培优专题02 二次函数与几何综合题型归纳（专项训练） 数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，按线段周长、面积等6类题型系统编排，通过典型例题强化数形结合与转化思想，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|5题|结合对称轴、交点求最值|二次函数对称性→几何图形性质→最值计算| |面积问题|5题|平移、坐标法求图形面积|函数图像变换→坐标表示→面积公式应用| |角度问题|5题|利用函数性质证角度关系|函数交点坐标→几何角度计算→推理证明| |特殊三角形问题|5题|等腰/直角三角形存在性|二次函数上点坐标→三角形判定条件→分类讨论| |特殊四边形|5题|平行四边形等存在性|函数图像与坐标轴交点→四边形性质→顶点坐标计算| |其它问题|5题|中点、整点等综合应用|函数与几何知识融合→数学模型构建→实际问题解决|

专题02 二次函数与几何综合题型 常考题型·精准突破 题型1 线段周长问题 题型2 有理数的乘除混合运算 题型3 角度问题 题型4 特殊三角形问题 题型5 特殊四边形 题型6：其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1线段周长问题 1．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． ◆题型2 面积问题 1．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 5．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型3 角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 3．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 4．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． ◆题型4特殊三角形问题 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 3．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 5．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型5 特殊四边形 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． ◆题型6 其它问题 1．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 2．如图1，一架无人机从点出发，沿水平直线向点匀速飞行，在地面控制站点处可以检测无人机的飞行状态．设无人机飞行的路程为（单位：百米），为，图2是无人机飞行时随变化的关系图象，图象与轴交于点，最低点为，且经过和两点．根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A． B． C．点的坐标为 D．点在图象上 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为___________． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，则的取值范围为______． 5．已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 5．如图，已知该抛物线的解析式为，点是轴上的一点，将点向右平移个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，那么n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 7．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 9．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 10．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 11．如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 12．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 13．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 14．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 15．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数与几何综合题型 常考题型精准突破 ◆题型1线段周长问题 1.A 2.C 3.6 3 4.(1,2) 5. 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),B(-1,0), 「-16+4b+c=0 {-1-b+c=0' [b=3 解得c=4 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+3x+4 (2)解：y=-x2+3x+4=- ∴将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=-(x-3}+6: (3)当x=0时，y=-x2+3x+4=4, .C(04). 设直线AC的解析式为y=+m,把A(4,0),C(0,4)代入得到， 4k+m=0 m=4, [k=-1 解得m=4 ∴直线AC的解析式为y=-x+4 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设D(,-t+4),则F(6,-+31+4), 则线段DF的长度=-+3+4-(-t+4)=-2+41=-(（t-2)}2+4, -1<0 ∴，当t=2时，线段DF的长度的最大值为4 ◆题型2面积问题 1.C 2.B 3.4 4.2 5. 【详解】(1)解：将顶点M(,4)代入y=(x+m)+k中， 得y=(-1)2-4, ·抛物线的解析式为y=(x-1)-4」 (2)解：：点A,B是抛物线与x轴的交点， ∴令y=0,则(x-1)-4=0, 解得=-1，x2=3, 点A在点B的左边， ∴点A的坐标为(-山，0)，点B的坐标为(3,0). (3)解：存在，理由如下： 由(2)知，AB=4, gSx4x4=8,则SBSo10 ÷2×4=10,解得=5. :点P在抛物线y=(x-1)-4上， .yp≥-4」 .p=5」 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(x-)2-4=5,解得x=-2,x=4, .存在满足条件的点P,其坐标为(-2,5)或(4,5) ◆题型3角度问题 1.D 2.A 3.（-3,4) 4.±图 2 5. 【详解】(1)解：：点A(2,0)在抛物线y=ax2+bx上， ∴.4a+2b=0,即b=-2a, a=-1, .b=2, ∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1 ∴该抛物线的顶点坐标为，)」 (2)证明：如图，过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E, .·b=-2a 该抛物线的表达式为y=ar2-2ax, 设点B(m,am2-2am）,C(n,am2-2an）。 BD=am2-2am,OD=m,CE=2an-an2,OE =n, 在RBOD利BACOE中，mZB0D=职-m-2m-2弘，an2C0EE CE 2an-an2 =2a-an OD m OE n ∴.tan∠BOD-tan∠COE=am-2a-2a+an=a(m+n)-4a. 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+n=4, ∴.tan∠BOD-tan∠COE=4a-4a=0, ∴.tan/BOD=tan∠COE,即∠BOD=∠COE, .OA平分∠BOC ◆题型4特殊三角形问题 1.C 2.c 10 3. 4.（-2,4)或(-2,5) 5. 【详解】(1)解：：抛物线y=ar2+bx+c过点C(0,-2), ∴c=-2」 :抛物线y=ax2+bx+c过点A(L,0),B(-3,0). 「a+b-2=0 9a-3b-2=0 2 a= 解得： b 3 ∴该抛物线的表达式为y 3* 3x-2 (2)解：存在. 2 设Pm3m+写m-2 4 3 :Q(-4,n): 如图①，图②，过点P作MN⊥I于点M,过点A作AN⊥MN于点N,则∠PM0=∠ANP=90° 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B \B M M-C N 图① 图② :△PA0是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， .∠APQ=90°，AP=P0, ∴.∠MPg+∠APN=90 ,∠APN+∠NAP=180°-∠ANP=90°， ∴.∠MPg=∠NAP 在△POM和△APN中， ∠PMQ=∠ANP ∠MPQ=∠NAP PO=AP :.△PQM≌△APN(AAS) ∴PM=AW,OM=PN :PM=m-mt4,4w=-号m+号m-2 .m+4=- w+-2 3 3 解得m=-2,m2= 2 p2-2波3别 ◆题型5特殊四边形 1.C 2.A 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 3. (22 4.(6,6)或(-2,6)或(-6，-6) 5. 【详解】(1)解：抛物线y=(x-)的顶点为B(2,0), .h=2, ∴.抛物线的解析式为y=(x-2): (2)解：当x=0时，y=(x-2)2=4. A(0,4), …顶点为B(2,0), 对称轴为直线x=2, ~AC⊥y轴，交该抛物线于点A和点C, AC关于直线x=2对称， .C(4,4). .AC=4, ∴.S。4CBD=AC·OA=4×4=16 ◆题型6其它问题 1.B 2.D 9 3.0≤c≤ 4.0≤c≤9 5. 【详解】(1)：抛物线经过点C(2,3), .3=m(2-1)2-1, 解得：m=4, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的表达式为：y=4(x-1)-1: :y=m(x-1)2-1(m>0), ∴抛物线的顶点坐标为(，-)： (2) 61 4 3 2 B 6-5-4-3-21234567x 由抛物线y=m(x-1)-1可知，其对称轴为直线x=1,其顶点为（仙，-）· 又，抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点， ∴.由图可知线段AB上必须包含5个整点，即x轴上的整点x的取值为：-1,0,1,2,3. ·抛物线与x轴的交点B的横坐标xa应满足3≤s<4, 令v=0得mx-2-1=0解得x=1± .2≤ 1<3,即4≤1<9. m 1 1 “解得g<m≤4： 之m的取值范国为：)<m≤ 1 4 综合攻坚知能拔這 1.C 2.C 3.A 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.C 5.D 6.(3,5) 7.8 8.3 9.号5 10.-1 11.(2,6) 12. 【详解】(1)解抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0), [a-b+3=0 9a+3b+3=0' a=-1 解得1b=2· ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, b 2 对称轴为直线x= 2a 2x(01, ·对称轴与x轴的交点D坐标为(，0) (2)解：过点B作BE⊥OB交CP延长线于点E, B 当x=0时，y=3 .C(0,3)」 0C=3, B(3,0), 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OB=3, ..OB=OC, ∴，△BOC是等腰直角三角形， .∠CB0=45°， ,∠CBE=90°-∠CB0=45°， ∴∠CBO=LCBE, 在△BCD和△BCE中， 「∠CBO=∠CBE BC=BC ∠DCB=∠ECB △BCD≌aBCE(ASA), .BD=BE, B3,0),D(1,0), .'BE BD=2, ∴点E坐标为(3,2)， 设直线CE解析式为y=mx+n, 把C(0,3),E(3,2)代入得， [3m+n=2 n=3 1 m=- 解得 3 n=3 ∴直线CE解析式为y=3 +3 y=-x2+2x+3 联立方程组 1 y=-5x+3 31 7 解得了 20 y= 9 720 :点P坐标为39 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【详解】(1)解：分别将A(-1,0)、B(4,0)代入y=x2+bx+c中，得： [0=1-b+c 0=16+4b+c’ b=-3 解得c=-4' ∴.该抛物线的函数表达式为y=x2-3x-4。 (2)解：令x=0,则y=-4, 点C的坐标为(0，-4)， 3-25 点p的坐标为2，-4 ①当CP=CQ时，点2位于点O位置，过点C作CD⊥I于点D,如图， B 02 C P *Q3 则点的坐标为[行4。 CP=CO 5 97 :点g,的纵坐标为4 +2× 44 37 、点g的坐标为24： ②当PC=PQ时，点Q位于点O和点Q位置，如图， 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD= 3, DP=9 4,∠CDP=90°， CP=CD+DP =313 , 点g,的纵坐标为 W13-25 点g的纵坐标为 3V13+25 4 4 33V13-25 33V13+25 点g,的坐标为 4 ，点的坐标为 4 33V13-25 3313+25 综上所述，点。 的坐标为 37) 或2 2-4 4 或2 4 14. 【详解】(1)解：在y=-x2+2x+3中， 当x=0时，y=3, 当y=0时，由-x2+2x+3=0,得=-1，x2=3, 结合题意可得，B(3,0),C(0,3). b 2 2a2x可1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 答：点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(O,3),抛物线的对称轴为直线x=1. (2)解：设直线BC的函数关系式为y=x+9, B(3,0),C(0,3), 3p+q=0 g=3 p=-1 解得， 9=3, y=-x+3, 答：直线BC的函数关系式为y=-x+3 (3)解：根据题意可知，点D和点E的横坐标均为1，点P和点F的横坐标均为m, 在y=-x2+2x+3中， 当x=1时，y=-1+2+3=4, 当x=m时，y=-m2+2m+3, 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、D1,4),F(m,-m2+2m+3), 在y=-x+3中， 当x=1时，y=-1+3=2 当x=m时，y=-m+3, E(1,2),P(m,-m+3), :点P在线段BC上， ∴点F在点P的上方， 、PF=-m2+2m+3-（←m+3)=-m2+3m, PFIDE ∴.当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形， .-m2+3m=4-2,(1<m<3), ∴m=2, 答：线段PF的长为-m2+3m,当m=2时，四边形PEDF为平行四边形. 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数 法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和 平行四边形的判定。 15. [0=-1+b+c, 【详解】(1)解：将CL,0):D(-3,0)代入y=-x2+bx+c得0=-9-3b+c [b=-2, 解得1c=3, y=-x2-2x+3=-(x+1)+4, :.抛物线的顶点坐标为（一山，4）： (2)解：抛物线开口向下，顶点坐标为(-1,4)， ∴对称轴为直线x=-1, ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， -4≤x≤0，-1-(4)>0-(-1) ∴x=4时，y=-16+8+3=-5为此时的函数最小值， 当x=-1时，函数最大值为y=4 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·当4≤x≤0时，y的取值范围是-5≤y≤4： (3)解：二次函数y=-x2+br+c的图象向上平移m个单位长度后解析式为y=-x2-2x+3+m, 此时顶点坐标为(-L,4+m),当顶点落在线段AB上时， 4+m=5,解得m=1, y A。 B 当函数图象向上移动，经过点B(0,5)时，5=3+m, 解得m=2, y外 A B 当函数图象经过点A(-3,5)时，5=-9+6+3+m, 解得m=5, ⊙ 当或 时，函数图象与线段 有一个公共点 m=12<m≤5 AB 13/13 专题02 二次函数与几何综合题型 常考题型·精准突破 题型1 线段周长问题 题型2 有理数的乘除混合运算 题型3 角度问题 题型4 特殊三角形问题 题型5 特殊四边形 题型6：其它问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1线段周长问题 1．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． ◆题型2 面积问题 1．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】 【分析】求出点三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对, 令，则，故， ∴ ∴ 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 5．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． ◆题型3 角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 2．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 3．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）略 ◆题型4特殊三角形问题 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 2．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 5．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． ◆题型5 特殊四边形 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 2．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再结合正方形的性质可得，可求出a的值，设，则点，把点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵点B为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则点， 把点代入得： ， 解得：或2（舍去）， ∴点E的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线AB与抛物线在第一象限交于点，若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是______． 【答案】或或 【分析】令，得，可得，设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形性质等，解题的关键是运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想解题． 【详解】解：在中， 令，得， 解得：，， ， 设， 分三种情况： ①以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 、，， 的中点为，中点为， ， 解得， ， ②以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， ③以为对角线，此时中点与中点重合，如图， 同理可得， 解得， ， 综上所述，点N的坐标为或或 故答案为：或或 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． ◆题型6 其它问题 1．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 2．如图1，一架无人机从点出发，沿水平直线向点匀速飞行，在地面控制站点处可以检测无人机的飞行状态．设无人机飞行的路程为（单位：百米），为，图2是无人机飞行时随变化的关系图象，图象与轴交于点，最低点为，且经过和两点．根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A． B． C．点的坐标为 D．点在图象上 【答案】D 【分析】结合函数图象作，根据实际意义得 ，，，由勾股定理得，即可判断选项A；由、关于直线对称得，即可判断选项B；由顶点坐标设，求出解析式即可判断选项C；当时，即可判断选项D． 【详解】解：作， ´，最低点为， ，，， ， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 和两点， 、关于直线对称， ， 解得， 故选项B正确，不符合题意； ， 设， 经过， ， 解得， ， 当时，， ， 故选项C正确，不符合题意； 当时，， 点不在图象上， 故选项D错误，符合题意． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，当抛物线经过时，求得，当抛物线经过时，求得，当顶点在线段上时，求得，根据有交点，即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， 线段轴， 当抛物线经过时， ， 当抛物线经过时， ， 解得， 当顶点在线段上时， ， 解得， 抛物线与线段有交点，且开口大小和方向都已确定， ， 故答案为． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象的应用，关键是明确图象满足与线段有公共点的分界点； 将解析式化为顶点式，根据顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图象求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点是： 当抛物线的顶点在线段上时， ， ∴； 当抛物线过点时， ， ∴； 当抛物线过点时， ， ∴， ∴由图象可知：， 故答案为：． 5．已知抛物线与x轴交于点A，B． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，请求出m的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用题干信息抛物线的顶点式找出顶点坐标即可求解； （2）理解整点（横纵坐标为整数）的概念，再用抛物线与 轴交点求B点横坐标，最后利用数形结合思想找出区域内含整点的计数方法（结合图像对称性）确定B的横坐标取值范围求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2） 由抛物线可知，其对称轴为直线，其顶点为 . 又∵抛物线在点A，B之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点， ∴由图可知线段上必须包含5个整点，即轴上的整点的取值为：，0，1，2，3． ∴抛物线与轴的交点B的横坐标应满足， 令，得，解得， ∴，即， ∴，即， ∴解得， ∴m的取值范围为：． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 3．如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 5．如图，已知该抛物线的解析式为，点是轴上的一点，将点向右平移个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，那么n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意得到点，分两种情况讨论：当时和当时，结合二次函数图形分别求解即可． 【详解】解：点是轴上的一点，将点向右平移个单位长度得到点， 点， 当时，线段与只有一个公共点， 点在抛物线上时，， ， 当时，令， 解得：，， 二次函数之间的距离小于等于4， 要想线段与只有一个公共点，则线段过抛物线顶点 ，即顶点坐标， ， 综上可知，若线段与只有一个公共点，n的取值范围是或， 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 7．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______． 【答案】8 【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况． 【详解】解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1， ∴点A（-4，0）、B（1，0）， ∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点， ∴D（m，-m2-m+2）， 过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m， ∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积， ∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m）， =-m2-4m+4 =-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）； 则m=-2时，S取得最大值，最大值为8， 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 9．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 10．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】 【分析】连接，求出点A和点B的坐标，根据推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，当时，，则， 在中，当时，，解得或，则， ∴； 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时，即点Q的坐标为． 12．抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 13．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 14．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 15．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）分3种情况，求出临界点，即可得出结果. 【详解】（1）解：将，代入，得 解得 ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， 时，为此时的函数最小值， 当时，函数最大值为， 当时，的取值范围是； （3）解：二次函数的图象向上平移个单位长度后解析式为， 此时顶点坐标为，当顶点落在线段上时， ，解得， 当函数图象向上移动，经过点时，， 解得， 当函数图象经过点时，， 解得， 当或时，函数图象与线段有一个公共点. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $