2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年北师大数学九年级上册

**基本信息** 以“根与系数关系”为核心，通过考向分层设计，实现从基础应用到综合探究的梯度巩固，培养符号意识、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考向1|根与系数关系直接应用|含中考及期末基础题，聚焦两根和与积的直接计算，强化概念理解| |考向2|代数式值的转化计算|通过方程根构造代数式，训练运算能力，衔接中考常见求值题型| |考向3|参数求解与范围讨论|结合根的性质（倒数、平方关系等）设置综合题，渗透分类讨论思想，提升推理能力|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 考向1 已知一元二次方程求根和系数的关系 1.（2025广西中考）已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2.（2025-2026学年滁州初二下学期期末）下列一元二次方程中，两根之和为3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，逐一计算出各个选项的两根之和，即可作答． 【详解】解：A、的判别式是，两个根之和为，故该选项不符合题意； B、的判别式是，两个根之和为，故该选项不符合题意； C、的判别式是，两个根之和为，故该选项符合题意； D、的判别式是，两个根之和为，故该选项不符合题意． 3.（2025河北中考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 4.（2025-2026学年浙江初二下学期期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可． 【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：， 则有， ∴， ∴电路中的总电阻为， ∴． 5.（2025-2026学年烟台初二下学期期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 6.（2026乐山中考）已知方程的两个根是和，则 _________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴ ． 7.（2025苏州中考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 考向2 已知一元二次方程根和系数的关系求代数式的值 1.（2026绥化中考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 2.（2025东营中考）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 3.（2025攀枝花中考）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 4.（2026眉山中考）若方程 的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将 ， 代入得：原式 ． 5.（2026巴中中考）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 6.（2025宿迁中考）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 考向3 已知一元二次方程根和系数的关系求参数的值或取值范围 1.若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 2.关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或 C. 或2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 3.（2026烟台一模）关于的方程的两个根满足，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入得，， 解得． 4.（2026河北中考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 5.（2026广安中考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 6.（2026南充中考）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 考向1 已知一元二次方程求根和系数的关系 1.（2025广西中考）已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 2.（2025-2026学年滁州初二下学期期末）下列一元二次方程中，两根之和为3的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025河北中考）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） 4.（2025-2026学年浙江初二下学期期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（ ） A. B. C. D. 5.（2025-2026学年烟台初二下学期期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ） A. B. C. D. 6.（2026乐山中考）已知方程的两个根是和，则 _________． 7.（2025苏州中考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 考向2 已知一元二次方程根和系数的关系求代数式的值 1.（2026绥化中考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2025东营中考）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 3.（2025攀枝花中考）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 4.（2026眉山中考）若方程 的两个根是，，则的值为________． 5.（2026巴中中考）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 6.（2025宿迁中考）方程的两个根分别是，则___________ 考向3 已知一元二次方程根和系数的关系求参数的值或取值范围 1.若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 2.关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或 C. 或2 D. 或 3.（2026烟台一模）关于的方程的两个根满足，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 4.（2026河北中考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 5.（2026广安中考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 6.（2026南充中考）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $