2.4 一元二次方程的应用 提升练习 2026～2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦一元二次方程的应用，通过基础情境建模、综合问题解决到拓展探究的三阶设计，强化模型意识与运算推理能力，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-5、填空1-3）|单一情境方程建立（增长率、面积、握手问题）|以生活实例（商品涨价、矩形窗框）培养抽象能力，直接对应概念应用| |中档层（选择6-10、填空4-5）|综合情境与多解问题（利润优化、几何动态、传染模型）|结合分类讨论（等腰三角形边长）与实际取舍（降价方案），发展推理意识| |提升层（解答2-5）|复杂情境与最值探究（运动问题、收益最大化）|通过函数建模（租赁收益、童装盈利）深化应用意识，衔接中考综合题型|

北师大版 九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 提升练习 考试时间：90分钟　满分：100分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 某商品原价为200元，连续两次涨价后售价为242元，若每次涨价的百分率相同，设涨价百分率为x，则可列方程为（ ） A．　　B．　　 C．　　D． 2. 用长为28米的铝材围成一个面积为48平方米的矩形窗框，设矩形窗框的长为x米，则下列方程正确的是（ ） A．　　B．　　 C．　　D． 3. 某小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡56张，则这个小组的人数为（ ） A．7人　　B．8人　　C．9人　　D．10人 4. 从正方形铁片上截去一条宽为2cm的长方形，剩余矩形的面积为80，则原来正方形的面积为（ ） A．100　　B．121　　C．144　　D．169 5. 某校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛，则可列方程为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫降价x元，则所列方程正确的是（ ） A．　　B．　　 C．　　D． 7. 已知直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边的长为（ ） A．　　B．5　　C．　　D．7 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x的值为（ ） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 9. 用一块长80cm，宽60cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的正方形，做成一个底面积为1500的无盖长方体盒子，设截去的正方形的边长为xcm，则根据题意列出方程正确的是（ ） A．　　B．　　 C．　　 D． 10. 两个连续正整数的平方和比它们的乘积大73，则这两个数是（ ） A．7和8　　B．8和9　　C．9和10　　D．6和7 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 一个两位数，个位数字与十位数字之和为7，若个位数字与十位数字对调后所得新两位数与原两位数的乘积为1300，则原两位数为__________。 2. 等腰三角形的底边长和腰长是方程的两个根，则这个三角形的周长为__________。 3. 某工厂今年一月份生产防疫护目镜10000个，以后每月产量比上月增长率相同，三月份产量达到12100个，则每月的增长率为__________。 4. 在一块长22m，宽17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别平行于矩形的长和宽），剩余部分种上草坪，草坪面积为300，设道路宽为x m，根据题意可列方程为__________。 5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，则每个支干长出__________个小分支。 三、解答题（共5题，共50分） 1. （8分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1155元，求这种存款方式的年利率。 2. （10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，平均每天可多售出2箱。 （1）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？（6分） （2）每天获利能达到15000元吗？请说明理由。（4分） 3. （10分）矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于12？ A P 16cm B Q 6cm D C 4. （10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（4分） （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（6分） 5. （12分）某商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。 （1）若每件童装降价x元，则每天增加销售量__________件，每件盈利为__________元（用含x的代数式表示，直接填写结果）；（4分） （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（4分） （3）求平均每天盈利的最大值，并求出此时每件童装的降价金额。（4分） 1页 学科网（北京）股份有限公司 北师大版九年级数学上册一元二次方程的应用提升练习参考答案 一、选择题 1. A　　2. B　　3. B　　4. A　　5. D　　6. B　　7. B　　8. C　　9. B　　10. B 二、填空题 1. 25或52 2. 10 3. 10% 4. 5. 8 三、解答题 1. 解：设这种存款方式的年利率为x，（1分） 根据题意得：，（3分） 整理得：，两边除以50得：，（4分） 令y=1+x，方程变为，解得：（舍去），（6分） 即1+x=2.65，解得x=0.05=5%，（7分） 答：这种存款方式的年利率为5%。（8分） 2. 解：（1）设每箱应降价x元，（1分） 根据题意得：，（2分） 整理得：，解得，（4分） 因为要扩大销售，增加利润，所以x=50更符合题意，（5分） 答：每箱应降价50元。（6分） （2）假设能获利15000元，设每箱降价y元，（1分） 则，整理得，（2分） 判别式，方程无实根，（3分） 所以每天获利不能达到15000元。（4分） 3. 解：设t秒后△PBQ的面积等于12，（2分） 此时AP=2t，所以PB=16-2t，BQ=t，（4分） 根据三角形面积公式得： 即，整理得，（6分） 解得，（8分） 经检验，t=2和t=6都符合题意（0<t<8，满足AB长度限制），（9分） 答：2秒或6秒后△PBQ的面积等于12。（10分） 4. 解：（1）月租金增加3600-3000=600元，（1分） 未租出车辆数为辆，（2分） 所以租出车辆数为100-12=88辆，（3分） 答：能租出88辆车。（4分） （2）设每辆车月租金增加50x元，则未租出车辆为x辆，租出车辆为100-x辆，（1分） 租赁公司月收益为y元，根据题意得： 整理得：，（3分） 因为-50<0，所以当x=21时，y取得最大值307050，（4分） 此时月租金为3000+50×21=4050元，（5分） 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司月收益最大，最大月收益为307050元。（6分） 5. 解：（1）每件降价4元多售8件，所以每降价1元多售2件，降价x元多售2x件；每件盈利为(40-x)元，（2分每空，共4分） 答案：2x；40-x （2）设每件童装降价x元，根据题意得：，（1分） 整理得，解得，（2分） 因为要减少库存，所以选择降价更多的x=20，（3分） 答：每件童装应降价20元。（4分） （3）设平均每天盈利为W元， （2分） 因为-2<0，所以当x=15时，W取得最大值1250元，（3分） 答：平均每天盈利的最大值为1250元，此时每件童装降价15元。（4分） $