第四十讲 单位根及其应用 讲义-2026年高中数学竞赛

第四十讲 单位根及其应用

1. 次单位根的性质

我们从一道例题谈起。

例 1 设有由 个互不相同的非零复数组成的集合 , 。如果对任意的 ,都有 ,试确定集合 。

解 由题设条件, 。由于 都不为 0 且各不相同,则 也各不相同。于是

所以 ,从而 。同理

可见, 由 1 的 个 次方根组成,这 个根是

1 的每一个 次方根,称为 次单位根或简称为单位根。记这 个单位根为 ,其中 。

于是,所有 次单位根又可以表示为 。

易知,当 为奇数时,除 1 以外,其余的 次单位根都为虚数; 当 为偶数时,除 外,其余的单位根都为虚数,并且 个单位根在复平面上对应于一个内接于单位圆的正 边形的顶点。

又由于 ,所以

一般地,对任意的 ,记 ,则由三角函数的周期性,可知 ,这里 ,并且 。

在做上述推广后, 我们列出单位根的主要性质:

性质 1 两个 次单位根 的乘积仍是一个 次单位根,且 ,这里 是任意整数。

从例 1 的讨论可见,性质 1 刻画了 次单位根的结构。

性质 2 对任何整数 。

性质 3 设 是整数,且 ,则

1 

特别地, 。

例 2 集合 和 都是 1 的复数根的集合,集合 也是一个 1 的复数根的集合。集合 中有多少个不同的元素?

解 注意到 18 与 48 的最小公倍数是 144,故 。又

所以，集合 中有 144 个元素。

例 3 设 为大于 1 的正整数,求下式的最简表示: ,这里

解 记 ,则

对比上述两式 的各次方的系数,结合单位根的性质可知,对任意的 , ,有 。

于是

从而,所求代数式为

2   单位根在代数问题中的应用

单位根经常被应用于求代数式(特别是三角求和)的值、对多项式进行因式分解、 多项式之间的整除等方面。

例 4 设 为正整数, 。求证:

证明 因为 ,又

于是 ,即 。

例 5 设 是 的 个根,定义

其中 为小于 的正整数,求证: 。

证明 令 ,由 ,知 ,所以 。