2.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“双减分层·核心素养”为导向，通过前置梳理-基础应用-能力提升-素养探究-中考衔接的五级梯度设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|韦达定理概念、使用前提、代数式变形|填空形式夯实前置认知，聚焦公式本质理解| |基础达标|直接求根和积、已知一根求参数、整体代入求值、逆向构造方程|题型对应核心考点，如“整体代入”强化公式变形应用| |能力提升|参数求解（含判别式检验）、复杂代数式求值|强调解题规范，突出“判别式检验”关键步骤| |素养探究|参数与几何实际结合（三角形边长、四边形性质）|以几何情境为载体，培养逻辑推理与模型意识| |中考链接|近年中考真题（选择、填空、解答）|匹配中考命题趋势，实现日常练习与测评衔接|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】直接运用韦达定理求两根和、积 2 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 4 【题型3】整体代入求代数式的值 6 【题型4】已知两根，逆向构造一元二次方程 7 三.能力提升 12 【题型1】结合韦达定理求参数（务必检验判别式） 12 【题型2】综合代数式变形，复杂求值计算 15 四.素养探究 18 【题型】韦达定理综合探究（参数+几何实际） 18 五.中考链接 23 六.自我评价 29 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握韦达定理内容、使用前提以及常见代数式变形。 1. 韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程 ，当方程有两个实数根 （即）时： 两根之和：________；两根之积：________。 2. 特别提醒：使用根与系数关系的两个前提：①方程是一元二次方程，即______≠0；②方程要有实数根，即________。不满足前提，不能使用韦达定理。 3. 常用代数式变形（不解方程整体代入求值）： ① ________； ② ________； 4. 逆向构造方程：若已知两个数为，则对应的一元二次方程可以写为：。 【参考答案】 1. ； 2. ； 3. ； 二.基础达标 【题型1】直接运用韦达定理求两根和、积 核心考点：化为一般形式，准确识别a、b、c，注意两根之和公式自带负号，直接计算两根的和与积 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系，求解即可． （1）解：设方程的两个根为，，这里，，， ∴，； （2）解：设方程即的两个根为，，这里，，， ∴，． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． （1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 核心考点：利用两根之和或者两根之积，不解方程求出另外一个根，再求字母参数 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一根为3，求方程的另一根及c的值． 【答案】另一根为， 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：设方程的另一根为， ， ． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系得到，进行求解即可． 解：设方程的另一个根为， 由题意，得：， 解得，； 故m的值为，方程的另一个根为． 【题型3】整体代入求代数式的值 核心考点：熟练掌握平方和、倒数和变形公式，不解方程整体代入计算代数式结果 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 2．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 解：对于一元二次方程，其中，，． 方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系得：，． 计算：． 计算：． 计算：． 计算：，． 【题型4】已知两根，逆向构造一元二次方程 核心考点：根据给定的两个根，反向写出对应的一元二次方程 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为和，且，，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，逐一进行判断即可． 解：A. 中，，，故选项A不符合题意； B. 中，，，故选项B不符合题意； C. 中，，，故选项C不符合题意； D. 中，，，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若一元二次方程的两个根为、，则这个一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，． 解：∵一元二次方程的两个根为、， 设关于的一元二次方程的两个根为，， ∴，， A．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意； B．，，故此选项符合题意； C．其中，故此选项不符合题意； D．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的两个根是，．那么这个一元二次方程为____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据和的和与积，然后根据根与系数的关系求解． 解：，， 以，为根的一元二次方程可为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 5．（25-26九年级下·山东威海·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）根据根与系数的关系得：、，再利用完全平方公式变形进行求值即可； （2）将多项式展开，利用、进行求解即可． （1）解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ； （2）解：由（1）知，、， ． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 【答案】（1）2，；（2）；（3）8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． （1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 三.能力提升 【题型1】结合韦达定理求参数（务必检验判别式） 核心考点：利用根的数量关系列等式求参数，解题后必须检验 ，排除使方程无实根的参数 1．（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1）实数的取值范围是；（2） 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 【题型2】综合代数式变形，复杂求值计算 核心考点：综合变形，区分“方程有根”与“可以用韦达定理”的前提条件，规范书写步骤 1．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 2．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 解：若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 四.素养探究 【题型】韦达定理综合探究（参数+几何实际） 核心考点：结合判别式、韦达定理综合求参数，结合几何边长情境，利用根与系数关系解决简单实际问题，培养逻辑推理素养 1．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，进而得到两根之差的绝对值，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，有，， 则， 所以， 根据三角形三边关系，第三边必须满足， 即， 且， 因此可以是6． 故答案为：6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以）． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，四边形中，，且、的长是关于x的方程的两个根． （1）当时，四边形分别是哪种四边形？并说明理由． （2）若、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q，，且，求、的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由如下， 当时，原方程为 解得：，即， 又∵ ∴四边形是平行四边形， （2）， 【分析】（1）将代入，得出，解方程可得，结合已知条件可得四边形是平行四边形； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据题意得出分别是的中位线，分别是的中位线，进而可得，根据，即可得出的长． 解：（1） 略 （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个根． ∴， ∵、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q， ∴， ∴， ∴， ∴分别是的中位线， 同理可得分别是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， ∴ 【点拨】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1），边长为；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． （1）解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； （2）解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； （3）解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 五.中考链接 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2．（2026·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 解：， ， 而， ， ， 故选：A． 二、填空题 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 解：∵方程的两个根是和， ∴． 4．（2026·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 5．（2026·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 6．（2026·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 解：（1）略； （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），；（2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． （1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）略 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】直接运用韦达定理求两根和、积 2 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 3 【题型3】整体代入求代数式的值 3 【题型4】已知两根，逆向构造一元二次方程 4 三.能力提升 5 【题型1】结合韦达定理求参数（务必检验判别式） 5 【题型2】综合代数式变形，复杂求值计算 6 四.素养探究 6 【题型】韦达定理综合探究（参数+几何实际） 6 五.中考链接 7 六.自我评价 8 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握韦达定理内容、使用前提以及常见代数式变形。 1. 韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程 ，当方程有两个实数根 （即）时： 两根之和：________；两根之积：________。 2. 特别提醒：使用根与系数关系的两个前提：①方程是一元二次方程，即______≠0；②方程要有实数根，即________。不满足前提，不能使用韦达定理。 3. 常用代数式变形（不解方程整体代入求值）： ① ________； ② ________； 4. 逆向构造方程：若已知两个数为，则对应的一元二次方程可以写为：。 二.基础达标 【题型1】直接运用韦达定理求两根和、积 核心考点：化为一般形式，准确识别a、b、c，注意两根之和公式自带负号，直接计算两根的和与积 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）； （2）． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中），是方程的两个根，请计算下列式子的值． （1）与的值是多少？ （2）值是多少？ 【题型2】已知方程一根，求另一根与参数 核心考点：利用两根之和或者两根之积，不解方程求出另外一个根，再求字母参数 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一根为3，求方程的另一根及c的值． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【题型3】整体代入求代数式的值 核心考点：熟练掌握平方和、倒数和变形公式，不解方程整体代入计算代数式结果 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 2．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 【题型4】已知两根，逆向构造一元二次方程 核心考点：根据给定的两个根，反向写出对应的一元二次方程 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为和，且，，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若一元二次方程的两个根为、，则这个一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的两个根是，．那么这个一元二次方程为____________________． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 5．（25-26九年级下·山东威海·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 三.能力提升 【题型1】结合韦达定理求参数（务必检验判别式） 核心考点：利用根的数量关系列等式求参数，解题后必须检验 ，排除使方程无实根的参数 1．（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【题型2】综合代数式变形，复杂求值计算 核心考点：综合变形，区分“方程有根”与“可以用韦达定理”的前提条件，规范书写步骤 1．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 2．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 3．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 4．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 四.素养探究 【题型】韦达定理综合探究（参数+几何实际） 核心考点：结合判别式、韦达定理综合求参数，结合几何边长情境，利用根与系数关系解决简单实际问题，培养逻辑推理素养 1．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，四边形中，，且、的长是关于x的方程的两个根． （1）当时，四边形分别是哪种四边形？并说明理由． （2）若、分别是、的中点，线段分别交、于点P、Q，，且，求、的长． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 五.中考链接 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．（2026·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 二、填空题 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 4．（2026·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 5．（2026·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 6．（2026·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $