第二章 4 一元二次方程的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

参考答案与提示 0,b>0。.(Va+Vb)2=+b+2Vab=12+2x3=18。a> 0,b>0,Va+Vb>0。Va+Vb=V18=3V2。 9.解：由根与系数的关系，得x+2=-k,x心2=42 3。由题意，知42-3=-k。解这个方程，得k=-1,k= ④ ⑤ 子。原方程有两个实数根，4--4(4-3)=2 第4题答图 1520。当k=-1时，△=12-152=-3<0：当k=3时， 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性， 从美学的角度方案③最出色，方案③④⑤都具有对 4=12-1536>0.6子。 称性。 10.(1)证明：：4=[-(m+3)]2-4(2m-1)=(m+3)2- (2)方案①可列出方程32×20-(32x+20x-x2)=540: 4(2m-1)=m2-2m+13=(m-1)2+12>0,∴.无论m取何值 方案②可列出方程(32-x)(20-x)=540:方案③可列出 时，方程总有两个不相等的实数根。(2)解：设 AB,BC的长分别为1，x2,则，2是方程2-(m+3)x+ 方程42兰(20产）=540：方案④可列出方程 2 2m-1=0的两个实数根，根据根与系数的关系，得x+ 2(20-x)32,x=540:方案⑤可列出方程2(32-x) 2=m+3,x2=2m-1,又：△ABC是以AC为斜边的直 2 角三角形，AC=V35,x+x2=AC。又x+后=(x+2)2- 29540, 2x2,AC=(V352=35,∴.(m+3)2-2(2m-1)=35。整 上述方程都可以整理为x2-52x+100=0。解得x=2, 理方程，得m2+2m-24=0。解得m=-6或m=4。AB, 2=50(不符合题意，舍去)。x=2。 BC是三角形的边长，>0，x>0,1+=m+3>0, 5.解：(1)x>y。理由：由题意知AC=BC, x2=2m-1>0。当m=-6时，x1+x2=-6+3=-3<0,不符合 题意，舍去；当m=4时，x1+2=4+3=7>0,x2=2×4-1= ∠AcB90,AB25,AC-BCYZ。5Y2-:月 7>0,符合题意。.当m=4时，△ABC是以AC为斜边 的直角三角形。 5Y2+y了2，整理方程，得4452g 4 11.-312.-404813.D14.C 0.0,y0,则y>0。y-x<0,即x>y。(2)在 4一元二次方程的应用（第1课时) Rt△ABC中，AB=2.5,BC=0.7,则AC=VAB-AC= 1.2×(4+2)-2x5×4(4-2）)号 V2.5-0.7=2.4。设AA1=BB1=x,则AC=2.4-x,B,C 2.解：设阔（宽）为x步，则长为(60-x)步。 0.7+x,由勾股定理，得2.52=(2.4-x)2+(0.7+x)2,化简， 根据题意，得x(60-x)=864。整理方程，得x260+864= 得2x2-3.4x=0。解得x1=1.7,x2=0(舍去)。∴=1.7，即 0。解得x=24,=36。∴.阔（宽）为24步，长为36步。 梯子顶端A下滑的距离是1.7m。(3)设AC=x, 3.解：(1)由题意知，矩形窗户AEFD的宽AE= BC=y,由题意，知AA=BB=0.4,则2.52=y2+(x+0.4)2 x,则长EF=2x,.矩形窗户AEFD的透光面积为2x2。! ①，2.5=(y+0.4)2+2…②。由方程①②，得x=y。整 又所有线段总长为10.5m,矩形窗户AEFD边框的 周长为7x,.矩形窗户EBCF的边BC长为2x,BE= 理方程①，得22+0.8-6.09=0。解得=-0.8-V49.36 4 子（105-9x)=3.5-3,六矩形窗户EBCF的透光面积 (不符合题意，舍去)，=0.8+y4936=156。此 4 为2x(3.5-3x)=7x-6x2。(2)由题意，得2x2+7x-62= 时梯足B距墙角约为1.56m。 2.5。整理方程，得4x2-7x+2.5=0。∴x=0.5,2=1.25 6.27.A 当x=1.25时，BE=3.5-3x=-0.25,不符合题意，舍去； 8.解：设小路的宽度为xm,若将小路平移，则9 当x=0.5时，BE=3.5-3=2。BE的长为2m。 块矩形地块可合成长为(20-4x)m、宽为(14-4x)m 4.解：(1)方案如图： 的矩形，根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9。整理. 得2x2-17x+8=0。解得x=0.5,2=8(不符合题意，舍 去)。答：小路的宽度为0.5m。 9.解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm, ② ③ 数学 九年级上册（北师大版） 则边BC=70-2x+2=(72-2x)m。根据题意，得x(72- y(1040-20y)+20x200x(1+50%)=13600+4640。整理方 2x)=640。整理方程，得x2-36x+320=0。解得x1=16, 程，得y2-52y+612=0。解得y=18,y2=34。科普类资 x2=20。当x=16时，72-2x=72-32=-40(m),当x=20 料采购单价不超过20元，y=34舍去。.科普类资料 时，72-2x=72-40-=32(m)。答：当羊圈的长为40m、宽 的采购单价为18元。 为16m或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积 10.解：(1)由表格数据可知，售价x每增加1 为640m的羊圈。(2)不能。理由：由题意，得 元，销售量y就均匀地减少20个，y与x满足一次 x(72-2x)=650。整理方程，得x2-36x+325=0.4= 函数关系。设y与x的函数表达式为y=-20x+b,将 (-36)P-4×325=-4<0,.一元二次方程没有实数根。 (52,760)代人y=-20x+b,得b=1800。将表格中其 羊圈的面积不能达到650m。 他组x,y的对应值代人，均满足y=-120x+1800。又： 成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过 4一元二次方程的应用（第2课时） 75元的价格销售，..50≤x≤75。.y与x的函数表达式 1.3000(1+x)2=50002.10%3.B4.D 为y=-20x+1800(50≤x≤75)。(2)根据题意，得 5.解：设增加了x行，则增加的列数为x。根据 (x-50)(-20+1800)=6000。整理方程，得x2-140x+4800= 题意，得(6+x)(8+x)-6×8=51。整理方程，得x2+14x- 0。解得x=60,x2=80(不符合题意，舍去)。∴.当售价 510。解得x=3,=17(舍去)。答：增加了3行3列。 定为60元/个时，每天的利润可达到6000元。 6.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则 第三章图形的相似 由题意，得128+128(1+x)+128(1+x)2=608。整理方程， 1相似多边形（第1课时） 得4x2+12x-7=-0。解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去)。 答：进馆人次的月平均增长率为50%。 (2)进馆 1.152.号3.1304V了5C6B7.D 人次的月平均增长率为50%，∴.第四个月的进馆人次 为28×1+50%-128×-432<50。答：校图书 8解：2-2，C-m+DC,AB=3em,BC 3 BD 能接纳第四个月的进馆人次。 5.6cm,AC=5cm,号=5.6D。由比例性质，得 7.解：设新品种花生亩产量的增长率为x,则 3(5.6-BD)=5BD。∴BD=2.1cm。DC=BC-BD=3.5cm。 200(1+x)·50%(1+0.5x)=132。整理得x2+3x-0.64=0。解 9解：a1 RCDADEE8,一品-2。AB 得x=0.2,2=-32(舍去)。∴.新品种花生亩产量的增 长率为20%。 12,4D-8,号是46号 Γ3 8.解：(1)设该款车销售量的月平均增长率为 10.解：图1与图2，图1与图3，图2与图3都 x,根据题意，得2.5(1+x)2-=3.6。解得x1=0.2=20%,x2= 不相似。理由：·.·图1中线段BC,FE增加相同的长 -2.2(不符合题意，舍去)。答：该款车销售量的月平 度后得因2，品品产器图1与图2不相 均增长率为20%。(2)设该款车的售价为每辆y万 似。图1变为图3后，六个内角发生变化，如∠A≠ 元，则每辆车的销售利润为(y-6)万元，平均每月可 ∠A2,∠B≠∠B,∠C≠∠C2,∴.图1与图3不相似。 售出150+75Y×15=(1275-150)辆。根据题意， 0.1 :图2的六个内角与图3的六个内角都不相等，图2 得(y-6)(1275-150y)=150×(7.5-6)。整理方程，得 与图3也不相似。 2y2-29y+105=0。解得=7，y2=7.5(不符合题意，舍 11.解：(1)设矩形ABCD的边AB=CD=a,AD= BC=b,则正方形ABEF的边长是a,矩形ECDF的边 去)。.该款车的售价应为每辆7万元。 EF=DC=a,EC=FD=b-a。·:矩形ECDF∽矩形ABCD, 9.解：(1)设第一批采购的艺术类资料为x本， 则科普类资料为(3x+200)本。由题意得20x+12(3x+ 胎品，即名0，解方程，得 200)=13600。解得x=200。.3x+200=3×200+200=800 b=+50,b=-Y54(不符合题意，舍去)。 (本)。第一批采购的艺术类资料为200本，科普类 2 2 资料为800本。(2)设第二批科普类资料的采购单 矩形ABCD的长和宽的比b=1+V至 价为y元，则第二批科普类资料的采购数量为 2 800-y-12×40=(1040-20y)本。根据题意，得 (2)由(1)得BC=1+Y5,AB=4,BC=21+ 2 AB 2一元二次方程 第二章 元二次方程的应用（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路 相交于点0处。甲沿着喀什路以4ms的速度由西向东走，乙沿着 路 东 z 北京路以3ms的速度由南向北走。当乙走到0点以北50m处时， 喀什路 甲恰好到达点O处。若两人继续向前行走，求两人相距85m时各 自的位置。 例题图 【分析】要确定两人的位置，就要计算两人的路程，由速度已知，要先求时间。因两人 相距85时，恰好两人的位置与O点构成直角三角形，故可利用勾股定理建立方程求出时间。 【解答】设经过xs时两人相距85m,根据题意得(4x)2+(50+3x)2=852。 整理方程，得x2+12x-189=0。 解得x1=9,x2=-21(不符合实际情况，舍去)。 当x=9时，4x=36,50+3x=77。 .当两人相距85m时，甲在0点以东36m处，乙在0点以北77m处。 【点拨】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找到等量关系。本例题 是利用勾股定理列出方程，这类涉及图形的问题通常是利用体积、面积、周长及直角三角形 三边关系等建立等量关系。 基础巩固飞)达标闯关 一卡多 L.如图，正方形ABCD的边长为8cm,E为AB的中点，点P以 4cms的速度从点B出发向点C运动，同时点Q以2cm/s的速度从点E 出发向点B运动。在运动过程中，当SAMm=2SAm时，设点P和点Q的运 动时间为tS,则根据题意列方程为 ，解得= 2.我国数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》一书提出一个问题： 第1题图 直田积八百六十四步（平方步），只云长阔共六十步，问阔（宽）及长各几步。其意思是矩 形田地的面积为864平方步，其中长、宽之和是60步，问宽和长各多少步。 数学 九年级上册（北师大版） 3.教室改造采光窗户，窗户上半部分是由两个相同的正方形组成的矩形，下半部分是由 两个相同的长方形组成的矩形。建立模型如图所示，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何 图形，图中所有线段总长为10.5m。设AE的长为xm。 (1)用含x的式子表示出矩形窗户AEFD和矩形窗户EBCF的透光面积。 (2)当窗户的总透光面积为2.5m2时，求BE的长。 第3题图 能力提升螂综合拓展 4.育光中学为美化校园，准备在东西长为32m、南北宽为20m的长方形土地上，修筑 分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的 总面积为540m2。 (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）。 (2)如果设道路的宽为xm,列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值。 48 一元二次方程 第二章 5.如图，一架长为2.5m的梯子AB斜靠在墙面上。 (1)如果梯子顶端A与梯足B到墙角C的距离相等(AC=BC),猜想当梯子顶端沿墙垂 直下滑的距离x与梯足外移的距离y的大小关系，并说明理由。 (2)如果梯足B到墙角C的距离为0.7，当梯子顶端A沿墙垂直下滑的距离与梯足B 外移的距离恰好相等时，梯子顶端A下滑的距离是多少？ (3)梯足距墙角多少米时，梯子的顶端A沿墙面垂直下滑0.4，梯足B也恰好外移 0.4m(结果精确到0.01)？ 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2024.青岛)如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空 16m 地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空 12m 花坛 地面积的一半，则小路的宽为 1m。 7.(2024.西宁)如图，小区物业规划在一个长为60m、 第6题图 宽为22m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场，阴影部 -60m D 分为停车位所在区域，两侧是宽为x的道路，中间是宽为 2xm的道路。如果阴影部分的总面积是600m2,那么x满足22m 的方程是（) B A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0 第7题图 C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0 49 口数学 九年级上册（北师大版） 8.(2025·威海)如图，某校有一块长为20m、宽为14m的矩形种植园。为了方便耕作 管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面 积均为242的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 20m 第8题图 9.(2023·东营)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长） 围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）。 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 第9题图 西 一元二次方程 第二章 元二次方程的应用（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题辽宁公安交警部门要求市民骑行电动自行车、摩托车时，严格遵守“一盔一带” 规定，安全文明出行。某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出 540个，且从四月份到六月份月增长率相同。 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率。 (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此 基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又 要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据该品牌头盔四月份及六月份的 销售量，列一元二次方程求解即可。(2)设每个头盔涨价y元，根据“销售量×每个头盔的 利润=6000元”，列出关于y的一元二次方程求解，再根据“尽可能让市民得到实惠”取舍 方程的解即可。 【解答】(1)设头盔销售量的月增长率为x,根据题意，得375(1+x)2=540。解得x=0.2, x2=-2.2(不符合题意，舍去)，∴.头盔销售量的月增长率为20%。(2)设每个头盔涨价y 元，根据题意，得(10+y)(500-20y)=6000。整理方程，得y2-15y+50=0。解得y=5,y2=10 (不符合题意，舍去)。∴该品牌的头盔每个应涨价5元。 【点拨】本题是应用一元二次方程解增长率及商品销售问题，解增长率这类问题的关键 是要找到起始量a,增长后的量b,明确b的实际意义，列出形如a(1+x)2-b或者a+a(1+x)+ α(1+x)2=b的方程。解商品销售类问题，常用的等量关系：每件商品的利润=售价-进价，销 售量=原销售量±变化量，销售量×每件商品的利润=总利润。 基础巩固飞U达标闯关 -修● 1.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入3000万元，2025年 投入5000万元。设教育经费的年平均增长率为x,则根据题意可列出的方程为 2.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量 提高到1210辆，则该厂四、五月份产量的月平均增长率为 3.2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房纪录一再刷新，据网络平台数据显 示，其4月4一6日的总票房为3.78亿元，4月4日的单日票房达到1.2亿元。假设平均每天 的票房增长率为x,则下列方程正确的是() A.1.2(1+2x)=3.78 B.1.2+1.2(1+x)+1.2(1+x)2=3.78 C.1.2(1+x)2=3.78 D.1.2(1+x2)=3.78 51 数学 九年级上册（北师大版） 4.商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件。经调查发 现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价x元，每天将盈利1120元，则可列方程为 () A.(80-x)(30+x)=1120 B.(80-x)(30+5x)=1120 C.(80-50-x)(30+x)=1120 D.(80-50-x)(30+5x)=1120 5.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、 列数相同，求增加了多少行和列。 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆。据统计，第一 个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月 平均增长率相同。 (1)求进馆人次的月平均增长率。 (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长 率不变的条件下，问校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由。 电 一元二次方程 第二章 能力提升蹄综合拓展 7.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg,出油率为50%。现在种植新品种 花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长 率的)，求新品种花生亩产量的增长率。 8.我国不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加。经 统计，某品牌新能源热门车型的全国销售量7月为2.5万辆，9月为3.6万辆。 (1)求该款车销售量的月平均增长率。 (2)某地区一该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元。经试 销发现：当该款汽车每辆售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而每辆售价每降低0.1 万元时，平均每月就能多售出15辆。为了增加销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想 要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 的 数学 九年级上册（北师大版） 9.某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料。第一批采购时，科普 类资料的订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料的单价为12元，艺术类资料的 单价为20元，总计支出13600元。 (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本。 (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨。 社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本。艺术类资料单 价不变，采购数量比第一批增加50%。最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且 科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元。 中考链接©真题演练 10.(2025·东营)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个 不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x(元/个)与每天的销售量y(个)的对应值 表格如下： x/(元/个) … 52 53 54 55 y个 760 740 720 700 (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围。 (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 函