精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

上海中学2025学年第一学期期中考试 数学试题 高一____班 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 集合用列举法表示为________． 【答案】## 【解析】 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；， ，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 2. 设全集为，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】对于，有，解得，即. 因为全集为，由补集的定义可得 . 则 . 3. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 【答案】0或 【解析】 【分析】由题意得或，求解并验证即可. 【详解】由， 可得：或， 即或或， 当时，，，，符合； 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时， ，，且，符合； 所以实数a的值为0或， 故答案为：0或 4. 设为实数，则“”是“”的________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】直接由包含关系判断充分必要条件可得. 【详解】因为，得，显然， 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 6. 若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合可得结论. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 7. 已知实数，且，则________． 【答案】16 【解析】 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 8. 已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数 的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有 ， 所以令，求解得， 所以 ， 因此的图像经过定点． 9. 已知是奇函数，则实数a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的值. 【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令， 由 得 ，即， 恒成立．故，解得． 10. 关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】， 即等价于 且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 11. 若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】记 的解集为集合，， 则为 的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有 恒成立. ，， ，化简得； 令， ， ，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 12. 若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为 ，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，， ， ， 当且仅当，即，时等号成立. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由 ，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 14. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 15. 若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 三、解答题（17-19题8分，20-21题12分，共48分） 17. 求下列不等式的解集． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据绝对值的非负性初步得到x的一个范围，再去绝对值符号，解一次不等式即可；（2）根据开偶次方根的数为非负数，分母不为0得到x的一个范围，再根据分子是否为0分类讨论求解. 【小问1详解】 因为，所以，解得． 当时，，所以. 所以原不等式即，解得． 取交集可得原不等式的解集为． 【小问2详解】 不等式有意义的条件为，即且． 当时，不等式即，成立； 当且时，，故，可化为，即，解得． 综上，原不等式的解集为． 18. 已知集合，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】由得，其中． ①时，，解得． ②时，，解得． 综上，实数a的取值范围为． 19. 已知函数，满足，．判断的奇偶性并证明你的结论． 【答案】奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】先利用特殊点函数值，求解未知参数，得到确定的函数表达式，再判断定义域对称性，并验证 与 的关系，从而确定函数的奇偶性. 【详解】因为，，且 ，， 所以， 解得，， 故，． 又因为函数的定义域为 ，关于原点对称， 所以成立． 所以是奇函数． 20. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，；当且时，. 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【小问1详解】 由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． 【小问2详解】 由题意，当时，， 所以 ． 所以当时，；当且时，． 21. 给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． （1）若是的好子集，直接写出，； （2）求的好子集S的元素个数的最大值； （3）当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【答案】（1），或， （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据好子集的定义写； （2）根据元素与不能同属于好子集，得到好子集的元素个数最大值； （3）根据（2）的结论判断即可. 【小问1详解】 因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. 【小问2详解】 中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数． 取，则S是的好子集，且． 综上，的好子集S的元素个数的最大值为． 【小问3详解】 当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用反证法证明当时，必存在一个公共坐标位置，使得所有元素的该分量均为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2025学年第一学期期中考试 数学试题 高一____班 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 集合用列举法表示为________． 2. 设全集为，，，则 ________． 3. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 4. 设为实数，则“”是“”的________条件． 5. 已知，，则的取值范围是______. 6. 若，，用含的代数式表示，则______． 7. 已知实数，且，则________． 8. 已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 9. 已知是奇函数，则实数a的值为________． 10. 关于实数x的不等式的解集是________． 11. 若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 12. 若正实数a，b满足，则的最小值是________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 满足 的所有集合的个数是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 三、解答题（17-19题8分，20-21题12分，共48分） 17. 求下列不等式的解集． （1）； （2）． 18. 已知集合，，若，求实数a的取值范围． 19. 已知函数，满足，．判断的奇偶性并证明你的结论． 20. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若，设，试比较与的大小并说明理由． 21. 给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． （1）若是的好子集，直接写出，； （2）求的好子集S的元素个数的最大值； （3）当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $