精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高三上学期第一次阶段性考试数学试题

2025年高三模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处取得极值，则函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，公比为q，首项为，则“对任意正整数n，都有”是“且”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则下面结论不正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 函数的定义域是 D. 是图象的一个对称中心 5. 在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级（ ） A 0.47 B. 1.7 C. 3 D. 4.7 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 8. 已知函数，若函数恰有4个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则定义域为 C. 若且，则 D. 若，则 10. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 三、填空题 12. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 13. 设数列的前n项和为，若，则 ___________ 14. 若关于不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ___________ 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 16. 设是递增的等差数列，是等比数列，已知，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列前n项和； （3）设，记数列前n项和为，证明：． 17. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数的大小，（精确到0.01）并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的数学期望． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 18. 已知函数的相邻两个对称中心间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值． （3）设，，当时，求的值域. 19. 若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． （1）判断是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由． （2）已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． （3）设，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知函数在处取得极值，则函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件得出，即可求得的值，然后利用函数极值与导数的关系可求得函数的极小值. 【详解】因为，该函数的定义域为，所以，， 由已知条件可得，解得， 所以，，则， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的极小值为. 故选：B. 3. 等比数列中，公比为q，首项为，则“对任意正整数n，都有”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断，即可求得答案. 【详解】，“对任意正整数n，都有”， 即等比数列是单调递增数列， 且或者且 由成立可以推出且或者且 所以命题充分性不成立 由且成立可以推出 必要性成立 故选：B. 4. 已知函数，则下面结论不正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 函数的定义域是 D. 是图象的一个对称中心 【答案】A 【解析】 【分析】举反例结合单调性的定义判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；通过整体代换求出函数的定义域即可判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B，的最小正周期，故B正确； 对于C，由，可得：， 所以函数的定义域是，故C正确； 对于D，令，解得，则函数图象的对称中心为， 令得，故是图象的一个对称中心，故D正确． 故选：A. 5. 在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级（ ） A. 0.47 B. 1.7 C. 3 D. 4.7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，且，代入的表达式，化简整理，可得，即可得答案. 【详解】由题意，且， 所以 ， 所以. 故选：D 6. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对①，直接写出存在量词命题的否定，即可判断真假；对②，利用幂函数的定义得或，再结合条件，即可求解；对③，利用对数函数的性质，即可求解；对④，利用分段函数的单调性质，得，得，即可判断真假. 【详解】对于①命题“，”的否定是“，，所以①命题错误； 对于②命题，由幂函数的定义知，，解得或， 又对于，都有，所以为偶函数， 当时，，偶函数，符合题意； 当时，，为奇函数，不符合题意，故，所以②命题正确； 对于③命题，令，得，此时，故定点坐标为，所以③命题错误； 对于④命题，因为时，由指数函数和对数函数单调性可知单调递增， 所以上单调递增，则需满足， 即，解得， 则的取值范围是，所以④命题正确，综上，正确的命题个数为2个， 故选：B. 7. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理角化边判断三角形形状；B选项，由，判断和的大小关系；C选项，由角平分线的性质结合三角形面积得，利用基本不等式求的最小值；D选项，由正弦定理解三角形有两解的条件，求的取值范围. 【详解】选项A，因为，由余弦定理得， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，钝角△ABC中，A，B为锐角，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B错误； 选项C，的平分线交于点，，有， 由角平分线性质和三角形面积公式，得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故C正确； 选项D，如图，若有两解，则，所以， 则b的取值范围是，故D错误． 故选：C. 8. 已知函数，若函数恰有4个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据与的零点分和利用数形结合法讨论求解. 【详解】如图所示： 因为， 当时，，与的零点为 所以，即， 所以， 当时，，与的零点为 ， 所以的对称轴方程为，。 所以关于对称， 设， 所以， 则， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 已知函数的定义域为，则定义域为 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，结合偶次根式的被开方数大于等于，分母不为求函数的定义域，即可判断A；根据抽象函数的定义域的求法结合条件求函数的定义域判断B，通过比差法比较与0的关系，即可判断C；设，利用换元法求出函数的解析式，即可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义， 须满足，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的定义域为，则的定义域满足，解得，故定义域为，B错误， 对于C，因为， 且，，所以，， 所以，即，故C错误； 对于D，设，则，所以，即，故D正确． 故选：AD 10. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质，等比数列各项下标之间的关系，等差数列前项和的性质，依次判断各选项正误，求出结果. 【详解】由，可得时，， 作差得，当时，，解得，所以A错误； 由等比数列性质可知，因为，所以， ，所以B正确； 由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确； 等差数列中，公差，则， 当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可得求出的范围. 【详解】由题意， 在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图象在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 12. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 13. 设数列的前n项和为，若，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】时，求出，由与的关系，得时为等比数列，可求数列通项. 【详解】已知，当时，有， 两式相减得：，即， 所以时，有， 时，由，有，又，解得， 则，，， 故当时，为等比数列，公比为2， 当时，，故，所以. 故答案为： 14. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】同构之后令，求导分析最值，然后再换元令，构造函数，求导判断单调性求出最值即可求得的范围. 【详解】因为时，， 所以令，则， 当时，，此时在上单调递增， 时，，此时在上单调递减，易得， 设，则，其中，则. 那么分离参数可得. 令，求导得， 易得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 16. 设是递增的等差数列，是等比数列，已知，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，的公比为，依题意得到方程组，解得、，从而计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可； （3）由（1）可得，利用分组求和及等比数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 解：设数列的公差为，的公比为， 因为，，，，所以，所以， 则，解得或（舍去）， 所以，所以，； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以 . 【小问3详解】 证明：由（1）可得， 所以 . 17. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数的大小，（精确到0.01）并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的数学期望． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】（1）0.93，管理时间与土地使用面积线性相关． （2）有关 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接利用公式即可求解； （2）根据条件，计算出值，即可求解； （3）法一、由题知的可能取值为，再求出相应的概率，利用期望的计算公式，即可求解；法二、根据条件，可得，再利用二项分布的期望计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题知，，， ， ，， 则 故管理时间与土地使用面积线性相关． 【小问2详解】 依题意，列联表如下： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关． 计算可得． 依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． 【小问3详解】 法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民， 取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 由题易知，故． 18. 已知函数的相邻两个对称中心间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值． （3）设，，当时，求的值域. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递减区间； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出的值，并求出的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求出的值； （3）利用平面向量数量积的坐标运算、以及二倍角的正弦公式化简得出，令，可得出，利用辅助角公式结合正弦函数的基本性质求出的范围，再利用复合函数的单调性可求得函数的值域. 【小问1详解】 ． 因为函数的相邻两个对称中心间的距离为，所以函数的周期． 由，解得，故. 令，, 解不等式得，； 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象． 再把每个点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以． 因为，所以， 因为，故， 若，则，矛盾，故， 所以． . 【小问3详解】 因，，所以， 所以 ， 设， 因为，所以，则， 故， 因为，所以， 所以， 因为函数、在上单调递减，则， 所以，内层函数在上单调递减， 外层函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，即函数的值域为. 19. 若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． （1）判断是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由． （2）已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． （3）设，且，证明：． 【答案】（1）是一个I上的“非正函数”，理由见解析； （2）； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，故在取得极大值，也是最大值，又，所以在R上恒成立，得到结论； （2）多次求导，得到，令，解得； （3）由（2）知，，即，把代入，有，放缩得到，累加证明出结论. 【小问1详解】 是一个R上的“非正函数”,理由如下： 定义域为R，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在取得极大值，也是最大值， 又，所以在R上恒成立， 故是一个R上的“非正函数”； 【小问2详解】 要使在上为“非负函数”， 则在上恒成立， 其中，令，则， 令，则， 其中，故当时，， 所以在上单调递减，且， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 令，解得； 【小问3详解】 由（2）知，，即， 把代入，有， 因为，所以， 当时，，当时，，……， ，， 以上不等式相加得 ，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $