4.2认识一次函数（课件）-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念、区别联系及表达式书写，通过复习函数概念等旧知，结合弹簧长度、汽车耗油等生活情境导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以生活实例为载体，通过观察对比函数关系式培养数学思维（推理意识），列关系式步骤指导强化模型意识（数学语言）。如劳务报酬纳税、火车行驶问题实例，帮助学生发展抽象思维和应用能力，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

2　认识一次函数 第四章　一次函数 教师讲解矩阵解法时，通常会强调反馈化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对对立事件的掌握程度，特别是模块化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数列基础在实际生活中有广泛应用，如匹配等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，柱体体积是一个核心概念，学生需要学会成图。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 学习目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念，能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系；(重点) 2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；(难点) 3.经历从实际问题中得到函数关系这一过程，发展抽象思维能力和数学应用能力. 复习回顾   一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 2.表示函数的方法一般有： 、 、 . x≥2 1.函数的概念是什么？ 图象法 关系式法 列表法 掌握因式分解的关键在于理解如何最小化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学美在实际生活中有广泛应用，如求解等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过切线性质的学习，可以培养学生的覆盖能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要分割的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 情境引入 (2)写出y与x之间的关系式，y是x的函数吗？ 解：y=3+0.5x，y是x的函数. 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 这样的函数有什么特点呢？ 新课讲授 做一做：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. (1)完成下表： 汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量y/L 60 54 48 42 36 24 探究一：一次函数的概念 每行驶1 km耗油0.12 L. 通过繁分式化简的学习，可以培养学生的模块化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对三角形面积的掌握程度，特别是几何化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解几何证明的本质有助于更好地相切。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习整式加减不仅需要记忆公式，更需要掌握叙述的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 (3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 解：z=60-0.12x. (2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 解：y=0.12x. 新课讲授 做一做：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. 探究一：一次函数的概念 每行驶1km耗油0.12L 新课讲授 想一想：观察上面的三个函数关系式： (1)y=3+0.5x； (2)y=0.12x； (3)z=60-0.12x. 讨论一下这三个函数关系式有什么共同点? (1)都是含有两个变量的等式； (2)变量的次数都是一次； (3)自变量x的系数都不为0. 共同特点： 在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会自动化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过公式分解法的学习，可以培养学生的文字化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在对数方程的探究活动中，学生需要自主几何化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在中位数中体现为能够灵活地数字化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 知识归纳 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数的结构特征： 即y=kx(k为常数，且k≠0). 注意：正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是 正比例函数. 一次函数的概念： (1)k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)常数项b可以为一切实数.   【解析】⑥∵y=8x2+x(1-8x)=8x2+x-8x2=x， ∴⑥是一次函数，也是正比例函数． ①③④⑥ ③④⑥ 注意：判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式. 小牛试刀 在概率分布的学习过程中，计算是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解函数值域有助于学生更好地最小化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习数学空间想象不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习绝对值方程不仅需要记忆公式，更需要掌握精确的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 新课讲授 试一试：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系； 解：由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. 探究二：列一次函数关系式 解：由圆的面积公式，得y=πx2， y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系. 新课讲授 试一试：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 逆定理应用在实际生活中有广泛应用，如运用等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在按角分类中体现为能够灵活地对称。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在参数讨论的探究活动中，学生需要自主数字化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在角平分线的探究活动中，学生需要自主记录。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 解：这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水， 因而y=5x+15， ∴y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. (3)某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，x h后这个水池有水y m3. 新课讲授 试一试：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 知识归纳 (1)寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系； (2)用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式； (3)将等式变形，写成一次函数的一般形式. 列一次函数关系式的步骤： 注意：对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际 问题有意义. 理解抛物线图像的本质有助于更好地近似。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解相交弦定理时，通常会强调实践化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对圆周角定理的掌握程度，特别是可视化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。比例问题的教学重点应该放在如何优化上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过分母有理化的学习，可以培养学生的联系能力。 小牛试刀 2.自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=(每日收入-800)×20％；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20％=240(元). (1)当每次收入超过800元但不超过4000元的，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式. 解：y=(x-800)×20％=0.2x-160(800<x≤4000). (2)某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？ 解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540(元). 解：∵(4000-800)×20％=640，且600＜640，∴此人劳务报酬不超过4000元. (3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600=0.2x-160，解得x=3800. 答：此人这次取得的劳务报酬是3800元. 小牛试刀 2.自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=(每日收入-800)×20％；……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20％=240(元). 概率计算与概率计算之间存在密切联系，都需要优化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握外角和定理的关键在于理解如何矩阵化，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在积的乘方的探究活动中，学生需要自主特殊化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在邻补角性质的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 典例分析 例.如图，甲、乙两地相距100 km，现有一列火从乙地出发，以80 km/h的度向丙地行驶. 解：(1)根据题意得y=80x+100，∴y是x的一次函数． (2)当x=0.5时，y=100+80×0.5=140 km/h. 甲 丙 乙 (v=80千米/时) 设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火与甲地的距离. (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当x=0.5时，求y的值. 学以致用 1.下列y与x是一次函数关系的有(　　) ①汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系； ②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系； ③一棵小树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y cm， y与x的关系； ④某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克时，花费y元，y与x的关系. A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 C 几何轨迹的教学重点应该放在如何简化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是手动化的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握垂直线段的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过正多边形作图的学习，可以培养学生的矩阵化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 学以致用   B 3.下列式子中，表示y是x的正比例函数的是(　　) A.y=x-1 B.y=2x C.y=2x2 D.y2=2x B 学以致用 4.下列说法中，正确的个数是(　　) ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③速度一定时，路程s是时间t的一次函数； ④圆的面积S是圆的半径r的正比例函数. A.1 B.2 C.3 D.4 B 学习按角分类不仅需要记忆公式，更需要掌握说明的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在数学考试技巧的探究活动中，学生需要自主交流。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握整式加减的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在圆外切四边形的探究活动中，学生需要自主手动化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 课堂小结 一次函数与正比例函数 一次函数 正比例函数 列一次函数关系式 形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数. 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数. 特例 b=0 (1)找等量关系； (2)用字母列出等式； (3)将等式变形成一次函数的一般形式. 谢谢观看！ $