2.3 一元二次方程的根与系数的关系 提升练习 2026～2027学年北师大版九年级数学上册
2026-09-20
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摘要：
**基本信息**
聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与推理意识。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础巩固|根与系数关系直接应用（求另一根、系数）|选择1-3、填空1-2直接考查韦达定理基本公式|
|能力提升|根的性质（相反数、和积关系）、判别式综合|选择6-8、填空4结合判别式考查根的特征|
|综合拓展|方程与几何（矩形面积）、参数取值范围|解答3-5将韦达定理与矩形周长、参数讨论结合，体现模型意识|
内容正文：
北师大版 九年级数学上册
第二章 一元二次方程
2.3 一元二次方程的根与系数的关系 提升练习
考试时间：45分钟 满分：100分
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则另一个根是（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
2. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 若一元二次方程的两根分别是3和-2，则p,q的值分别为（ ）
A．p=1,q=-6 B．p=-1,q=-6 C．p=-1,q=6 D．p=1,q=6
4. 已知两个实数之和为2，积为-1，则这两个数满足的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
5. 设方程的两个根是和，则的值是（ ）
A．-9 B．-7 C．-11 D．-5
6. 若关于x的一元二次方程的两实根互为相反数，则k的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．1
7. 若是方程的两个根，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．-2
8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则m的值是（ ）
A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或1
9. 若方程的两根一个比1大，一个比1小，则的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
10. 设是方程的两个不相等的实根，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 设一元二次方程的两根为，则__________。
2. 若方程的一个根是-2，则另一根为______，a的值为__________。
3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______，此时方程的根为__________。
4. 若关于x的方程的两根满足，则m的值为__________。
5. 若实数p,q满足，且，则__________。
三、解答题（共5题，共50分）
1. 已知关于x的一元二次方程。（8分）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（4分）
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值。（4分）
2. 已知关于x的一元二次方程。（10分）
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；（4分）
（2）若方程的两根满足，求的值。（6分）
3. 已知矩形的周长为30，矩形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，求矩形的面积。（8分）
4. 已知关于x的一元二次方程。（12分）
（1）求证：方程总有两个实数根；（4分）
（2）若方程有一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围；（4分）
（3）设方程的两个根为，且，求y与m的关系式，并求y的最小值。（4分）
5. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根。（12分）
（1）求k的取值范围；（4分）
（2）是否存在实数k，使方程的两根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（8分）
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九年级数学上册一元二次方程提升练习 参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1. A 2. A 3. A 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. B 10. C
二、填空题（每题4分，共20分）
1.
2. 另一根为1，a=2
3. m=5，两根均为2
4. 2
5. 14
三、解答题（共50分）
1. （8分）
解：（1）对于一元二次方程，判别式（1分）
（2分）
∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得。（4分）
（2）由根与系数的关系得：（1分）
∵，展开得，化简得（2分）
代入得：，即，解得或，又∵，∴。（4分）
2. （10分）
（1）证明：判别式，（3分）∴无论k取何实数值，方程总有两个不相等的实数根。（4分）
（2）解：由根与系数的关系得：（2分）
∵，代入得，整理得，即（4分）
∴。（6分）
3. （8分）
解：设矩形的长为a，宽为b，由题意得周长，∴（2分）
∵a,b是方程的两根，由根与系数的关系得，∴，解得（4分）
矩形面积（6分）
验证：此时方程判别式，方程有两个不相等实根，符合题意。（8分）
答：矩形的面积为12。
4. （12分）
（1）证明：判别式，（3分）∴无论m取何值，方程总有两个实数根。（4分）
（2）解：设方程两根为，由根与系数的关系得：（1分）
由题意，展开得，（2分）
代入得，化简得，即m的取值范围为。（4分）
（3）解：（1分）
代入得（2分）
∵，∴当时，y取得最小值0。（4分）
5. （12分）
（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴方程为一元二次方程，即，得（1分）
判别式，（3分）
解得且，即k的取值范围为且。（4分）
（2）解：不存在，理由如下：（1分）
假设存在实数k，使两根互为相反数，则（2分）
由根与系数的关系得，则分子，解得（4分）
∵，不满足（1）中且的条件，此时方程无实数根（6分）
∴不存在这样的实数k，使方程的两根互为相反数。（8分）
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