每日一练（第1天-第36天）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 36天系统化专项训练，按一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转、圆分模块递进，题量精简适配日常巩固，以题载知，强化知识逻辑与实际应用，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程|5天|选择/填空/解答，含实际应用|从概念（一般形式）到性质（根的判别式），再到应用（增长率、面积问题）| |二次函数|8天|图象辨析/最值/实际应用（桥拱、火箭升空）|从图象性质到平移变换，结合生活情境构建模型，培养空间观念| |反比例函数|8天|图象性质/与一次函数综合|通过实际情境（密度、充电收益）理解反比例关系，强化数形结合| |旋转|8天|性质应用/综合证明（正方形、三角形旋转）|从中心对称到旋转性质，结合几何图形证明，发展推理能力| |圆|7天|垂径定理/切线/内接四边形|从基础性质到综合证明，注重逻辑推导与空间想象|

编者按：本文档策划为期36天的专项练习，每日精选习题，全面覆盖人教版九年级上册全部核心知识： 一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转、圆等内容。题量精简适中，适配学生日常课后巩固，每天 短时刷题，稳步夯实课内基础。 第1天 姓名： 班级： 监督人： 1.方程x(x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是() A.x2-9x+10=0 B.x2-x+10=0 C.x2+9x-10=0 D.x2-x-10=0 2在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列 方程为() A.x(x+1)=36 B.x(x-1)=36 C.x(x+1)=36×2 D.x(x-1)=36×2 3.若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值可能为() A.2 B.3 C.6 D.7 4.解方程： (1)2x2-5x+2=0: (2)(x-3)+2x(x-3)=0. 第1页（共44页） 第2天 姓名： 班级： 监督人： 1.一元二次方程(x-3)2=4的根的情况是（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 2.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车 位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为xm,根据题意所列方程为 () 40米 阁车 22米 车道 宽度 出口 A.(40-2x)(22-x)=520 B.（40-x)(22-2x)=520 c.(40-x)(22-x)=520 D.(40-x)(22+x)=520 3.关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有实数根，则m的取值范围是() A.m≥-1 B.m>-1且m≠0 C.m≥-1且m≠0 D.m≤-1且m≠0 4.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+)x+m2+m=0. (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值， 第2页（共44页） 第3天 姓名： 班级： 监督人： 1在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了，、c得到x3士9-4x2×(,侧则她求解 4 的一元二次方程是() A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0 2.根据下表可知，方程x2+3x-5=0的一个解x的取值范围为( ) 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+3x-5 -0.49 0.04 0.59 1.16 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 3.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两根，且x+x2=3-2xx2,则k的值为 4我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化.某茶商 购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.经市场调查发现，若每盒 茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为一 盒，每天盈利 元： (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 第3页（共44页） 第4天 姓名： 班级： 监督人： 1.【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式x2+8x+18的值总大于0. 2.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增 多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人， (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率： (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过 50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套 最低售价不得少于1200元.已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数. 3.某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为m的小区外墙，其余三边使 用金属护栏搭建.在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是1，已知金属护 栏总长40m,设垂直于外墙的一边长度为xm. (1)当a=30时，若该电动车停放区的占地面积为108m2,求x; (2)当外墙长度a足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到230m2？ 墙 xm 第4页（共44页） 第5天 姓名： 班级： 监督人： 1.嘉嘉解一元二次方程x2-6x+5=0的过程如图所示： 解方程x2-6x+5=0 解：（x-2)(x-3)=0…第一步 .x-2=0或x-3=0…第二步 为=2，X2=3…第三步 (1)嘉嘉的解法从第 步开始出现错误，她采用的方法为 ;(填写“公式法”、“配方法”、“因 式分解法”) (2)请用正确的方法解方程. 2丹东草莓是丹东市的特产之一.请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题 信息及素材 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进 行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录， 素材一 2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千 克，每年的增长率基本相同。 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖， (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸 盒（如图2).为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm的纸盒，设此时纸盒的高为aCm,则 可列方程为 75 80 (图1) (图2) 第5页（共44页） 3.已知关于x的方程3x2-（a-3)x-a=0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求α的取值范围. 第6页（共44页） 第6天 姓名： 班级： 监督人： 1.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是() 2.己知二次函数y=am2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是() A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.a+b+c>0 3.抛物线y=x2+mx+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的值为() A.1 B.1或3 C.1+V2 D.1+V2或1-√2 4.二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题. 10 4 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根： (2)写出不等式ar2+bx+c<0的解集： (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： 第7页（共44页） 第7天 姓名： 班级： 监督人： 1.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为() A.y=3(x+2)2+1B.y=3(x+2)2-1 C.y=3(x-2)2+1 D.y=3(x-2)2-1 2.己知(-3，)，(1,2)，(5，y3)是抛物线y=-2x2+m上的点，则（) A.y>y2>y3 B.y2>y>y3 C.y>y2=y3 D.y=y2>3 3.二次函数y=a2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a>0;②b<0;③c>0;④b2-4aC>0; ⑤a+b+c<0;⑥2a+b=0,其中正确的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，抛物线L:y=-x2+mx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,点B坐标为(-3,0). (1)求抛物线的表达式. (2)若P为抛物线上线段AB上方一点，过P作PD⊥AB,垂足为D,求PD的最大值. (3)在(2)的条件下，当△APB的面积最大时，将抛物线L沿水平方向平移得到抛物线L2,抛物线L2的顶 点为Q,且△AQB的面积等于△APB的面积，直接写出Q的坐标. 第8页（共44页） 第8天 姓名： 班级： 监督人： 1. x … -1 1 2 3 … y … 3 -1 0 m … 则下列关于二次函数y=x2-2x+c的说法正确的是() A.二次函数图象的开口向下 B.二次函数图象的对称轴为直线x=-1 C.若点(-2，乃)在该函数图象上，则y>3 D.当x>0时，y随x的增大而增大 2.如图，二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于(1,0)，对称轴为直线x=-1,以下结论正确的是 () A.abc>0 B.b+2a=0 C.4a-2b+c=0 D.a-b+c≤am2+bm+c(m为实数) B.次函数y)+2x+3的部分图象如图所示，当x>0时，y的值可以是人 A.1 B.2 C.3 D.4 第9页（共44页） 4.综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效 益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收 支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 2 50 100 150 200 250 电站的运营成本w(单位：元)与充电汽车数量x之间满足：W 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值. 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=mx,成本关系保持 不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的m值， 并说明理由 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素， 后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策。 第10页（共44页） 第9天 姓名： 班级： 监督人： 1.关于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列描述错误的是() A.该抛物线开口向上 B.当x=1时，y有最小值2 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.己知关于x的二次函数y=-2x2+8x+k的图象上有三个点：A(-2,),B(-1,y2),C(5,3),则，y2, 的大小关系是() A.y1<y2=3 B.出>y2=3 C.y<2<y3 D.y<y3<y2 3.已知二次函数y=-（x-2)+8,当-2≤x≤5时，y的取值范围是() A.-8≤y≤-1 B.-1≤y≤8 C.-8≤y≤8 D.-8≤y≤1 4.“运河三千里，醉美是淮安.”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布.如图， 桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m,拱高CD为6m. (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式。 (2)当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离. 第11页（共44页） 第10天 姓名： 班级： 监督人： 1.抛物线y=ax2与直线y=ax-2在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（) 2.已知三个二次函数的图象如图所示，那么a、a2、4的大小关系是() y.=ax2 A.a<az<as B.a3<a1<a2 C.as<a<a D.a,<a<a 3.对于抛物线y=-x2-2x+3,下列说法正确的是() A.抛物线y=-x2-2x+3可以由抛物线y=x2平移得到 B.抛物线y=-x2-2x+3的顶点坐标为(-1,3) C.当y≥-5时，x的取值范围是-4≤x≤2 D.当-2≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为3和-21 4.2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功，小明所在的航模社团设计制作的火箭， 它的升空高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)满足函数表达式h=-2+26t+1. (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行5s时，高度恰好为75m的情形？请说明理由. 第12页（共44页） 第11天 姓名： 班级： 监督人： 1 1.抛物线y=二(2x-1)(x+3)与x轴的两个交点之间的距离是() 2 A.Z B.2 C.Z D.4 2.若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,),B(5,y2),则y,y2的大小关系是 （用“<” 连接). 3.已知二次函数y=x2-(m-2)x+m-3. (1)求证：无论m取何值，该抛物线与x轴总有交点： (2)若该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值. 4.如图，菱形0ABC的顶点0,4C在抛物线y上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且 OB=2. (1)求A,C两点的坐标： (2)求菱形OABC的面积. 0 第13页（共44页） 第12天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为9m),另三边用篱笆围 成，中间隔有一道篱笆.设矩形花园垂直于墙的边AB的长为xm,面积为ym2.己知篱笆总长为24m. (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)当边AB的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 9m 2.已知二次函数y=x2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 0 1 1 -3 -4 (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： VA 01 (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是（填序号）： ①a>0:②b2-4ac>0:③当x=1时，y有最小值为-4；④当x>0时，y的值随x值的增大而增大. (3)若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式. 第14页（共44页） 3.综合与实践 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常 水位时，大孔水面宽度为20m,顶点距水面8m,小孔顶点距水面5m. 【建立模型】 -10 10 8m 20m 图1 图2 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函 数表达式 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点1时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结果保留根号） 第15页（共44页） 第13天 姓名： 班级： 监督人： 1.综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、乙、丙三人在表演“踢 枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线 的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）. 老地面 (图1) (图2) (1)如图2，甲站在地面的点O处，从距离地面0.6m高的点A踢出花枪，点A与点O的水平距离是1m,花 枪飞行到与0点水平距离6m的C处达到最高，高度为2.6m. ①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为m,到 点O的水平距离为xm,求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点O水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2.lm,最小为0.6m,求d的 取值范围， (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度hm与时间ts之间的 关系式是h=0.212+1.21(t>0),丙在距花枪落地点7.2m处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度. 第16页（共44页） 2.如图，二次函数y=(x+4)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求抛物线的对称轴： (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. O 3.点M(x,y),N(x2,y2)都在二次函数y=x2-4m+4a-1的图象上，且x2-x=2. (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是 (2)该二次函数的图象的对称轴为一，顶点坐标为一： (3)若该二次函数的图象经过点(4,1)， ①直接写出该二次函数的表达式： ②若0<x<1,则y2;(填“>”"<”或“=”) ③若y=y2,求点M的坐标； (4)若x=-1,乃-y2=3,求该二次函数的表达式： (5)【拓展设问】当a>0且x≤x≤x2时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点M,N在二次函数图象 的对称轴的异侧，直接写出α的取值范围. 第17页（共44页) 第14天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知点A(x,),B(x,y)都在反比例函数y=-4的图象上， 且y<0<2,则x,x2的关系是() A.x2<0<x B.0<x2<x C.x<0<x2 D.x<x2<0 2.若点(a,b)在反比例函数y=2的图象上，则下列各点中也在该图象上的是《) A.（-a,b) B.（a,-b) c.（-a,-b) D.(b,-a) 3.如图，在反比例函数y=《(x>0)的图象上有点，乃，￡，它们的横坐标依次为1,3,6，分别过这 些点作x轴与y轴的垂线段.图中阴影部分的面积记为S,S2,若S2=3,则S,的值为 第15天 姓名： 班级： 监督人： 1.在某闭合电路中，经过电路的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的数据如下表所示. I/A 4 5 6 R/2 30 a 20 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为() A.24 B.25 C.26 D.28 2.在同一直角坐标系中，函数y=:-k与y=(k≠0)的图象可能是(） 3.若(-2，y),(2,),(4,y)三点均在反比例函数y=5 一(k≠0)的图象上，则下列结论中正确的是(). A.y<y2<y3 B.y2<y3<y C.yi<y3<y2 D.y2<y<y3 第18页（共44页） 第16天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知反比例函数y=k的图像经过点(2，-3)，则下列结论正确的是() A.k=6 B.图像在第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.点(-2,3)不在该图像上 2.对反比例函数y=5的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平 移2个单位长度：方案②沿直线y=3翻折：方案③先沿直线x=2翻折，再向右平移1个单位长度，若要 使变化后的图象经过点(3,4)，则可行的方案是() A.①② B.②③ c.①③ D.①②③ 3如图，在平面直角坐标系中，BC1y轴于点C,∠B=90,双曲线y=过点A,交BC于点D,连接OD, AD,若AB=3,S△oMD=15,则k的值为() A.4 B.6 C.8 D.12 第17天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数y= 8的图象在《〕· A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3 2.点42,4)在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（） A.y=-3 1 3 B.y=- C.y=- x 2x 2 D.y=-3 8x 3.对于反比例函数y20，下列说法中错误的是(). A.图象分布在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.图象与坐标轴无交点 D.若点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在它的图象上 第19页（共44页） 第18天 姓名： 班级： 监督人： 1在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 pkg/m)与体积'(m)的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 则这四种气体的质量最小的是() P个 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2已知反比例函数)y=},下列结论正确的是（) A.其图象经过点（-1，-3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时，0<y≤1 3.已知点A(m,y),B(m2+m,乃，)，C(-m,5)(m>0)都在反比例函数y=6的图象上，则，y2,,的大小关系 10 为() A.y2>y>3 B.3>y2>y C.y>3>y2 D.y>2>y3 第20页（共44页） 第19天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数y=-二的图象大致是() VA 2.已知A(-1,m)与B(2,m-3)是反比例函数y=《图象上的两个点，则k的值 X 3.如图，一次函数片=2x+1的图像与x轴交于点A,与反比例函数片，=《在第一象限内的图像交于点 B(1,m),连接OB. (1)求m和k的值. (2)求△AOB的面积. (3)当0<x<1时，2的取值范围是 4如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数y= x与反比例函数y=《(k≠0)的图像交于 2 A(-2,m),B两点，x轴上的点C的坐标为(-5,0) (求点A,B的坐标以及反比例函数y=k(化≠0)的表达式. (2)点D在x轴上，当四边形ACBD为平行四边形时，点D的坐标为 第21页（共44页） 第20天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，直线y=x+b与双曲线y=”(x<0)相交于A(-3,1),B两点，与x轴相交于点C(4,0) (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式： (2)求点B的坐标. 2.如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=m的图象交于A(-2,3),B(n,-2)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)求△AOB的面积： (3)根据图象直接写出不等式+b>”的解集。 X 3.如图，一次函数y=十b与反比例函数y=m的图象相交于点A(-2,1)、B1,n). (1)请直接写出不等式+b>m的解集： (2)求一次函数的解析式： (3)求△AOB的面积. y=kx+b A(-2,1) B(1,n) 第22页（共44页） 第21天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=《(k为常数，且k≠0)的图象交于点A,BL,),且 一次函数与x轴，y轴分别交于点C,D. (1)求反比例函数的解析式： (2)连结OB,在反比例函数图象上是否存在点P,使得SAom=4SAoD,若存在，求点P的坐标，若不存 在，请说明理由. 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数片=kx+b(k+0)与反比例函数巧，=上（化，≠0）的图象在第二象限 交于点A(-1,4),在第四象限交于点B(2,m),过点B作BC⊥x轴于点C,连接AC. (1)求一次函数与反比例函数的表达式， (2)求△ABC的面积， (3)根据图象直接写出不等式kx+b<的解集」 第23页（共44页) 3.如图，一次函数y=:+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x 轴交于C点，过点B作BD⊥x轴，垂足为D,若OB=5,OD=3,且点A的横坐标为-4. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式： (2)求△AOC的面积； (3)直接写出满足+b>m的x的取值范围. 义 o/ 第24页（共44页) 第22天 姓名： 班级： 监督人： 1.下列图形中， 既是中心对称图形又是轴对称图形的是( 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC,其中点A,点B的对应 点分别为点E,点D,当点D在线段BA上时，连接AE,若点D为AB的中点，则CE的长是() A.32 B.3V5 c.6√2 D.63 3.把一副三角板如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45,∠D=30°，斜边AB=6,CD=8,把三角 板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△DCE,(如图②)，此时AB与CD交于点O,则线段AD的长度为() 1 A.2W7 B.5 C.V34 D.√38 4如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和DEF的顶点均在格点（网格 线的交点)上 (1)若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为 (2)作△ABC关于点O的中心对称图形△AB'C'. (3)在(2)的条件下，若M(a,b)为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标. 5-4-3-2-19 第25页（共44页） 第23天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E, 连接BE,则下列结论正确的是() A.AC=AD B.AB⊥EB C.BC=DE D.∠ACD=∠BCE 2.图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针() 2 10 2 9 3 8 65 ,7 A.按顺时针方向旋转30° B.按顺时针方向旋转60° C.按逆时针方向旋转30° D.按逆时针方向旋转60° 3.在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，EF、GH、MN都经过对角线的交点，若BC=8,BC边 上的高为4，则阴影部分的面积为() A.8 B.32 C.16 D.40 4.【问题背景】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接 BO,PB,PC. (1)【发现问题】猜想线段CP与BQ之间的数量关系，并说明理由： (2)【拓展应用】若AP=6,BP=8,CP=10,求四边形APBQ的面积. 第26页（共44页) 第24天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E在BC上，且CE=2BE,点F是矩形ABCD所在平面内 任意一点，且EF=4,连结AF,将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP,连结PE.则线段PE的最 小值为() E A.2W34+2 B.2W10+4 C.8 D.2W34-4 2.在平面直角坐标系中，已知点A(L,2),点B(3,0),将△OAB绕点B逆时针旋转90°得到△AOB,则点A 的对应点A的坐标为 3.如图，在△OAB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1) VA (1)画出将△OAB向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的△OAB: (2)画出将△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA,B2: (3)在平面内有一点D,当以O,A,B,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标； 第27页（共44页） 4.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转 180°-2C得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB,交直线BC于点F. (1)如图1，=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，a=45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE,求证：BE⊥BC; (3)如图3，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明 Ch B CD) D E 图1 图2 图3 第28页（共44页） 第25天 姓名： 班级： 监督人： 1.将图 绕O点逆时针旋转180°得到的图形是() 求1小7 2.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D, E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是() A.∠ACB=∠ACDB.ACI‖DE C.AB=EF D.BF⊥CE 3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB'C'的 位置，连接C"B,则CB的长为() B 6 A.2W3-2 B.3-1 c.5 D.2 4.综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中 线段EF,AE,FC之间的数量关系. 第29页（共44页） D B F C M 图1 图2 1 ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，如图1，根据“旋转的性质”分 析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF,AE,FC之间的数量关系： ②小田同学经过分析后，将△EDF沿DF进行翻折，得到△MDF,射线DM交边BC的延长线于点M, 如图2，根据全等的性质也得到了线段EF,AE,FC之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到 线段EF,AE,FC之间的数量关系是_ (2)【类比探究】 如图3，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且∠EAF=45°，连接EF,试问线段EF, BE,DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由. F O B 图3 (3)【拓展应用】 如图4，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=8,DC=10,CF=6 直接写出BE的长. 图4 第30页（共44页） 第26天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，己知在Rt△ABC中，AB=BC,AC=4,把一块含有30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC 的中点上（∠F=30),将△DEF绕点D按顺时针方向旋转a度(E始终在点B上方），则△ABC与△DEF重 叠部分的面积为() E B M A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB,C,连 接BC,则下列结论错误的是() A.AC=AC B.∠CAC=60 C.AB=8 D.BC=12 3.如图所示，边长为2的等边三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到等边三 角形OAB,则点A的坐标为() B B A.（5,- 8.（5, c.（1,-3) D.(2,-1) 第31页（共44页） 4.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AC边上一动点，连接BD. (1)如图1，延长BC至点F且CF=CD,连接AF,DF,求证：∠AFD=∠ABD; (2)如图2，当点D在AC的延长线上时，将BD绕点B顺时针旋转到BE,使得BD=BE,连接AE交BC于 点G,若∠ABD+∠CDE=18O°，猜想AD,CG的数量关系，并证明. D G D B B 图1 图2 第32页（共44页） 第27天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2,AD=4V2,将矩形ABCD绕点O顺 时针旋转，每次旋转90°，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为() D A 0 A.(6,4) B.（4,-6) c.（-6,-4) D.（-4,6) 2.如图，在△ABC中，顶点C在第一象限，点A在x轴的负半轴上，点B(0,4),C2V5,4,AB=BC,将 △ABC绕点A每次顺时针旋转90°，则第2026次旋转结束时，点B的坐标为() B A.（-4,-4) B.(2,-2) c.（-6,2) D.(0,4) 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，将CD绕点D逆时针旋转至DE,连接AE交线段CD于点F, (1)若F为AE的中点，则旋转角∠CDE= (2)若EF=2,CF=√5，则CE= 第33页（共44页） 第28天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，在△ABC中，∠BAC=64°.将△ABC绕点A逆时针旋转a(O°<a<64)得到△ADE,DE交AC于 点F,当a=4O°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE的度数为 2.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,若点D在边BC上，则∠CDE= 3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转65°，得△A'B'C,若∠A=50°，∠B=100°，则∠BCA'= 4.如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个 顶点坐标分别为AL,),B(3,2),C(2,4). (1)将△ABC向左平移5个单位长度得到△4BC,点A、B、C的对应点分别为A、B、C,请在图中画 出△ABC: (2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△4，B2C2,点A、B、C的对应点分别为A,、B2、C2,请在图中 画出△4，BC2,并写出点C2的坐标. 3 5-4-3-2-10 12345 第34页（共44页) 5.如图1，△ABC中，∠ABC=∠ACB=a,点E在AC上，且满足AE=BE,点F在射线BE上，连接AF, 将AF绕点A顺时针旋转2a得到线段AP,连接CP交AB于点G. (1)请直接写出∠ABE与∠PAF的数量关系： (2)求证：点G是PC的中点： (3)如图2，取BC的中点D,连接GD,若∠PAG=∠BGD,请写出AF与GD的数量关系，并给出证明， B D 图1 图2 第35页（共44页） 第29天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形AB'CD',E、F分别是BD、B'D'的中点，若AB=lcm, BC=7cm,则EF的长为 cm. D 2.综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）. 如图，△ABC,△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC,DE分别是底边，图中的哪 两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 图1 图2 图3 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化.如图1，在△ABC与△ADE中， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE. 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E,F分别是CD,BC上的点，且DE=1.连接AE,AF,EF, 若∠EAF=45°，求BF的长. 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD,AB=2√5，BD=√62，请直接写 出BC的长. 第36页（共44页） 第30天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠CEB的度数为() D A.100° B.110° C.120° D.130° 2.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m.则拱桥的半径为() A.12m B.13m C.14m D.11m 3.如图，AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙O上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() D A.20 B.22 C.30° D.32 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点F, FA=FE (1)求证：CD⊥AB. (2)作FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长. 0 4 M E D 的 第37页（共44页） 第31天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的度数是() A.25° B.40° C.60° D.65° 2.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC,点B经 过的路径为B,点A经过的路径为AD,CE与AD交于点F,则图中阴影部分的面积为() A.20m-45 B.8π-4V5 C.12π-4V3 D. 28m-45 3 3.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是() A.54° B.27° C.36° D.108 4.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D,CE⊥AB, 垂足为E. (1)求证：CA平分∠DCE. (2)若∠DCA=25°，AB=6,求AC的长. C B 第38页（共44页） 第32天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，AD是半圆O的直径，点B,C在半圆上，且弦AB=BC=CD,点P在CD上.若∠PCB=128°， 则∠PBA=() B D A.98 B.100° C.96° D.102° 2.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A,B,C为圆 心，AB长为半径画弧得到的图形).若AB=5,则此莱洛三角形的周长为() B 图1 图2 A.6π 8.16m 15π 3 C.5π D. 4 3.如图，⊙0的直径AB=6,AC是弦，∠AC0=55°.BC的长为() B A c 6 4.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D,使DC=AC,连接BD交⊙O于点E,延 长BD至点F,连接AF,使∠FAD= ∠ABD. 2 (1)求证：FA是⊙O的切线： (2)若FD=4,FA=8,求BE的长. E D 第39页（共44页） 第33天 姓名： 班级： 监督人： 1如图所示，P是⊙O外一点，PA,PB分别和⊙O切于A,B两点，C是AB上任意一点，过C作⊙O的切线 分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12，则PA的长为() A.12 B.6 C.8 D.4 2.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)与点C(0,16),则⊙M 的直径是() M A A.10 B.241 C.4V13 D.20 3.如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C,D在半圆上.已知∠BCD=40°，则∠BOD的度数为 D B 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D. (1)求证：BC与⊙A相切： (2)若AB=10,∠B=30°，求阴影部分的面积. D B 第40页（共44页） 第34天 姓名： 班级： 监督人： 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,BD.若AB=AC,∠ACB=70°，则∠BDC的度数为 0. B 2.如图，AB为⊙O的一条弦，且AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧AB上一点，连接AC,BC,则∠ACB 的度数为 B 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= 4.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧，AD=CD, 过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD. (1)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. 心E 第41页（共44页） 第35天 姓名： 班级： 监督人： 1.图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径O9=2dm,用长 为1ldm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O 转动，OA⊥AB,OA=5dm.在磨盘转动过程中，AP的最大值为dm.最小值为dm. P B 图1 图2 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=120°，则∠DAE的 度数是 3.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，若∠OAB=21°，则∠P= A B 4.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，E为AB延长线上一点，延长ED交⊙O于点C, ∠BDE=2∠BAC,连接OD. (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若CD=2,DE=5,求⊙O的半径. B 第42页（共44页) 第36天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，圆心在BC上的半圆O与斜边AB相切于点D,则∠BCD 的度数是度。 2.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交 AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若AB=10,∠A=60°，求BD的长. 3.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C,AD=DC=1. (1)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. D 第43页（共44页） 4.如图，在△ABC中，AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆 心，OD长为半径的圆过点B. (1)求证：直线AB与⊙O相切； (2)若AB=5,⊙0的半径为12，则tan∠BD0= A B C 第44页（共44页） 编者按：本文档策划为期36天的专项练习，每日精选习题，全面覆盖人教版九年级上册全部核心知识：一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转、圆等内容。题量精简适中，适配学生日常课后巩固，每天短时刷题，稳步夯实课内基础。 第1天 姓名： 班级： 监督人： 1.方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ，整理得：． 3.若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 4.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法，解答即可； （2）利用因式分解法，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ，，解得， ． 第2天 姓名： 班级： 监督人： 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 【详解】解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 2.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 3.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， 无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)m的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵的两个实数根为a，b， ，． ∵， ，． ，即． 解得或． m的值为1或． 第3天 姓名： 班级： 监督人： 1.在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 2.根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的解理解为函数当时与x轴交点的横坐标，再解答即可． 【详解】解：∵对于函数， 当时， 当时， 可见，x取1.1与1.2之间的某一值时，， 则方程的一个解的取值范围是． 3.已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 4.我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 第4天 姓名： 班级： 监督人： 1.【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 【答案】证明：， ∵， ∴，即， 故无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 【分析】将原代数式进行配方，通过平方大于等于0的性质进行证明． 【详解】略． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为． (2)购买的这种健身器材的套数为套． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据社区向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 3．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】(1) (2)该矩形停车区的占地面积不能达到 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 当 时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． （2）解：当外墙长度 足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 第5天 姓名： 班级： 监督人： 1.嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【答案】(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2）略． 2.丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 3.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 第6天 姓名： 班级： 监督人： 1.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 2.已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 3.抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 4.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 第7天 姓名： 班级： 监督人： 1．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 2.已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 3.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 4．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． · 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第8天 姓名： 班级： 监督人： 1． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 2.如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 3．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 4．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1) 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 (2) 收支平衡时的值为20或100 (3) 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）. （2）解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； （3）解：略． 第9天 姓名： 班级： 监督人： 1．关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 2．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 3．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 4．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 第10天 姓名： 班级： 监督人： 1.抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 2.．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 3.对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 4.2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 第11天 姓名： 班级： 监督人： 1.抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 2.若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 3．已知二次函数． (1)求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； (2)若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 【答案】(1)证明：令， 则 ， ∵ ∴无论 取何值，方程 总有实数根， 即该抛物线与 轴总有交点； (2)或 【分析】（1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式构建关于的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程 ， 得 ， ∴抛物线与 轴的两个交点分别为 和 ， ∴它们之间的距离为：， ∵抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ， ∴， ∴解得或. 4．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 第12天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 ．已知篱笆总长为． (1)直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； (2)当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出函数关系式即可． （2）构造二次函数，根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为． 2．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． (3)若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 【答案】(1)图像如下图所示． (2)①②③ (3)（或） 【分析】（1）将表中各点在给定的平面直角坐标系中描出后连接即可． （2）根据函数图象分析即可． （3）先求出原抛物线的顶点式，然后按照二次函数顶点式的平移法则“左加右减，上加下减”，求出平移后的抛物线表达式即可． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可知，抛物线开口向上，，故①正确； 函数抛物线与轴有两个交点，，故②正确； 由函数图象可知，当时，有最小值为，③正确； 由函数图象可知，当时，的值随的值增大而增大，④错误， 正确的有①②③． （3）解：由函数图像可知，二次函数顶点坐标为， 将代入二次函数顶点式， 其中，， 得二次函数顶点式为； 将代入，得， 解得， 二次函数顶点式为， 二次函数向左平移3个单位长度后的顶点式为， ； 再向下平移6个单位长度后的顶点式为， 即； 整理后得， 故平移后的函数表达式为（或）． 3．综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 第13天 姓名： 班级： 监督人： 1.综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 2.如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 3.点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②；③ (4) (5) 【分析】（1）提公因式再根据完全平方公式进行化简即可； （2）根据顶点式即可得到对称轴和顶点坐标； （3）①将代入，求出即可得到解析式； ②根据开口方向以及对称轴判断函数增减性，即可得到答案； ③由题意得到，再根据求出，将代入，得，即可得到答案； （4）根据题意求出，将分别代入，得，再根据求出，即可得到函数解析式； （5）分若和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：对称轴，顶点坐标为； （3）解：①将代入， 即， 解得， 该二次函数的表达式为； ②，开口向上，对称轴， 故在时，，距离对称轴更远， 若，则； ③， 两点关于直线对称， ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； （4）解：， ， 将分别代入， 得， ， ， 该二次函数的表达式为； （5）解：， 二次函数的图象开口向上， 由（2）可知，二次函数图象的顶点坐标为． 又点在二次函数图象的对称轴的异侧，， 点在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧， 当时，函数在处取得最小值， 当时，函数的最大值与最小值的差为1， 当时，函数的最大值为0， ①若，则，即，解得， 由点在二次函数图象的对称轴的异侧，且， 可得， ， 函数的最大值为， ； ， ②若，则，即， 根据点在对称轴左侧可知，解得．， 函数的最大值为， ，，综上所述，的取值范围为． 第14天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 2.若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 3.如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 第15天 姓名： 班级： 监督人： 1.在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 【答案】A 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 2.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 3．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 第16天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 【答案】C 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 2.对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】将点经各方案的逆变换后，验证对应点是否在原反比例函数图象上，即可判断方案是否可行． 【详解】解：方案①的逆变换为向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度. 将逆变换得， ，满足， 方案①可行； 方案②的逆变换为沿直线轴对称. 将对称得； ，满足，方案②可行； 方案③的逆变换为向左平移1个单位长度，再沿直线轴对称； 将先左移1个单位得，再对称得； ，不满足， 方案③不可行． 3.如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 第17天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 2．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先识别出反比例函数的标准形式，然后将点A代入解析式中求出k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为（）， ∴选项C为正比例函数，排除； 将点代入中，得， ∴该反比例函数解析式为． 3．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 第18天 姓名： 班级： 监督人： 1.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 2.已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 3.已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 第19天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 2.已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 3.如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 第20天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数为 (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标． 【详解】（1）解：将代入： 得， ∴反比例函数为； 直线经过和，代入得方程组： ①②得：， 将代入②得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 解得：或 当时，，即点， 当时，，即点， ∴点的坐标为． 2.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式；一次函数的解析式 (2)2.5 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 第21天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 第22天 姓名： 班级： 监督人： 1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意． 2.如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，相交于点P，过点C作于点H，先根据图形旋转的性质及等腰三角形的性质证明，然后证明，求得，，再根据三线合一性质求得，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：延长，相交于点P，过点C作于点H， 绕点C顺时针旋转到， ，，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点D为的中点， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，． 3.把一副三角板如图①放置，其中，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查图形旋转的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理．先分析两块三角板的角度关系，根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理求出直角边的长，再根据旋转的性质，计算三角板绕点旋转后的大小，由此判定与互相垂直，为等腰直角三角形，接着利用勾股定理求出的长度，从而求得的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：为等腰直角三角形， ，，， 由勾股定理，， ， ． ，， ， ． 由旋转性质可知，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， , ， ， 在中，． 4.如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求 (3) 【分析】（1）根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； （3）根据关于原点中心对称的两点横纵坐标互为相反数可求N的坐标． 【详解】（1）解：如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P， 由图可知，点P的坐标为； （2）解：略 （3）解：由（2）知和关于点O中心对称， ∵N为点M的对称点，， ∴． 第23天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，故D正确；题目无法得到等于，故B错误． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，故A、C错误； 又题目无法得到等于，故B错误． ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，故D正确． 2.图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 【答案】D 【分析】根据分针每分钟转动的角度及时间差确定旋转方向和角度． 【详解】解：钟面上分针走一圈是60分钟，对应的圆心角是， ∴ 分针每分钟转过的角度是， ∵ 钟表快了10分钟， ∴ 分针多走了10分钟，需要将分针逆时针旋转回调， ∴ 旋转的角度为， ∴ 应该将分针按逆时针方向旋转． 3.在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 4.【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 第24天 姓名： 班级： 监督人： 1．如图，在矩形中，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（     ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 【答案】 【分析】通过作垂线构造全等三角形，利用旋转的性质得到等边等角，证明三角形全等，根据全等得到对应线段长度，结合位置计算得到的坐标． 【详解】解：设点的对应点为，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，得，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵在轴下方， ∴的横坐标为， 纵坐标为， ∴的坐标为． 3.如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)点的坐标为，或 【分析】（1）按照坐标平移规律作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得到． （2）结合网格的直角特性，分别将点绕点逆时针旋转，得到点、，再顺次连接点、、，即可得到． （3）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，当以为对角线时，作，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，或． 4．在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． (1)如图1，，点D与点C重合，求证：； (2)如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D与点C重合， ∴， ∴； (2)证明：如图2，在的延长线上取一点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)，证明： 如图3，在的延长线上取一点G，使，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）因为线段旋转得到，所以，结合得，得，由证明，得，由D与点C重合，可得． （2）在的延长线上取一点H，使，可得，证明与全等，得到的度数，结合计算的度数即可完成垂直的证明． （3）在的延长线上取一点G，使，证明，得到，可得，得到，最后结合线段和差关系推导与的数量关系． 第25天 姓名： 班级： 监督人： 1.将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，将原图绕O点逆时针旋转得到的图形如下： 2.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转性质得出旋转角，结合已知，在中利用内角和定理求出，即可判定． 【详解】解：设与相交于点. 绕点顺时针旋转得到. . . 在中，. . 故 D 选项正确. ，大小不确定， 不一定成立，故A选项错误； ，故C选项错误； ，大小不确定 不一定成立，故B选项错误． 3．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 4.综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； (3) 【分析】（1）小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到，证明在同一直线上，得到，证明，得到，即可得到结论； 小田同学：由题意得到，根据，得到，证明，得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，再证明和，得到，即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，证明和，设，则，在中，，即，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：选小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到， ， 四边形是正方形， ， ， 在同一直线上， ， ， ∴， 即， ， ， ， ， ； 选小田同学：将沿进行翻折，得到， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得． 第26天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 3.如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 4.已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 第27天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 2.如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 3.如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 【答案】 【分析】（1）根据菱形的性质和旋转的性质得到，，再由三线合一定理可得答案； （2）过点F作于点G，根据菱形的性质和旋转的性质得到，；设，则，，可证明；利用直角三角形的性质结合勾股定理，可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵F为的中点， ∴； （2）如图所示，过点F作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴； ∵，， 在中，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 第28天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】/94度 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 2.如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 【答案】 /40度 【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵点D在边上 ， ∴， ∴． 3.如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 4.如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 点的坐标为 【详解】（1）略 （2）略 5.如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)请直接写出与的数量关系； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 延长至，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是的中点. (3)解：，理由如下： 如图，连接， ∵是的中点，的中点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可； （2）如图，延长至，使，连接，证明，，可得，进一步可得，证明，延长至，使，再结合平行四边形的性质可得结论. （3）如图，连接，证明，，再证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴. （2）略 （3）略 第29天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 2．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把绕点A逆时针旋转至，使与重合，根据正方形的性质及各角之间的关系得出点E、D、G共线，然后利用全等三角形的判定和性质得出，，再结合勾股定理求解即可； （3）过D作，且，连接并延长交于K，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； （3）解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 第30天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 2.如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 3.如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 4.如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 第31天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 2.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 3．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4.如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 第32天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 2.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 3.如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 4.如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 第33天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 2.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 【答案】D 【分析】连接，作于H．由相切及切点的坐标得，再证明四边形是矩形，则有，由点B、C的坐标及垂径定理得的长，从而求得圆的半径，即可求得直径． 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵与x轴相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的直径是20． 3.如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 4.如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 第34天 姓名： 班级： 监督人： 4.如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 【答案】/40度 【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 3.如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 4.如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 第35天 姓名： 班级： 监督人： 1．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 3.如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 4.如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 第36天 姓名： 班级： 监督人： 1．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 【答案】25 【分析】先求出，连接，则，求出，最后再由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，连接， ∵圆心在上的半圆与斜边相切于点， ∴， ∴， ∴． 2.如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 3.如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 4.如图，在中，，过延长线上的点O作，交的延长线于点D，以O为圆心，长为半径的圆过点B． (1)求证：直线与相切； (2)若，的半径为12，则 ． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点B在圆O上， ∴直线与相切； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质，以及等量代换推出，再结合等腰三角形性质，以及等量代换推出，即可证明直线与相切； （2）利用勾股定理算出，进而推出，再根据正切定义求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，的半径为12， ∴ ，， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者按：本文档策划为期36天的专项练习，每日精选习题，全面覆盖人教版九年级上册全部核心知识：一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转、圆等内容。题量精简适中，适配学生日常课后巩固，每天短时刷题，稳步夯实课内基础。 第1天 姓名： 班级： 监督人： 1.方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 2.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 3.若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4.解方程： (1)； (2)． 第2天 姓名： 班级： 监督人： 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 3.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 4.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 第3天 姓名： 班级： 监督人： 1.在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2.根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 3.已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 4.我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 第4天 姓名： 班级： 监督人： 1.【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0． 2．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 3．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 第5天 姓名： 班级： 监督人： 1.嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 2.丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 3.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 第6天 姓名： 班级： 监督人： 1.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2.已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3.抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 4.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 第7天 姓名： 班级： 监督人： 1．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2.已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 3.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第8天 姓名： 班级： 监督人： 1． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 2.如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 3．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 第9天 姓名： 班级： 监督人： 1．关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 2．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 第10天 姓名： 班级： 监督人： 1.抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3.对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 4.2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 第11天 姓名： 班级： 监督人： 1.抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 2.若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 3．已知二次函数． (1)求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； (2)若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 4．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 第12天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 ．已知篱笆总长为． (1)直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； (2)当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 2．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． (3)若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 3．综合与实践 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 第13天 姓名： 班级： 监督人： 1.综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 2.如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 第14天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 2.若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 3.如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 第15天 姓名： 班级： 监督人： 1.在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 2.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 第16天 姓名： 班级： 监督人： 1.已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 2.对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3.如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 第17天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 第18天 姓名： 班级： 监督人： 1.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2.已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 3.已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 第19天 姓名： 班级： 监督人： 1.反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2.已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 3.如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 第20天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 2.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 第21天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 第22天 姓名： 班级： 监督人： 1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（     ） A． B． C． D． 3.把一副三角板如图①放置，其中，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（     ） A． B．5 C． D． 4.如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 第23天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2.图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 3.在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4.【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 第24天 姓名： 班级： 监督人： 1．如图，在矩形中，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（     ） A． B． C．8 D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 3.如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 4．在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． (1)如图1，，点D与点C重合，求证：； (2)如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 第25天 姓名： 班级： 监督人： 1.将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 2.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 4.综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 第26天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3.如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 第27天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 2.如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3.如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 第28天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 2.如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 3.如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 4.如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 5.如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)请直接写出与的数量关系； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 第29天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 2．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 第30天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2.如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 3.如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4.如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 第31天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4.如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 第32天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 2.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 3.如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 4.如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 第33天 姓名： 班级： 监督人： 1.如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 2.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 3.如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 4.如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 第34天 姓名： 班级： 监督人： 4.如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 2.如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 3.如图，是的直径，弦，若，则__________． 4.如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 第35天 姓名： 班级： 监督人： 1．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 3.如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 4.如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 第36天 姓名： 班级： 监督人： 1．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 2.如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3.如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 4.如图，在中，，过延长线上的点O作，交的延长线于点D，以O为圆心，长为半径的圆过点B． (1)求证：直线与相切； (2)若，的半径为12，则 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $