专题03 空间向量（期中真题汇编，上海专用）高二数学上学期沪教版

**基本信息** 空间向量专题汇编，覆盖6大高频考点，精选上海多校期中试题，基础巩固与能力提升梯度分明，适配高二期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12题|基本定理（基底判断）、数量积（垂直条件）等|名校期中真题，注重概念辨析| |填空|18题|共线共面（四点共面参数）、距离问题（点到线距离）等|情境真实，梯度设计合理| |解答|12题|二面角计算（正四棱柱）、线面垂直证明（四棱锥）等|综合应用，结合几何模型，体现逻辑推理|

专题03 空间向量 6大高频考点概览 考点01基本定理 考点02空间向量数量积 考点03异面直线夹角 考点04线面角 考点05二面角/面面角 考点06空间向量中距离问题 地 城 考点01 基本定理 一、单选题 1．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海实验学校·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）已知空间两点，向量满足，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 4．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中）若向量与向量共线，则x的值为______． 8．（25-26高二上·上海延安中学·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 9．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________. 10．（25-26高二上·上海浦外·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 11．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是_______（把所有真命题的序号都填上）． 三、解答题 12．（25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 地 城 考点02 空间向量数量积 一、单选题 1．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）如图，在三棱锥中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 2．（25-26高二上·上海复旦中学·期中），，与垂直，则实数的值为______. 3．（25-26高二上·上海行知中学·期中）已知向量，若．则__________． 4．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________． 5．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则____________． 6．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为____________. 7．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 8．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为__________． 9．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 10．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      三、解答题 11．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知空间三点，，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若D点在平面上，求的值. 12．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： (1)若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； (2)化简：； (3)记的面积为，证明：. 地 城 考点03 异面直线夹角 一、单选题 1．（25-26高二上·上海进才中学·期中）已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 3．（25-26高二上·上海延安中学·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 4．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 三、解答题 5．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成角的大小. (2)证明：面. 地 城 考点04 线面角 一、填空题 1．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 2．（25-26高二上·上海进才中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______．    二、解答题 3．（25-26高二上·上海进才中学·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 4．（25-26高二上·上海行知中学·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 地 城 考点05 二面角/面面角 一、解答题 1．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（25-26高二上·上海延安中学·期中）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 3．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．    (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小． 4．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 6．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与 所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 7．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 地 城 考点06 空间向量中距离问题 一、填空题 1．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）点，，，则点到直线的距离为______. 2．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为______.    二、解答题 3．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 4．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求四棱锥的高； (3)若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量 6大高频考点概览 考点01基本定理 考点02空间向量数量积 考点03异面直线夹角 考点04线面角 考点05二面角/面面角 考点06空间向量中距离问题 地 城 考点01 基本定理 一、单选题 1．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2．（25-26高二上·上海实验学校·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点N为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法和数乘向量的定义运算即可. 【详解】由题意可知，， 则. 故选：A 3．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）已知空间两点，向量满足，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 【答案】A 【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 【详解】已知，，则， 因为，所以， 解得． 故选：A． 4．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 5．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】因为，，是空间三个不共面的向量，所以不存在且，使得. 对①：假设，，共面，则存在且，使得，即存在且，使得，与已知矛盾，所以假设不成立，故，，不共面，可以成为空间向量的基底； 对②：因为，所以向量，，共面，不能成为空间向量的基底； 对③：假设，，共面，则存在且，使得即， 即存在，得唯一解为， 因此不存在不全为零的实数使得向量共面，这与矛盾， 故假设不成立，所以，，不共面，可以成为空间向量的基底. 故选：C 6．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知集合是经过原点的一个平面，且点不在这个平面内，而在这个平面内，进而得到点和原点、点及正确选项中的点不共面，然后逐一检查各选项即可. 【详解】由存在不全为的实数，使得，等价于向量共面， 所以集合是经过原点的一个平面. 因，则点不在这个平面内，而在这个平面内， 于是过原点，和正确选项中的点的平面不经过点， 即点和原点、点及正确选项中的点不共面. A选项，，，共面，故A错误； B选项，，，，共面于平面，故B错误； C选项，，，，共面于平面，故C错误； D选项，，，，不共面，故D正确； 故选：D 二、填空题 7．（25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中）若向量与向量共线，则x的值为______． 【答案】3 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：因为向量与向量共线， 所以 ，解得， 故答案为：3 8．（25-26高二上·上海延安中学·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）已知点在平面内，并且对平面外任意一点，有，则＝___________. 【答案】 【分析】由空间向量基本定理可得，解之即得. 【详解】因点在平面内，根据空间向量基本定理， 由可得，，解得，. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海浦外·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是_______（把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题 12．（25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标以及，则即为所求； （2）由题意可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 地 城 考点02 空间向量数量积 一、单选题 1．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）如图，在三棱锥中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若分别是中点，连接，应用空间向量数量积的运算律，将、作转化，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若分别是中点，连接， 若，则，可得， 所以， 即， 所以，即， 所以，充分性成立； 若，则 ， 所以，即，必要性成立， 故选：B 二、填空题 2．（25-26高二上·上海复旦中学·期中），，与垂直，则实数的值为______. 【答案】7 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，， 则， 由向量与垂直，得， 所以. 故答案为： 3．（25-26高二上·上海行知中学·期中）已知向量，若．则__________． 【答案】4 【分析】先求得，再由求解. 【详解】因为向量， 所以，又． 所以，解得 ， 故答案为：4 4．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________． 【答案】或 【分析】先计算出，然后根据垂直关系计算出的坐标之间的关系，结合模长可求解出结果. 【详解】因为，所以， 设，因为向量与向量都垂直， 所以，所以， 因为，所以，解得， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 5．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则____________． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的定义可求得，进而求得的值，从而求解. 【详解】因为，且两两夹角为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为____________. 【答案】4 【分析】求出，平方后得到，从而求出. 【详解】由题意得⊥，又，故⊥， 故，， ， 故 ， 故. 故答案为：4 7．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为__________． 【答案】8 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，表示各向量坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，，且. 以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，. 设，则， ∴，，， ∴，，， ∴点坐标可能为，，，，，，，， 故点个数的最大值为8. 故答案为：8. 9．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      【答案】8 【分析】设的中点为，由题设可得，进而得到点落在以为球心，以1为半径的球上，再根据空间向量的数量积运算可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    三、解答题 11．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）已知空间三点，，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若D点在平面上，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据已知求出的向量以及向量的模，根据向量法得出点到直线的距离，即可根据平行四边形的面积公式得出答案； （2）根据已知得出四点共面，共面.根据向量共面的充要条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，， 在上的投影向量的模为， 所以，点到直线的距离， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. （2）因为，D点在平面上， 所以，四点共面，共面. 根据向量共面的充要条件可知，存在，使得， 所以有，解得. 12．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： (1)若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； (2)化简：； (3)记的面积为，证明：. 【答案】(1)①，②； (2)； (3)因为， 故， 要证，只需证， 需证. 设， ， 可得， 又因为，，， 所以 ， 所以， 故. 【分析】（1）①利用数量积的定义求结论；②由向量叉乘的定义直接求解即可； （2）设，根据叉乘的运算表示和即可证明； （3）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后结合叉乘运算证明即可； 【详解】（1）①因为， 所以， 所以 ②因为， 所以. （2）设， 则 ， 将与交换，与交换，与交换，可得， 故. （3）略 地 城 考点03 异面直线夹角 一、单选题 1．（25-26高二上·上海进才中学·期中）已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】取的中点，连接则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线夹角为，则， 即直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 二、填空题 2．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 【答案】/ 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 3．（25-26高二上·上海延安中学·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解两直线所成夹角即可. 【详解】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设边长为2，则有， 则， 故直线AE与SD所成角的余弦值为. 直线AE与SD所成角为 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 三、解答题 5．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成角的大小. (2)证明：面. 【答案】(1)； (2)由（1）得， 则， 因为， 所以，即； 因为， 所以，即； 因为，且平面， 所以平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求向量和利用向量夹角公式求异面直线所成角； （2）建立空间直角坐标系，证明与垂直且与垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论. 【详解】（1）设正方体的棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则各点坐标为：； ，， 设异面直线与所成角为， 则， 因为， 所以，即异面直线与所成角的大小为； （2）略 地 城 考点04 线面角 一、填空题 1．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，并求出的坐标，再结合线面角的向量求法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高二上·上海进才中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 二、解答题 3．（25-26高二上·上海进才中学·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明如下： 底面，平面， ， 在正方形中，，，平面，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：    因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,， ,1,，,0,，,1,， 设平面的一个法向量为,,， 则，取，则，， 平面的一个法向量为,1,， 设直线与平面所成的角为， 则,， 所以 故直线与平面所成的角的的大小为． 4．（25-26高二上·上海行知中学·期中）如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 【答案】(1) 以为原点，以射线为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系．如图： 设，直线的一个方向向量为， 又，设是平面的一个法向量， 则，得，令，则. 于是平面的一个法向量， 于是，所以，又直线平面， 所以直线平面． (2) 【分析】（1）直接用空间向量判断线面关系可证； （2）用空间向量求线面角. 【详解】（1）略 （2）设为所求角，由（1）可知，，， 解得（负值舍去）， 平面的一个法向量，， ，， 于是， 所以直线和平面的所成角为． 地 城 考点05 二面角/面面角 一、解答题 1．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（25-26高二上·上海延安中学·期中）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系， 则,,,,, 即，， ， 即异面直线与所成角为； （2）由（1）的，，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角为； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 且，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 又二面角为锐二面角， 即二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 3．（25-26高二上·上海外国语大学附属外国语学校·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．    (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小． 【答案】(1) 在三棱柱中，取中点，连接， 由点为正方形边中点，得，则， 有，则， 由N是BC的中点，得，而，于是， 又平面， 所以平面.    (2) 【分析】（1）取中点，利用异面直线垂直、线面垂直的判定推理即得. （2）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）略 （2）显然，则，由（1）知，又平面， 于是平面，而平面，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 而，解得， 所以直线与平面所成角的大小为. 4．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； (2)； (3). 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 5．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 6．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与 所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以，又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：分析可知是二面角的平面角，以 为坐标原点，平行于 的直线为 轴，所在直线为 轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；解法二：过 作，交的延长线于，连接，再过 作，交于，结合线面垂直的性质定理和判定定理可知即为直线与平面的所成角，求正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）解法一：因为，即，且异面直线与 所成的角为，即， 又平面平面 ， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以 为坐标原点，平行于 的直线为 轴，所在直线为 轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：过 作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面 ，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 又是在平面 上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过 作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面 ，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 7．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 地 城 考点06 空间向量中距离问题 一、填空题 1．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】2 【分析】利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在的投影向量为， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：2 2．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为______.    【答案】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：    则， 所以，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 二、解答题 3．（25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点为靠近的三等分点处，使得. 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. （2）因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，，所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. （3）设，，，， 因为，所以，解得.即. 因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得. 4．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求四棱锥的高； (3)若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 【答案】(1) 如图连接，作的中点，连接， 因为底面为梯形，，，所以； 又，， 所以，，， ，所以，所以； 又平面，平面，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以； (2)8； (3). 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求出； （3）先设点的坐标，根据向量和平面的法向量得到对应的数量积公式，构造关于的函数，利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，即为所求的四棱锥的高，且两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，则 ，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以， 所以点到平面的距离，解得， 即所求的四棱锥的高为； （3）如图，设，则， 由（2）知，平面的一个法向量为，则， 因为直线与平面所成角为， 所以，化简得； 构造函数， 由函数在上单调递减，且； 又在单调递增，且； 所以在上单调递减，则有， 即，化简得，解得， 即四棱锥的高的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $