周测05 一元二次方程的根与系数的关系及应用 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，整合河北、天津等地期中期末真题，通过基础计算、综合应用及创新情境（如“高关联方程”），考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|两根和积计算（第1题）、代数式求值（第2题）|结合坐标象限等情境，强化符号意识| |填空题|6/18|已知一根求另一根（第9题）、根的代数式变形（第11题）|注重逆向思维与运算能力| |解答题|6/58|菱形边长与方程结合（第18题）、“高关联方程”定义应用（第19题）|设置跨知识综合题，发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测05一元二次方程的根与系数的关系及应用 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1,(25-26九年级上陕西安康阶段检测)己知，5是一元二次方程r-2r=0的两根，则的值是 () A.0 B.2 C.-2 D.4 2.(25-26八年级下山东烟台期末)关于x的一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是() A,没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的同号实数根 D.有两个不相等的异号实数根 11 3.(25-26八年级下山东青岛期末)若。'B是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，则a+B的值为 (). 1 1 A.3 B.-3 C.3 D.3 4,(25-26八年级下广西贺州期未)己知方程2-5x+1=0的两根分别为.。，则 x1+x2 的值为 () A.2 C.Z 1 D.2 5.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则a3+a+6b的 值是() A.14 B.14 C.172 D.10 6,（25-26八年级下重庆期末)已知关于”的一元二次方程r-3x+m+7m=0 X1 X2 的两个实数根为， 113 且满足51 ,则m的值为(). A.-9 B.2 C.2或-9 D.-2或9 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26九年级上四川南充阶段检测)写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为 5,-2(化为一般形式)：一 8.(25-26八年级下重庆渝中期末)若是一元二次方程。-4x-7=0的两实数根 K丰)，则 xx2+2x1+2x2 的值是 9.(25-26八年级下·北京顺义·期末)已知关于x的一元二次方程2x2+3x+m=0有一个根为1，则另一个 根为 1+1 10.(25-26八年级下陕西咸阳期末)若方程x2-4x-2=0的两个根分别是x,x2,则x2的值为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 1.(8分)(2026江西九江一模)若，是关于的一元二次方程-4x+k-2=0自 的两个实数根. (1)求出实数k的取值范围： ②)若方程的两个实数根满足+3-·5= ,求的值. 12.(10分)(25-26九年级上·安徽芜湖期中)若关于x的一元二次方程 r2+bx+c=0(a≠0)的两个实 数根为，(：≥），分别以，5为横坐标和纵坐标得到点2(，)，则称2(：，)为该一元二次方 程的衍生点， (1)方程x2+3x+2=0的衍生点坐标为一。 213 ②)若关于x的一元二次方程+x+c=0的衍生点坐标为 ,1) ,求b和c的值. 3)若关于x的一元二次方程x2-2x+2m+3=0的衍生点为M,且点M在直线y=x上，求m的值. 1B.（(12分)(25-26八年级下吉林长春期未)在复习一元二次方程“r+br+c=0(a≠0)时 时，旺仔同学 总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式△=b2-4ac: -b±√△ x= 知识点二：求根公式2a; b 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，。，则十， a5s9 a 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围： ②)若一元二次方程-2x-1=0 X1,X2 的两个实数根为 ①计算少+书 七x2= ②求6-16-的值 1+1=k-1 3)若一元二次方程x2-2x+k+1=0的两个实数根为x,x,且x七，直接写出k的值. 3132026-2027学年度北师大版数学九年级上册周测 周测05一元二次方程的根与系数的关系及应用 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1,(2026河北鹿坊一模)若一元二次方程2-3x+1=0的两根之和与两根之积分别为a,b,则点a) 在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26八年级下安徽蚌埠期中)若m,n是方程x2-x-3=0的两个实数根，则mn+2m+2n的值为 () A.-5 B.-1 C.1 D.5 3.(2026天津和平二模)若，是方程-20x-25=0的两个根，则（) 25 A.x+x2=20 B.x+x2=10 C.xx2=- 2 D.xx2=25 4(2526八年级下清江杭州期中)已知关于的方程+2x-3=0的两根为，则以5+5,5为 两根的一元二次方程是（) A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0 C.x2+2x-3=0 D.x2-3x+2=0 5.(25-26八年级下北京顺义期中)已知关于的一元二次方程3+4x-3=0的两实数根分别为”和， 则+巧的值等于《) 34 A.9 c.3 1/4 6,(25-26八年级下福建福州期末)若关于的一元二次方程”-6+m=0两根为，与，且=2%。 则m的值为() A.10 B.8 C.6 D.4 2 x2+(k-2)x+ =0 7.(25-26九年级下·山东烟台期末)若关于x的一元二次方程 4的两根互为倒数，则k 的值为() A.-2 B.2 C.2或-2 D.1 8。(25-26八年级下湖南长沙期末)关于”的一元二次方程r+r+C=0(a≠0 ,有下列四个结论：① 若x=c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；②若a+c=b,则方程ax+br+c=0有一根为 1 x=-1:®若该方程的解为x=2和x-3,则方程cx-x+a=0的解是x=3或x=2:④当a<0: b+c>0,b-C<0时，方程一定有实数根.其中，正确的有() A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知一元二次方程x+4x+m=0的一个根为1，则另一个根为 10,(2026广东清远三模)一元=次方程-3-4=0的两根为，，则 +x2+Xx2= 11.(25-26八年级下安徽宜城期末)已知，是一元二次方程+3x-1=0的两个根，则 x2+4x+x2= 12.(25-26八年级下·福建福州期末)已知a,b是一元二次方程x+2x-1=0的两根，则a2+b的值是 13.(25-26八年级下安徽安庆期末)若实数a,b满足等式2a2-5a-3=0,2b-5b-3=0,则 214 2a2+3ab+5b= 14.(25-26八年级下安徽池州期末)已知实数a,b,c满足a+b-2c=10,ab-50=2c2,则a-b-c的 值为 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分）(25-26九年级上黑龙江大庆阶段检测)设，元是方程2x+4r-3=0 的两个根，利用根 与系数的关系，求下列各式的值： a)+10s+1) 26-)P 16.(8分)(25-26九年级上四川成都阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，P,且a=6,求P和a的值. 17.(8分)(25-26八年级下山东济南期末)已知关于x的一元二次方程 x2+(2m-1)x+m2-1=0 有实 数根. (1)求实数m的取值范围； ②)若方程的两实数根分别为”，七，且满足 (x,+1)(x2+1)=1 ,求实数m的值. 18.(10分)(25-26八年级下·安徽阜阳期末)已知四边形ABCD相邻两边AB,AD的长度分别是关于 2+(2a-1)x+a2=0 x的一元二次方程 的两个实数根，」 (I)若四边形ABCD为菱形，求a的值： ②若四边形8CD为矩形，且谈矩形对角线4C的长度为万，求“的值 19.(12分)(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程ax+br+c=0(a≠0)与 314 px2+qr+r=0,p≠0、 都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且c=P ，则这两 个方程是互为“高关联方程”.例如，方程x2-4=0与x2-2x=0是互为“高关联方程”. (1)若关于x的一元二次方程x2+2x-3=0与2x2+x+k=0是互为“高关联方程”，求k的值及相同的 根。 (2)若关于x的一元二次方程3x2+2x+m=0①与3x2+4x+n=0②是互为“高关联方程”，且mn≠0， 求m,n的值. 20.(12分)(25-26八年级下·江苏苏州期末)我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ar+x+c=0(a≠0)的两个根是，专，那么可推出+名=名 运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 ①)若“，B是方程产-4红+1=0的两根，则a+B=一，B=一， (2a+1)(2p+1)= 【问题探究】 2)如果关于的一元二次方程+r+c=0 的两个根是=2.专=3 那么关于》的一元二次方程 (2y-+b(2y-1)+c=0是吞有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由： 【问题解决】 x2+bx+c=0(a≠0) 3)若关于x的方程 的两根之和是P,两根之积是9，请求出关于‘的方程 a(21++b(21+1)+c=0(a≠0)的两根之积的值（用字母P,9表示）· 414 2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测05 一元二次方程的根与系数的关系及应用 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 4．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 5．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 8．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 9．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，……………2分 ，……………3分 解得；……………4分 （2）解：由题意得，，……………6分 ∵ ，……………7分 解得，符合题意．……………8分 12．（10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可； （3）根据点M在直线上，可得，再利用根的判别式即可解出答案． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴方程的衍生点坐标为． 故答案为：……………2分 （2）解：∵方程的衍生点坐标为， ∴方程的两根为． ∴，，……………4分 ∴；……………6分 （3）解：∵方程的衍生点为M，且点M在直线上， ∴，即该方程有两个相等的实数根， ∴，……………8分 解得：．……………10分 13．（12分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算______，________； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式，……………2分 解得：， 的取值范围为；……………3分 （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，……………4分 ，……………5分 ② ；……………7分 （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：，……………9分 由根与系数的关系得：、，……………10分 ， ， ，……………11分 整理得：， 解得：或， ， ．……………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大版数学九年级上册 周测 周测05 一元二次方程的根与系数的关系及应用 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（2026·河北廊坊·一模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 3．（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 5．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 8．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 10．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 11．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知，是一元二次方程的两根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，最后根据，即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 13．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 14．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴，，……………2分 ∴ ；……………4分 （2）∵， ∴ ……………6分 ．……………8分 16．（8分）（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求和的值． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． （1）根据即可判断； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可知，从而求得答案． 【详解】（1）证明：， ，……………2分 ， ， 方程总有两个实数根；……………4分 （2）解：，方程的两个实数根分别为， ， ， ，……………6分 ， ．……………8分 17．（8分）（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ……………2分 ， 解得：，……………4分 （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得，……………6分 ．……………8分 18．（10分）（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根，……………1分 ，……………3分 整理可得：， 解得：；……………5分 （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根，……………6分 ， ， ， ，，……………8分 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ．……………10分 19．（12分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得．……………2分 方程1：， ……………3分 方程2：， ……………4分 由： 把代入 因式分解：，……………5分 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为……………6分 （2）解：方程①：， ……………7分 方程②：， ，即，……………8分 只有一个公共根，设公共根为 两式相减：……………9分 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则．……………11分 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． ……………12分 20．（12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则____，_____，_____； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，．……………2分 ∴根据根与系数关系，得 ∴；……………4分 （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴，……………6分 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，．……………8分 （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则……………10分 两根之积： ∴两根之积为．……………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $