单位根与正多边形 全部n次单位根正好把复平面上的单位圆n等分，即1，E1,e2,…,en-1是 以原点为圆心、1为半径的圆的内接正边形的顶点。因此，利用单位根可以 解决许多与正多边形有关的几何问题。 例9设Ao,A1,…,An-1是正n边形，它的外接圆O的半径为1。求证： 自圆O上任意一点P到各顶点的距离的平方和为定值。 证明取O为原点建立直角坐标系，使得A,的坐标为1,0)。设P点对 应的复数为2，则z=1。于是 三ea言-a三g-ez-a 1-8